Lezione
Teoria cinetica dei gas
1
Teoria cinetica dei gas perfetti
La teoria cinetica dei gas perfetti è un esempio molto semplice di meccanica statistica, la parte della fisica che spiega i fenomeni macroscopici riconducendoli a
caratteristiche medie e comportamenti statistici macroscopicamente osservabili
di insiemi di grandi numeri di particelle.
Ne diamo qui una descrizione abbastanza semplificata, che permette tuttavia
di dedurre da un semplice modellino meccanico alcune proprietà dei gas perfetti.
Vogliamo modellizzare il gas come un insieme di N particelle puntiformi tutte uguali, ciascuna di massa m, contenute in un recipiente (che per comodità
possiamo supporre di forma cubica) di lato molto maggiore della distanza media
tra una particella e l’altra.
La nostra ipotesi è che il numero di particelle N sia talmente elevato che
anche in una porzione di volume dV che dal punto di vista dell’osservatore
microscopico si può considerare infinitamente piccola, il numero delle particelle
in esso contenuto sia lo stesso talmente grande da permettere di applicare la
statistica dei grandi numeri. È il cosiddetto limite termodinamico.
Supponiamo inoltre che le particelle siano libere di muoversi all’interno del
recipiente, che la posizione e la velocità di ciascuna sia statisticamente indipendente da quella delle altre, e che le interazioni tra una particella e l’altra o tra
ciascuna particella e le pareti del recipiente siano limitate a urti perfettamente
elastici. Trascuriamo inoltre gli effetti della gravità.
In questa sede non possiamo permetterci una derivazione rigorosa a partire
dalle ipotesi date e dai teoremi della statistica e della meccanica classica: è
sufficiente dire che come risultato si ha una distribuzione uniforme delle particelle all’interno del recipiente: in ogni volumetto dV infinitesimo dal punto di
vista macroscopico, ma molto grande dal punto di vista microscopico si avrà un
numero medio di particelle dN = N dV /V che si muovono in direzioni casuali
cosicché la loro velocità (vettoriale) media (o velocità del centro di massa) sia
trascurabile. Due volumetti identici dV situati in posizioni diverse del recipiente
saranno perfettamente uguali dal punto di vista della descrizione statistica delle
particelle che contengono.
• Prendiamo per esempio N = 1025 molecole di gas distribuite casualmente
in un volume di un metro cubo. Una porzione che possiamo certamente considerare infinitesima dal punto di vista microscopico è per esempio
un cubetto di un micron (10−6 m) di lato. In media in questo volumetto
1
7
saranno contenute dN = N dV
V = 10 molecole, che è sempre un numero
elevatissimo.1
Consideriamo l’effetto degli urti elastici delle particelle sulle pareti del recipiente. Per semplificare i conti consideriamo una parete di superficie S disposta
perpendicolarmente all’asse x. In un urto elastico (rimbalzo) di una particella
contro la parete, la componente della quantità di moto perpendicolare alla parete stessa cambia segno, mentre le componenti parallele restano invariate, dato
che la forza impulsiva di reazione esercitata dalla parete è perpendicolare alla
stessa.
px py py -­‐px x Figura 1: Urto elastico di una particella contro la parete. La componente
della quantità di moto perpendicolare alla parete si inverte, le altre rimangono
invariate.
La parete ha dunque esercitato sulla particella di massa m e velocità ~v un
impulso Ix0 = ∆px = −2px = −2mvx . Per il terzo principio di Newton, la
particella avrà esercitato sulla parete un impulso opposto Ix = −Ix0 = 2mvx .
Consideriamo ora un intervallo di tempo ∆t molto piccolo dal punto di vista
microscopico, ma enormemente grande rispetto al tempo medio che trascorre
tra un urto contro la parete e il successivo. In questo intervallo quanti urti si
verificheranno?
Supponiamo inizialmente che tutte le particelle abbiano la stessa velocità vx
in direzione x: il numero di particelle che tra il tempo t e t + ∆t arriveranno
a urtare la parete saranno tutte quelle che all’istante t si trovano a distanza
∆x < vx ∆t dalla parete, ossia tutte quelle contenute in un volume ∆V = Svx ∆t.
