La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
Massimo Bertolini
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è considerata una delle questioni fondamentali
della matematica contemporanea: si veda a questo proposito la lista dei sette “Millennium
Problems” individuati dal Clay Mathematical Institute (la descrizione si trova all’indirizzo
web http://www.claymath.org/millennium/).
La congettura in questione stabilisce una relazione tra le proprietà aritmetiche di una
curva ellittica e le proprietà analitiche della funzione L ad essa associata. Si ricordi che una
curva ellittica (definita sui razionali) è la curva proiettiva piana E definita da un’equazione
del tipo
y 2 = x3 + ax + b,
in cui i coefficienti a e b sono numeri interi relativi soggetti alla condizione 4a3 +27b2 diverso
da 0. L’insieme E(Q) delle soluzioni nel campo Q dei numeri razionali di quest’equazione,
con l’aggiunta del punto all’infinito O avente coordinate proiettive (0, 1, 0), è dotato di
una struttura di gruppo commutativo con elemento neutro O. La somma di punti è
caratterizzata dalla proprietà seguente: tre elementi P, Q, R di E(Q) hanno somma O
precisamente quando appartengono alla stessa retta proiettiva (da intendersi come la retta
tangente ad E nel punto P nel caso in cui Q o R coincida con P ). Un teorema di Mordell
afferma che il gruppo E(Q) è finitamente generato, cioè è la somma di un gruppo finito e
di un gruppo della forma ZrE , dove Z indica il gruppo additivo degli interi relativi e rE
un intero non negativo, detto rango di E. La comprensione, sia teorica che algoritmica,
dell’intero rE rappresenta il problema chiave nello studio della teoria aritmetica delle curve
ellittiche.
Se p è un numero primo che non divide il discriminante ∆E = 4a3 + 27b2 di E, si
indichi con np il numero delle soluzioni modulo p dell’equazione y 2 = x2 + ax + b (cioè le
soluzioni nel campo finito con p elementi Z/pZ delle classi di resto modulo p) e con ap il
coefficiente p − np . La funzione L di E è la funzione in una variabile complessa s definita
dalla formula
Y
L(E, s) =
(1 + ap p−s + p1−2s )−1 ,
dove il prodotto è effettuato su tutti i primi p che non dividono ∆E . Si dimostra che questo
prodotto infinito converge ad una funzione analitica (cioè derivabile in senso complesso)
sul semipiano dei numeri complessi la cui parte reale è maggiore di 3/2. Inoltre, il lavoro di
Wiles e altri sull’Ultimo Teorema di Fermat mostra che L(E, s) si estende a una funzione
analitica su tutto il piano complesso.
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma che il rango rE può essere descritto
in termini delle proprietà analitiche di L(E, s). Si ricordi che l’ordine di annullamento di
L(E, s) in s = 1 è l’intero non negativo ρ tale che L(E, s) si scrive come (s − 1)ρ f (s), dove
f (s) è una funzione analitica sul piano complesso tale che f (1) 6= 0.
Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer. L’ordine di annullamente di L(E, s) nel
punto s = 1 è uguale al rango rE di E.
Questa congettura è stata dimostrata, grazie al lavoro dei matematici B. Gross, D. Zagier
e V. Kolyvagin, quando l’ordine di annullamento di L(E, s) in s = 1 è al più 1. Se l’ordine
di annullamento è maggiore di 1, la congettura resta del tutto aperta.
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