XI. I numeri

I numeri
Introduzione
Dati due insiemi, ci si domanda se essi hanno la stessa quantità
d’elementi o no.
Potenza d’un insieme
Numeri cardinali
Insiemi infiniti
Divisione tra naturali
Scrittura dei numeri
Assiomi di Peano
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I numeri
Come si fa?
L’idea del contare suggerisce che si debba cercare di stabilire una
biiezione fra essi. In tal caso si può dire che essi hanno lo stesso
numero d’elementi, altrimenti uno ne avrà più dell’altro.
XI - 1
Potenza d’un insieme
A è equipotente a B,
e si scrive
A eq B,
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I numeri
XI - 2
Potenza d’un insieme
Tale insieme s’indica con
[x] = CollzR(z,x) = {z | R(z,x)}
e si chiama classe d'insiemi equivalenti ad x.
se esiste una biiezione da A a B.
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Lezione 11.wpd
Sia data una relazione d’equivalenza R(x,y) senza grafico.
Si dimostra che la relazione
R(z,x)
è collettivizzante in z, dunque, dato x,
esiste un insieme d’elementi equivalenti ad x
Dati due insiemi A, B, si dice che
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Potenza d’un insieme
Potenza d’un insieme
I numeri
S
S
S
S
S
S
I numeri
XI - 3
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XI - 4
I numeri
Potenza d’un insieme
Teorema. L'equipotenza è una relazione d'equivalenza (senza
grafico).
Dimostrazione:
riflessiva: IA: A A è una biiezione;
simmetrica: se f: A B è una biiezione, esiste la biiezione f -1: B A;
transitiva: se f: A B e g: B C sono biiezioni, g f: A C è una
biiezione.
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I numeri
XI - 5
Numeri cardinali
Si definiscono:
0 = Card( ) = τz(z eq ) =
1 = Card({ }) = τz(z eq { }) =
= τz(z eq {x})
perché tutti gli insiemi composti da un solo elemento sono
equipotenti
2 = Card({ , { }}) =
= τz(z eq { , { }}) = τz(z eq {x,y})
tutti gli insiemi di due elementi differenti sono equipotenti, ecc. ecc.
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XI - 7
I numeri
Numeri cardinali
Numeri cardinali
Sia [A] la classe d'insiemi equipotenti ad A: il termine
τz(z
[A]) = τz(z eq A) = |A| = Card(A)
si chiama
potenza di A o numero cardinale di A
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I numeri
XI - 6
Numeri cardinali
Le relazioni
|
X è equipotente ad un sottoinsieme di Y
esiste un’iniezione da X ad Y
|X| è equipotente ad un sottoinsieme di |Y|
sono equivalenti. Si tratta d’una relazione d'ordine totale, anzi di
buon ordine.
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XI - 8
I numeri
Numeri cardinali
I numeri
Numeri cardinali
Operazioni sui numeri cardinali
Somma:
Si dimostra il seguente
se A
Teorema (Cantor-Bernstein)
Dati due insiemi A e B, o essi sono equipotenti o uno dei due è
equipotente ad un sottoinsieme dell'altro.
B=
Card(A) + Card(B) = Card(A
B)
Prodotto:
Card(A) * Card(B) = Card(A × B)
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I numeri
XI - 9
Numeri cardinali
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I numeri
XI - 10
Numeri cardinali
Potenza:
Card(A)Card(B) = Card(AB)
B
dove A è l’insieme delle funzioni da B ad A. Se si bene ordina B, ad
ogni funzione s’associa una B-pla d’elementi di A,
(
, cioè un elemento del prodotto di B copie di A:
A × A × A × .... × A × ...
Si dice che un numero cardinale n è finito, se n n + 1. Un numero
cardinale finito si chiama anche numero intero naturale.
Si dice che un insieme è finito se il suo numero cardinale è finito.
Teorema. Se A e B sono finiti, A
B, A × B e BA sono finiti.
Si dimostrano facilmente tutte le proprietà note delle operazioni fra
numeri.
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XI - 11
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XI - 12
I numeri
Numeri cardinali
I numeri
Insiemi infiniti
Insiemi infiniti
Teorema
Card P (A) = Card 2A > Card A
Un cardinale non finito si chiama infinito. Un insieme si dice infinito
se il suo cardinale è infinito.
Dimostrazione:
E’ sufficiente costruire una biiezione fra P (A) e 2A. Sia
φ: 2A P (A)
tale che per ogni f 2A
φ( f ) = B P (A) e B =
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I numeri
Un insieme I è infinito se esiste una biiezione fra I ed un suo
sottoinsieme proprio.