Per le nostre ipotesi di distribuzione uniforme, questi urti saranno quindi
∆N =
N
N
∆V = Svx ∆t
V
V
e l’impulso totale ricevuto dalla parete sarà
1 la
statistica ci insegna che può fluttuare entro un margine dato grosso modo dalla radice
quadrata del numero stesso, quindi abbiamo che dN ≈ 107 ± 3 × 103 , il numero è preciso a
meno dell’un per mille
2
Ixtot = ∆N Ix =
N
N
(Svx ∆t)2mvx = S 2mvx2 ∆t
V
V
Ma le particelle non hanno tutte la stesa velocità vx . Occorre sommare il
contributo di tutti i valori possibili2 di vx : chiamiamoli v1 , v2 , . . ., e supponiamo
che per ciascun valore ci sia un numero totale di particelle N1 , N2 , . . .
Abbiamo
2mS
∆t(N1 v12 + N2 v22 + · · ·)
V
Ixtot = I1tot + I2tot + · · · = ∆N1 I1 + ∆N2 I2 + · · · =
Osserviamo che ora compare una somma sui valori dei quadrati delle velocità
lungo x. I valori N1 , N2 , . . . rappresentano il numero di particelle con velocità
vx = v1 , v2 , . . .. Se una particella ha v12 come valore della velocità al quadrato,
i valori possibili della sua velocità lungo x sono due: vx = ±v1 . Per le nostre
ipotesi di totale casualità nelle direzioni delle velocità, il numero di particelle
con velocità v1 sarà identico a quelle con velocità −v1 , dunque N̄1 = 2N1 sarà
il numero di particelle con velocità v12 . Osserviamo anche che sommando su
tutti i valori possibili di vx2 (positivi e negativi) dobbiamo ottenere il totale delle
particelle presenti nel volume: N̄1 + N̄2 + · · · = N
Dunque abbiamo che la somma tra parentesi si può riscrivere
N1 v12 +N2 v22 +· · · =
1 N̄1 v12 + N̄2 v22 + · · ·
N
1
(N̄1 v12 +N̄2 v22 +· · ·) = N
=
< vx2 >
2
2
N
2
dove < vx2 > rappresenta la media aritmetica dei valori di vx2 estesa a tutte
le particelle (dunque il valor medio di vx2 in senso statistico).
In conclusione
Ixtot =
2mS N
SN
∆t < vx2 >=
∆t < mvx2 >
V
2
V
è l’impulso lungo x fornito dalle particelle alla parete nel tempo ∆t . Questa
sarà dunque soggetta a una forza media
F̄x ≡
1
∆t
Z
t+∆t
Fx (t0 )dt0 =
t
1 tot
I
∆t x
1
dove abbiamo usato la definizione
di media temporale f¯ ≡ ∆
t
R
la definizione di impulso Ix ≡ fx dt.
Otteniamo che la forza media esercitata sulla parete dal gas
F̄x =
R ∆t
0
f (t) dt e
SN
∆t < mvx2 >
V
è proporzionale alla superficie della parete, dunque si può interpretare come
dovuta a una pressione
p=
N
∆t < mvx2 >
V
2 In realtà la velocità è una variabile continua, e la somma andrebbe sostituita con un
integrale. Ma formalmente il risultato è lo stesso.
