Programma di Analisi 2, a.a. 2009-10
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile
Docente: Prof. Elio Cabib
Funzioni di più variabili - Richiami su Rn come spazio vettoriale e spazio euclideo, prodotto scalare,
norma, prodotto vettoriale in R3 . Gli spazi `p e `∞ e loro proprietà principali. Applicazioni lineari e funzionali
lineari su Rn . Sottoinsiemi di Rn , loro equazioni cartesiane e parametriche, vari tipi di coordinate. Intorni e
successioni, completezza, insiemi chiusi, aperti, compatti, connessi per archi, convessi, stellati. Limiti e continuità
per le funzioni scalari e vettoriali di più variabili, funzioni limitate, lipschitziane e hölderiane, convesse, teorema
di Weierstraß. Proprietà delle derivate e degli integrali per le funzioni vettoriali di una variabile.
Successioni e serie di funzioni - Richiami sugli spazi metrici, il torema delle contrazioni. Norme e distanze
negli spazi funzionali, convergenza puntuale, uniforme, in media, in media quadratica e di ordine p > 1, il caso
della norma p = 2 e il prodotto scalare, spazi di Hilbert, spazi di Banach e proprietà fondamentali. Completezza
di L (A), di C 0 (A) ∩ L (A) e di R(A) rispetto alla convergenza uniforme, condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la convergenza uniforme, teoremi di passaggio al limite, cenni sulla compattezza negli spazi funzionali.
Criterio di convergenza totale per le serie di funzioni, integrazione e derivazione termine a termine. Proprietà
fondamentali delle serie di potenze in R e in C, serie di Taylor. La corda vibrante e le serie trigonometriche, convergenza puntuale, uniforme e in media quadratica della serie di Fourier, completezza del sistema trigonometrico.
Curve e integrali curvilinei - Moto di un punto, curve semplici, aperte, chiuse, condizioni di regolarità,
cambiamento di parametro per diffeomorfismi e curve equivalenti, curve in coordinate polari, curve cartesiane
(grafici) e in altri tipi di coordinate, cammini, cammini orientati. Rettificabilità, curve e funzioni a variazione
limitata, lunghezza di una curva, lunghezza del grafico, ascissa curvilinea, curvatura, torsione, formule di FrenetSerret, varie espressioni della curvatura e della torsione. Evoluta ed evolvente, il pendolo cicloidale, integrali
curvilinei di funzioni scalari e di campi vettoriali, area di una regione piana delimitata da una curva, variazione
d’angolo, indice di una curva rispetto a un punto, Teorema di Maxwell sulla circuitazione del campo magnetico
attorno ad una corrente elettrica, relazione con l’argomento e col logaritmo complesso.
Equazioni e sistemi differenziali - Problemi naturali governati da equazioni differenziali ordinarie, il problema di Cauchy ai dati iniziali, problemi con dati al contorno. Equazioni lineari del I ordine, equazioni risolubili
per separazione delle variabili, equazioni lineari di ordine superiore a coefficienti costanti, equazioni di tipo speciale che si risolvono in modo esplicito (omogenee, di Bernoulli ecc.). Lemma di Gronwall e il teorema di unicità,
conseguenze, esempi e controesempi. Campi vettoriali e flusso di fase, integrale generale di un sistema dinamico
lineare autonomo, descrizione in dimensione 2 del flusso di fase e classificazione dei punti di equilibrio, stabilità
e stabilità asintotica, l’oscillatore armonico, smorzamento e risonanza, il pendolo e altri esempi nello spazio delle
fasi, linee di livello dell’energia nei sistemi conservativi. Il teorema di Cauchy-Lipschitz, nozione di problema ben
posto secondo Hadamard, metodo delle approssimazioni successive di Picard. Sistemi dinamici non lineari: linearizzazione, stabilità e stabilità asintotica dei punti di equilibrio, funzione di Liapounov e Teorema di Dirichlet,
risonanza e oscillazioni autosostenute, cicli limite e cenno al Teorema di Poincaré-Bendixson, l’equazione di Van
der Pol, Teorema di Liouville, sistemi hamiltoniani. Condizioni sufficienti per la prolungabilità, soluzioni massimali e soluzioni globali, comportamento qualitativo e asintotico delle soluzioni. Qualche esempio di problema
variazionale.
