AA 12/13 1. Integrali: Aree di figure curvilinee, il problema dell

Programma Analisi Matematica 2
Ingegneria Elettrotecnica– A.A. 12/13
1. Integrali: Aree di figure curvilinee, il problema della primitiva, integrali
definiti e indefiniti per integrandi continui, somme superiori ed inferiori di Riemann. Il teorema fondamentale del calcolo. Proprietà di linearità e omogeneità
dell’integrale. Metodo di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione
di funzioni razionali. Definizione di integrabilità secondo Riemann per funzioni
possibilmente discontinue. La funzione di Dirichlet. Studio di funzioni integrali.
2. Serie e integrali impropri: Integrali impropri di I specie (funzioni limitate
su intervalli illimitati) e II specie (funzioni illimitate su intervalli limitati). Serie,
definizione di somma di una serie. Integrali impropri con integrandi di segno
costante e serie con termini di segno costante. Criterio del confronto, confronto
definitivo, confronto asintotico per determinare il carattere dell’integrale e della
serie. Determinazione dell’ordine dell’infinitesimo (o dell’infinito) della funzione
integanda o della successione dei termini e convergenza. Test del rapporto e della
radice per determinare infinitesimi ed infiniti esponenziali. Serie di segno non
costante. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Criterio di Leibniz per
serie a segno alterno.
3. Formula di Taylor: Polinomio di Taylor di grado n, resto nella forma di
Peano e di Lagrange. Determinazione dell’ordine di infinitesimo facendo uso della
formula di Taylor. Serie di Taylor, definizione di funzione analitica. Non tutte le
funzioni di classe C ∞ sono analitiche. Analiticità di alcune funzioni elementari.
Serie di potenze e raggio di convergenza.
4. Successioni e serie di funzioni: Convergenza puntuale e convergenza
uniforme. Convergenza uniforme e continuità, convergenza uniforme e convergenza degli integrali. Convergenza uniforme e serie di potenze. Derivazione e
integrazione per serie.
5. Funzioni reali di più variabili reali: La distanza Euclidea in RN , intorni
sferici di un punto. Punti interni, esterni e di bordo rispetto ad un insieme di RN .
Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti. Punto isolato e di accumulazione per
un insieme. Limiti di successioni in RN e di funzioni da RN a R. Esistenza e non
esistenza di limiti. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass sull’esistenza di
massimi e minimi su compatti per funzioni da RN a R. Derivate parziali, direzionali. Derivabilità parziale e direzionale e continuità. Gradiente e matrice Hessiana.
Differenziabilità e funzioni di classe C 1 . Formula di Taylor del primo ordine ed
iperpiano tangente al grafico della funzione. Punti critici e loro determinazione.
Punti di massimo e minimo relativi. Funzioni di classe C 2 . Simmetria della matrice Hessiana. Matrici simmetriche definite, semidefinite e indefinite. Formula di
Taylor del secondo ordine. Test del secondo ordine per determinare la natura dei
punti critici. Insiemi di livello per funzioni da RN a R, punti regolari. Teorema
della funzione implicita di Dini. Iperpiano tangente ad una curva di livello in un
punto regolare. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione
di massimi e minimi vincolati a sua interpretazione geometrica. Determinazione
di massimi e minimi assoluti su insiemi compatti.
6. Integrazione multipla Integrale di Riemann su rettangoli, parallelepipedi
e generalizzazioni N –dimensionali. Somme superiori e inferiori di Riemann. Insiemi misurabili secondo Peano–Jordan, integrali multipli di funzioni continue
su insiemi misurabili secondo Peano–Jordan. Funzioni con discontuità di misura
nulla e loro integrabilità. Formule di riduzione per integrali multipli e domini normali in due e tre dimensioni. Integrazione per fili e sezioni in tre dimensioni. Cambio di variabili, fattori di deformazione. Coordinate polari, cilindriche, sferiche.
Solidi ottenuti per rotazione di un grafico. Baricentri e momenti di inerzia.
7. Curve, campi vettoriali, forme differenziali e primitive Curve semplici
regolari, vettore tangente, curve equivalenti, curve regolari a tratti, lunghezza di
una curva, ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di I specie. Campi vettoriali,
curve orientate, integrale curvilineo di seconda specie. Lavoro di un campo di
forze. Definizione geometrica ed analitica di rotore per campi vettoriali bi e tridimensionali. Potenziale o primitiva di un campo vettoriale. Un campo vettoriale
possiede potenziale in un aperto connesso di RN se e solo se il suo lavoro su
ogni ciclo è nullo. Struttura della famiglia di tutti i potenziali. Calcolo di un
potenziale tramite integrali curvilinei. Curve omotopiche. Insiemi semplicemente
connessi. Campi irrotazionali e campi gradienti. Forme differenziali, derivata esterna di una forma differenziale (caso 2 e 3–dimensionale), forme chiuse e forme
esatte. Teorema di invarianza omotopica. Teorema di Gauss–Green bidimensionale, calcolo di aree tramite integrali curvilinei sul bordo. Divergenza di un campo
vettoriale. Teorema della divergenza bidimensionale.
8. Equazioni differenziali Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, struttura dell’insieme delle soluzioni, sistemi fondamentali di
soluzioni. Rappresentazione parametrica delle soluzioni. Problemi di Cauchy associati. Modello del pilastro carico, modello Malthusiano. Oscillatore armonico.
Oscillazioni in presenza di attrito. Equazioni lineari omogenee del primo ordine
a coefficienti variabili. Il metodo di variazione delle costanti per equazioni lineari
del primo ordine non omogenee. Rappresentazione parametrica delle soluzioni. Il
metodo di somiglianza o degli annichilatori per equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee. Il fenomeno della risonanza. Il metodo
di separazione delle variabili per equazioni non lineari. Fenomeni di blow–up e di
2
non unicità. Il modello logistico. Il modello di Volterra–Lotka.
3