Per un insieme infinito I ed un suo sottoinsieme J, proprio o no,
Card(J) Card(I).
XI - 13
Insiemi infiniti
Esempi:
Consideriamo i sottoinsiemi propri dei numeri naturali N - {0} e 2N
costituiti dai numeri naturali non nulli e dai pari. Esistono biiezioni
fra i due insiemi:
κ: N N - {0} e φ: N 2 N
definite nel modo seguente:
per ogni n
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N, κ(n) = n + 1 e φ(n) = 2n.
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XI - 15
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I numeri
XI - 14
Insiemi infiniti
N ------------ N - {0}
N ------------ 2 N
0 ------------- 1
1 ------------- 2
2 ------------- 3
3 ------------- 4
.........................
n ------------- n+1
.........................
0 ------------- 0
1 ------------- 2
2 ------------- 4
3 ------------- 6
.......................
n ------------- 2n
.......................
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XI - 16
I numeri
Insiemi infiniti
I numeri
Insiemi infiniti
Assioma A4: Esiste un insieme infinito.
Da qui si dimostra il teorema
Un insieme si dice numerabile, se ha la potenza del numerabile.
Teorema.
La relazione «n è un intero naturale» è collettivizzante in n.
Teorema.
L’unione disgiunta di due insiemi numerabili è numerabile.
Si chiama N l'insieme dei numeri interi naturali (cardinali finiti).
Per ogni n N, risulta Card(N) > n.
Card(N) si indica con
e si chiama aleph con zero o
potenza del numerabile.
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I numeri
XI - 17
Insiemi infiniti
Dimostrazione:
Si considerano i due insiemi
N ×{1}
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I numeri
XI - 18
Insiemi infiniti
Teorema.
Data una famiglia finita d’insiemi numerabili, il prodotto è
numerabile.
N × {2}
si dispongono in due colonne e si numerano
1 - (1,1)
3 - (2,1)
5 - (3,1)
---------Di conseguenza, Card(I) =
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Dimostrazione:
Basta ordinare N × N come segue (procedimento diagonale di
Cantor):
1 - (0,0)
2 - (0,1) 3 - (1,0)
4 - (0,2) 5 - (1,1) 6 - (2,0)
.................................
2 - (1,2)
4 - (2,2)
6 - (3,2)
--------.
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XI - 19
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XI - 20
I numeri
Insiemi infiniti
Esempio: L’insieme Q+ dei numeri razionali positivi ha la potenza
del numerabile.
1/1
1/2
1/3
1/4
1/5
...
2/1
2/2
2/3
2/4
2/5
...
3/1
3/2
3/3
3/4
3/5
...
4/1
4/2
4/3
4/4
4/5
...
I numeri
Insiemi infiniti
Percorrendo la tabella come indicato dalle frecce ed associando a
ciascun numero razionale un numero naturale (cioè 1/1 1, 2/1
2, 1/2 3, 1/3 4,...), s’ottiene una biiezione tra Q ed N.
Teorema.
Card(P (A)) > Card(A), ovvero
l'insieme delle parti d’un insieme ha potenza maggiore dell'insieme
(finito o infinito).
...........................................................
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I numeri
XI - 21
Insiemi infiniti
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I numeri
Insiemi infiniti
Dimostrazione: se fosse numerabile si potrebbero numerare le
funzioni caratteristiche dei sottoinsiemi
come segue:
È possibile stabilire una
biiezione fra tutta la retta
ed un suo segmento. Se il
segmento corrisponde
all’intervallo (0,1), ogni
punto (in scrittura binaria)
corrisponde ad una
funzione caratteristica.
Dunque segmento e retta
hanno la potenza del
continuo (e sono continui).
ma la funzione caratteristica 0 0 1 1
....,complementare della diagonale non
si può mettere in tabella.
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XI - 23
XI - 22
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XI - 24
I numeri
Insiemi infiniti
I numeri
Card(P (N)) =
= potenza del continuo.
Card(P (P (N))) =
= potenza delle funzioni reali.
................
Domanda: esistono cardinali fra
ed
Divisione fra naturali
Divisione fra naturali
Teorema
Siano a e b interi e b > 0. Allora esistono e sono unici q e r tali che
a = bq + r,
con r < b.
?
Risposta: È indipendente dagli assiomi.
In genere si assume l'ipotesi del continuo generalizzata:
Per ogni cardinale infinito c, ogni cardinale > c è
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I numeri
2c.
XI - 25
Divisione fra naturali
Dimostrazione:
La tesi è equivalente a dire che
bq a < b(q+1)
e r = a - bq.