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Calcolo differenziale - Derivate direzionali, derivate parziali, differenziale e gradiente. Continuità di una
funzione differenziabile e rappresentazione delle derivate direzionali, il gradiente e suo significato geometrico,
direzioni di massima pendenza, linee e superfici di livello, derivate di funzioni composte, ortogonalità tra le linee vettoriali del gradiente e le superfici di livello (es. linee di corrente e superfici equipotenziali). Esempi e
controesempi sulla differenziabilità, teoremi algebrici, teorema del differenziale totale, derivate successive, lemma
di Schwartz. Punti stazionari, massimi e minimi relativi e assoluti, teorema di Rolle, teorema del valor medio,
funzioni a gradiente nullo, matrice hessiana e applicazioni alla ricerca degli estremi relativi, formula di Taylor.
Funzioni convesse differenziabili, funzioni omogenee, teorema di Eulero e proprietà varie. Principio di massimo
per il laplaciano. Il problema della corda vibrante e del passaggio di calore. Cenni alle equazioni differenziali alle
derivate parziali.
Misura e integrazione di Lebesgue - La misura di Lebesgue in Rn , insiemi e funzioni misurabili, funzioni
integrabili, proprietà dell’integrale, metodi di riduzione e formula del cambiamento di variabile per il calcolo degli
integrali multipli, integrali impropri. Cenno agli spazi Lp . Il problema di Poisson e formule di Green. Esempi di
problemi storici del calcolo delle variazioni.
Forme differenziali lineari - Campi vettoriali, definizione di forma differenziale, integrazione lungo un cammino orientato, potenza e lavoro di un campo di forze, forme esatte e campi conservativi, primitive e potenziali
e loro proprietà, condizioni equivalenti all’esattezza di una forma, forme chiuse, domini semplicemente connessi,
rotore, campi vettoriali irrotazionali, formula di Gauss-Green nel piano, generalizzazione al teorema della divergenza in Rn e al teorema di Stokes in R3 , campi solenoidali, flusso attraverso una superficie chiusa, pozzi e
sorgenti. Il problema di Didone.
Funzioni implicite - Teorema degli zeri su un dominio connesso per archi, passaggio da una rappresentazione
ad un’altra di curve e superfici, teorema del Dini nel piano e conseguenze, generalizzazione a più dimensioni, spazio
tangente e spazio normale, grado di libertà e grado di vincolo, condizioni sul rango, punti stazionari vincolati, il
metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Invertibilità delle funzioni, richiami, esempi e controesempi, teorema di
invertibilità locale.
Superfici - Rappresentazione di una (iper)superficie in Rn come grafico, in forma implicita e in forma parametrica, superfici regolari, linee coordinate, significato geometrico delle derivate rispetto ai parametri, vettori
tangenti e piano tangente, vettore normale e orientabilità, area di una superficie in R3 , formula dell’area per
le superfici cartesiane e per le superfici con simmetrie particolari, superfici di rivoluzione, integrali superficiali.
Cenno al problema cartesiano dell’area minima.
Testi consigliati
• Teoria
C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, vol. 1, 2, Masson, 1994.
F. Conti, P. Acquistapace, A. Savojni, Analisi Matematica, Teoria e Applicazioni, McGRaw-Hill, 2001.
F. Conti, Calcolo, Teoria e applicazioni, McGraw-Hill, 1993.
• Esercizi
Tutti i testi di Analisi 1 per i corsi di Laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria e numerosissimi siti internet.
Esercizi meno standard, più stimolanti e divertenti, si possono trovare in
E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo, Problemi scelti di Analisi Matematica II, Liguori, 1986.
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