3
1.1
Gas monoatomico
Abbiamo ottenuto che nel nostro modellino la pressione del gas è proporzionale
alla densità di particelle N/V e al valor medio di mvx2 . Ora, dato che per
ipotesi trascuriamo gli effetti della gravità, non ci sono in realtà motivi perché il
valore medio della velocità quadrata lungo uno degli assi cartesiani sia diverso
da quello rispetto a un’altra direzione qualunque: la direzione x è stata scelta
arbitrariamente, ma avremmo potuto chiamare indifferentemente lo stesso asse
y o z. Dunque abbiamo che per simmetria
< mvx2 >=< mvy2 >=< mvz2 >
L’energia cinetica di una particella puntiforme (che nel nostro modellino
rappresenta una molecola di gas monoatomico) si scrive
EC =
1
1
mv 2 = (mvx2 + mvy2 + mvz2 )
2
2
La statistica insegna che per variabili statisticamente indipendenti (il valore
di una non influenza il valore delle altre – il che è vero nel nostro caso, per
ipotesi) la media di una somma è uguale alla somma delle medie. Abbiamo
dunque
< EC >=<
1
3
1
mv 2 >= (< mvx2 > + < mvy2 > + < mvz2 >) = < mvx2 >
2
2
2
cioè
< mvx2 >=
2
< EC >
3
Otteniamo quindi la legge dei gas perfetti nella forma
p=
N2
< EC >
V 3
ossia
pV = N
2
< EC >
3
o, osservando che N < EC >= U non è altro che l’energia totale (solo
cinetica) del gas,
pV =
2
U
3
Se identifichiamo l’equazione con quella dei gas perfetti e imponiamo che
il membro di destra sia proporzionale al numero totale di particelle N e alla
temperatura assoluta T otteniamo che, per un gas monoatomico
N
2
< EC >= N kB T = nRT
3
in cui kB è la costante di Boltzmann, legata alla costante dei gas R da
kB =
R
n
R=
N
NA
4
dove NA è il numero di Avogadro.
Non solo dunque abbiamo spiegato con un semplice modello meccanico la
legge dei gas perfetti per un gas monoatomico di particelle non interagenti, ma
abbiamo anche identificato la temperatura assoluta come una misura
dell’ l’energia cinetica media di una particella
< EC >=
3
kB T
2
e trovato la relazione (di proporzionalità diretta) tra l’energia interna del
gas U e la temperatura assoluta T :
U=
3
3
N kB T = nRT
2
2
Dalla relazione ∆U = cV ∆T valida per una mole di gas perfetto deduciamo
immediatamente il valore di cV per un gas perfetto monoatomico. Prendendo
n = 1 si ha infatti ∆U = 23 R∆T e quindi
cV =
3
R
2
da cui
cp = R + cV =
5
R
2
e
γ≡
1.2
cp
5
=
cV
3
Gas biatomico e Equipartizione dell’Energia
Per un gas monoatomico, modellizzato da particelle puntiformi, abbiamo ottenuto la legge dei gas perfetti identificando
< mvx2 >=
2
< EC >
3
e in seguito
< mvx2 >= kB T
Se il gas da modellizzare è biatomico (schematizzato meccanicamente da un
“manubrio”, ossia due particelle di massa m/2 collegate da una sbarretta rigida
di massa trascurabile), l’energia cinetica di una molecola non si scrive più come
nel caso puntiforme, ma
EC =
1
1
1
1
1
mvx2 + mvy2 + mvz2 + Iω12 + Iω22
2
2
2
2
2
dove I è il momento di inerzia del manubrio rispetto a un asse perpendicolare
alla congiungente tra le due molecole, e ω1 , ω2 sono le componenti del vettore
velocità angolare nel piano perpendicolare alla congiungente. Non possiamo
scendere nei dettagli rigorosi, ma osserviamo semplicemente che rispetto al caso
5
monoatomico compaiono altri due termini nell’energia che sono quadratici nelle
velocità (angolari), corrispondenti a due nuovi gradi di libertà nel moto della
molecola biatomica rispetto a quella monoatomica.3 Con un opportuno teorema
(di equipartizione dell’energia ) la meccanica statistica ci assicura che l’energia
media viene ripartita equamente tra tutti i gradi di libertà che comportano un
termine quadratico nelle velocità o nelle coordonate nell’espressione dell’energia
meccanica. In particolare, a una certa temperatura T , il contributo di ciascun
termine all’energia media sarà uguale a 12 kB T
Nel caso di un gas biatomico, per esempio, tutti i cinque contributi all’energia
cinetica saranno in media uguali e si avrà
< EC >=
5
< mvx2 >
2
Sostituendo nell’equazione dei gas perfetti troviamo dunque che nel caso biatomico
U=
5
N kB T
2
da cui
cV =
5
R
2
cp =
7
R
2
3 Un
corpo rigido ha in realtà in generale sei gradi di libertà. Nel caso di un manubrio
però uno di questi, cio’‘e la rotazione intorno alla congiungente delle due masse, non modifica
l’energia cinetica, perchè il momento di inerzia attorno a quell’asse è nullo.
6
