I numeri Introduzione Dati due insiemi, ci si domanda se essi hanno la stessa quantità d’elementi o no. Potenza d’un insieme Numeri cardinali Insiemi infiniti Divisione tra naturali Scrittura dei numeri Assiomi di Peano Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri Come si fa? L’idea del contare suggerisce che si debba cercare di stabilire una biiezione fra essi. In tal caso si può dire che essi hanno lo stesso numero d’elementi, altrimenti uno ne avrà più dell’altro. XI - 1 Potenza d’un insieme A è equipotente a B, e si scrive A eq B, 08/01/2011 I numeri XI - 2 Potenza d’un insieme Tale insieme s’indica con [x] = CollzR(z,x) = {z | R(z,x)} e si chiama classe d'insiemi equivalenti ad x. se esiste una biiezione da A a B. 08/01/2011 Lezione 11.wpd Sia data una relazione d’equivalenza R(x,y) senza grafico. Si dimostra che la relazione R(z,x) è collettivizzante in z, dunque, dato x, esiste un insieme d’elementi equivalenti ad x Dati due insiemi A, B, si dice che Lezione 11.wpd Potenza d’un insieme Potenza d’un insieme I numeri S S S S S S I numeri XI - 3 Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 4 I numeri Potenza d’un insieme Teorema. L'equipotenza è una relazione d'equivalenza (senza grafico). Dimostrazione: riflessiva: IA: A A è una biiezione; simmetrica: se f: A B è una biiezione, esiste la biiezione f -1: B A; transitiva: se f: A B e g: B C sono biiezioni, g f: A C è una biiezione. Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 5 Numeri cardinali Si definiscono: 0 = Card( ) = τz(z eq ) = 1 = Card({ }) = τz(z eq { }) = = τz(z eq {x}) perché tutti gli insiemi composti da un solo elemento sono equipotenti 2 = Card({ , { }}) = = τz(z eq { , { }}) = τz(z eq {x,y}) tutti gli insiemi di due elementi differenti sono equipotenti, ecc. ecc. Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 7 I numeri Numeri cardinali Numeri cardinali Sia [A] la classe d'insiemi equipotenti ad A: il termine τz(z [A]) = τz(z eq A) = |A| = Card(A) si chiama potenza di A o numero cardinale di A Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 6 Numeri cardinali Le relazioni | X è equipotente ad un sottoinsieme di Y esiste un’iniezione da X ad Y |X| è equipotente ad un sottoinsieme di |Y| sono equivalenti. Si tratta d’una relazione d'ordine totale, anzi di buon ordine. Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 8 I numeri Numeri cardinali I numeri Numeri cardinali Operazioni sui numeri cardinali Somma: Si dimostra il seguente se A Teorema (Cantor-Bernstein) Dati due insiemi A e B, o essi sono equipotenti o uno dei due è equipotente ad un sottoinsieme dell'altro. B= Card(A) + Card(B) = Card(A B) Prodotto: Card(A) * Card(B) = Card(A × B) Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 9 Numeri cardinali Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 10 Numeri cardinali Potenza: Card(A)Card(B) = Card(AB) B dove A è l’insieme delle funzioni da B ad A. Se si bene ordina B, ad ogni funzione s’associa una B-pla d’elementi di A, ( , cioè un elemento del prodotto di B copie di A: A × A × A × .... × A × ... Si dice che un numero cardinale n è finito, se n n + 1. Un numero cardinale finito si chiama anche numero intero naturale. Si dice che un insieme è finito se il suo numero cardinale è finito. Teorema. Se A e B sono finiti, A B, A × B e BA sono finiti. Si dimostrano facilmente tutte le proprietà note delle operazioni fra numeri. Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 11 Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 12 I numeri Numeri cardinali I numeri Insiemi infiniti Insiemi infiniti Teorema Card P (A) = Card 2A > Card A Un cardinale non finito si chiama infinito. Un insieme si dice infinito se il suo cardinale è infinito. Dimostrazione: E’ sufficiente costruire una biiezione fra P (A) e 2A. Sia φ: 2A P (A) tale che per ogni f 2A φ( f ) = B P (A) e B = Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri Un insieme I è infinito se esiste una biiezione fra I ed un suo sottoinsieme proprio. Per un insieme infinito I ed un suo sottoinsieme J, proprio o no, Card(J) Card(I). XI - 13 Insiemi infiniti Esempi: Consideriamo i sottoinsiemi propri dei numeri naturali N - {0} e 2N costituiti dai numeri naturali non nulli e dai pari. Esistono biiezioni fra i due insiemi: κ: N N - {0} e φ: N 2 N definite nel modo seguente: per ogni n Lezione 11.wpd N, κ(n) = n + 1 e φ(n) = 2n. 08/01/2011 XI - 15 Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 14 Insiemi infiniti N ------------ N - {0} N ------------ 2 N 0 ------------- 1 1 ------------- 2 2 ------------- 3 3 ------------- 4 ......................... n ------------- n+1 ......................... 0 ------------- 0 1 ------------- 2 2 ------------- 4 3 ------------- 6 ....................... n ------------- 2n ....................... Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 16 I numeri Insiemi infiniti I numeri Insiemi infiniti Assioma A4: Esiste un insieme infinito. Da qui si dimostra il teorema Un insieme si dice numerabile, se ha la potenza del numerabile. Teorema. La relazione «n è un intero naturale» è collettivizzante in n. Teorema. L’unione disgiunta di due insiemi numerabili è numerabile. Si chiama N l'insieme dei numeri interi naturali (cardinali finiti). Per ogni n N, risulta Card(N) > n. Card(N) si indica con e si chiama aleph con zero o potenza del numerabile. Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 17 Insiemi infiniti Dimostrazione: Si considerano i due insiemi N ×{1} Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 18 Insiemi infiniti Teorema. Data una famiglia finita d’insiemi numerabili, il prodotto è numerabile. N × {2} si dispongono in due colonne e si numerano 1 - (1,1) 3 - (2,1) 5 - (3,1) ---------Di conseguenza, Card(I) = Lezione 11.wpd Dimostrazione: Basta ordinare N × N come segue (procedimento diagonale di Cantor): 1 - (0,0) 2 - (0,1) 3 - (1,0) 4 - (0,2) 5 - (1,1) 6 - (2,0) ................................. 2 - (1,2) 4 - (2,2) 6 - (3,2) --------. 08/01/2011 XI - 19 Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 20 I numeri Insiemi infiniti Esempio: L’insieme Q+ dei numeri razionali positivi ha la potenza del numerabile. 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ... 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ... 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ... I numeri Insiemi infiniti Percorrendo la tabella come indicato dalle frecce ed associando a ciascun numero razionale un numero naturale (cioè 1/1 1, 2/1 2, 1/2 3, 1/3 4,...), s’ottiene una biiezione tra Q ed N. Teorema. Card(P (A)) > Card(A), ovvero l'insieme delle parti d’un insieme ha potenza maggiore dell'insieme (finito o infinito). ........................................................... Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 21 Insiemi infiniti Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri Insiemi infiniti Dimostrazione: se fosse numerabile si potrebbero numerare le funzioni caratteristiche dei sottoinsiemi come segue: È possibile stabilire una biiezione fra tutta la retta ed un suo segmento. Se il segmento corrisponde all’intervallo (0,1), ogni punto (in scrittura binaria) corrisponde ad una funzione caratteristica. Dunque segmento e retta hanno la potenza del continuo (e sono continui). ma la funzione caratteristica 0 0 1 1 ....,complementare della diagonale non si può mettere in tabella. Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 23 XI - 22 Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 24 I numeri Insiemi infiniti I numeri Card(P (N)) = = potenza del continuo. Card(P (P (N))) = = potenza delle funzioni reali. ................ Domanda: esistono cardinali fra ed Divisione fra naturali Divisione fra naturali Teorema Siano a e b interi e b > 0. Allora esistono e sono unici q e r tali che a = bq + r, con r < b. ? Risposta: È indipendente dagli assiomi. In genere si assume l'ipotesi del continuo generalizzata: Per ogni cardinale infinito c, ogni cardinale > c è Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri 2c. XI - 25 Divisione fra naturali Dimostrazione: La tesi è equivalente a dire che bq a < b(q+1) e r = a - bq. Dunque q deve essere il minimo intero tale che a < b(q+1), dunque q ed r sono unici. D'altra parte, esistono numeri p tali che a < bp, giacché q+1 è tale perché b > 0. Sia m il minimo, allora q = m - 1. Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 27 Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 26 Scrittura dei numeri Scrittura dei numeri Sia b un numero intero. Allora qualunque n uno e in un sol modo come somma e s’usa scrivere rkrk-1...r2r1r0, Lezione 11.wpd N si può scrivere in con ri = 0, 1, 2, ...(b-1). 08/01/2011 XI - 28 I numeri Scrittura dei numeri Se b = 10, il valore massimo di r è 9, dunque si usano le normali dieci cifre. I numeri Esempio: forma binaria di 13. Se b = 2, si usano solo 0 ed 1 (numerazione binaria). Ogni cifra corrisponde a 1 bit. 13 Se b = 8, si usano otto cifre, 0,1,2,3,4,5,6,7 (numerazione ottale). Ogni cifra corrispondono a tre bit. Analogamente, si possono scrivere i numeri in numerazione decimale. Ad esempio: 1235 Se b = 16, si usano 16 cifre, 0,...,9,A,B,C,D,E,F (esadecimale). Corrispondono a quattro bit (1 byte). Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri Scrittura dei numeri XI - 29 Scrittura dei numeri Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 30 Scrittura dei numeri Scrivere 0,3542 in base 2. Esempi: Scrivere 123 in base 5 Si considerano le potenze successive di 5: 1, 5, 25, 125 .... Si considerano le potenze negative di 2: 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 .... 0.3542 < 0.5 0.3542 - 0.25 = 0.1042 0.1042 < 0.125 0.1042 - 0.0625 = 0.0417 0.0417 - 0.03125 = 0.01045 ecc. ecc. dunqe 0.3542 = 0.01011....2 123/25 = 4 con resto 23 23/5 = 4 con resto 3 3/1= 3 con resto 0 dunque 123 = 4*52 + 4*51 + 3*50 = 4435 Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 31 Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 32 I numeri Assiomi di Peano Assiomi di Peano Dimostrazione: 1) «lo zero è un numero naturale» Assiomi di Peano Teorema. N e la funzione S: N I numeri 2) N, «il successore d’un numero naturale è un numero naturale» S(n) = n + 1 verificano gli assiomi di Peano. 3) «il successore d’un numero naturale non è lo zero» Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 33 Assiomi di Peano 4) «se i successori di due numeri naturali sono uguali, lo sono anche i due numeri» 5) «se un insieme contiene lo zero ed il successore d’ogni suo elemento, allora contiene l'insieme dei numeri naturali» (assioma d'induzione) Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 35 Lezione 11.wpd 08/01/2011 I numeri XI - 34 Assiomi di Peano Gli assiomi di Peano sono indipendenti: I seguenti insiemi li soddisfano tutti meno uno: 1) 2) 3) 4) 5) N - {0} N {1/2} {0} con S(0) = 0 {0,1}, con S(0) = S(1) = 1 N {-1} Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 36 I numeri Assiomi di Peano Sia R(n) una relazione nella quale n rappresenta un intero naturale, n N, tale che: 1) n0 N tale che R(n0) è vera, 2) si dimostra che (R(n) R(n+1)) è vera, allora R(n) è vera per ogni n n0. In particolare, se R(0) è vera, R è vera per ogni numero naturale. Si usa nelle dimostrazioni per induzione. 08/01/2011 I numeri XI - 37 Assiomi di Peano Esempio: quanto vale la somma dei primi n numeri naturali? Dimostrazione: Se n = 1, S(1) = 1. Sia S(n-1) = Lezione 11.wpd Assiomi di Peano Esempio: in quanti modi si possono permutare n elementi? Principio d'induzione Lezione 11.wpd I numeri allora 08/01/2011 XI - 39 Risposta: Dimostrazione: n = 1, n! = 1. C'è un solo modo per permutare un elemento. n = 2, n! = 2. Ci sono due modi per permutare due elementi: 12 o 21. Supponiamo che per permutarne (n-1) esistano (n-1)! modi. Allora, per permutarne n occorre scegliere in n modi differenti il primo, dopodiché i restanti (n-1) si permutano in (n-1)! modi. Dunque in totale Lezione 11.wpd 08/01/2011 XI - 38