Dunque q deve essere il minimo intero tale che a < b(q+1), dunque
q ed r sono unici.
D'altra parte, esistono numeri p tali che a < bp, giacché q+1 è tale
perché b > 0.
Sia m il minimo, allora q = m - 1.
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XI - 27
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I numeri
XI - 26
Scrittura dei numeri
Scrittura dei numeri
Sia b un numero intero. Allora qualunque n
uno e in un sol modo come somma
e s’usa scrivere
rkrk-1...r2r1r0,
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N si può scrivere in
con ri = 0, 1, 2, ...(b-1).
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XI - 28
I numeri
Scrittura dei numeri
Se b = 10, il valore massimo di r è 9, dunque si usano le normali
dieci cifre.
I numeri
Esempio: forma binaria di 13.
Se b = 2, si usano solo 0 ed 1 (numerazione binaria).
Ogni cifra corrisponde a 1 bit.
13
Se b = 8, si usano otto cifre, 0,1,2,3,4,5,6,7 (numerazione ottale).
Ogni cifra corrispondono a tre bit.
Analogamente, si possono scrivere i numeri in
numerazione decimale. Ad esempio:
1235
Se b = 16, si usano 16 cifre, 0,...,9,A,B,C,D,E,F (esadecimale).
Corrispondono a quattro bit (1 byte).
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I numeri
Scrittura dei numeri
XI - 29
Scrittura dei numeri
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I numeri
XI - 30
Scrittura dei numeri
Scrivere 0,3542 in base 2.
Esempi:
Scrivere 123 in base 5
Si considerano le potenze successive di 5: 1, 5, 25, 125 ....
Si considerano le potenze negative di 2:
0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 ....
0.3542 < 0.5
0.3542 - 0.25 = 0.1042
0.1042 < 0.125
0.1042 - 0.0625 = 0.0417
0.0417 - 0.03125 = 0.01045
ecc. ecc.
dunqe 0.3542 = 0.01011....2
123/25 = 4 con resto 23
23/5 = 4 con resto 3
3/1= 3 con resto 0
dunque 123 = 4*52 + 4*51 + 3*50 = 4435
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XI - 31
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XI - 32
I numeri
Assiomi di Peano
Assiomi di Peano
Dimostrazione:
1)
«lo zero è un numero naturale»
Assiomi di Peano
Teorema.
N e la funzione S: N
I numeri
2)
N,
«il successore d’un numero naturale è un numero naturale»
S(n) = n + 1
verificano gli assiomi di Peano.
3)
«il successore d’un numero naturale non è lo zero»
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I numeri
XI - 33
Assiomi di Peano
4)
«se i successori di due numeri naturali sono uguali, lo sono anche
i due numeri»
5)
«se un insieme contiene lo zero ed il successore d’ogni suo
elemento, allora contiene l'insieme dei numeri naturali» (assioma
d'induzione)
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XI - 35
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I numeri
XI - 34
Assiomi di Peano
Gli assiomi di Peano sono indipendenti:
I seguenti insiemi li soddisfano tutti meno uno:
1)
2)
3)
4)
5)
N - {0}
N
{1/2}
{0} con S(0) = 0
{0,1}, con S(0) = S(1) = 1
N
{-1}
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XI - 36
I numeri
Assiomi di Peano
Sia R(n) una relazione nella quale n rappresenta un intero naturale,
n N, tale che:
1)
n0 N tale che R(n0) è vera,
2) si dimostra che (R(n)
R(n+1)) è vera,
allora R(n) è vera per ogni n n0.
In particolare, se R(0) è vera, R è vera per ogni numero naturale.
Si usa nelle dimostrazioni per induzione.
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I numeri
XI - 37
Assiomi di Peano
Esempio:
quanto vale la somma dei primi n numeri naturali?
Dimostrazione:
Se n = 1, S(1) = 1.
Sia S(n-1) =
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Assiomi di Peano
Esempio: in quanti modi si possono permutare n elementi?
Principio d'induzione
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I numeri
allora
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XI - 39
Risposta:
Dimostrazione:
n = 1, n! = 1. C'è un solo modo per permutare un elemento.
n = 2, n! = 2. Ci sono due modi per permutare due elementi: 12 o
21.
Supponiamo che per permutarne (n-1) esistano (n-1)! modi.
Allora, per permutarne n occorre scegliere in n modi differenti il
primo, dopodiché i restanti (n-1) si permutano in (n-1)! modi.
Dunque in totale
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08/01/2011
XI - 38