Logica matematica - Dipartimento di Matematica

Logica matematica
Introduzione
Logica matematica
Schemi d’ assiomi logici
Schemi d’assiomi logici
Logica matematica
S
S
S
S
S
Se A, B, C sono relazioni, allora le relazioni:
AL1)
(
«A o A implica A»
AL2)
«A implica A o B»
AL3)
«A o B implica B o A»
AL4)
«A implica B, implica che C o A implica C o B»
... sono sempre vere, qualunque siano A, B e C.
Schemi d’assiomi logici
Conseguenze ed esempi
La verità matematica
Equivalenze
Teorie quantificate
Lezione 5.wpd
08/01/2011
Logica matematica
V-1
Conseguenze ed esempi
Conseguenze ed esempi
Teorema:
Siano A e non A due teoremi e B una relazione qualunque: allora B è un
teorema.
Dimostrazione:
S non A è un teorema;
S dallo schema AL2), (non A) implica ((nonA) o B) è un teorema;
S allora, per il sillogismo, ((non A) o B) è un teorema;
S per la definizione di implica, questo equivale ad A implica B
che è dunque un teorema;
S A è un teorema;
S per il sillogismo, B è un teorema.
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V-3
Lezione 5.wpd
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Logica matematica
V-2
Conseguenze ed esempi
Se in una teoria matematica si trovano i due teoremi
A
e
non A
allora qualunque relazione della teoria è vera e falsa allo stesso tempo.
Una teoria contraddittoria non ha alcun interesse.
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V-4
Logica matematica
Conseguenze ed esempi
Logica matematica
Conseguenze ed esempi
Se A è una relazione:
Se A, B, C sono relazioni
L6)
L5)
«Se A implica B e B implica C, allora A implica C».
Dimostrazione:
S’applica lo schema d’assioma AL4) alle relazioni B, C e non A, ottenendo
Conseguenza:
In una teoria matematica una relazione può essere o vera o falsa (vera la
sua negazione), tertium non datur, ma non può essere vera e falsa,
altrimenti la teoria perde di senso.
ovvero
quindi due volte il sillogismo.
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Logica matematica
V-5
Conseguenze ed esempi
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Lezione 5.wpd
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Logica matematica
V-6
La verità
La verità matematica
Elle/Il m'aime ...
- un peu
- beaucoup
- tendrement
- passionement
- à la folie
... rien du tout.
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L7)
A implica A è un teorema
deriva da AL2), AL1), L5).
A o non A è un teorema
deriva da L6), AL3) e dal sillogismo.
Usando le tavole di verità, si può verificare che gli schemi d’assiomi logici
e le tautologie che ne derivano sono effettivamente sempre veri.
Ad esempio, per AL1), l’uso delle tavole di verità porta ai risultati
seguenti:
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V-8
Logica matematica
La verità
A
B
non A
non B
non A o B, cioè
ponendo però A o A come B
B: AoA
non A o B, cioè
dunque
v
v
f
f
v
v
v
v
f
f
v
f
v
v
f
v
v
f
v
f
v
f
f
v
v
v
Logica matematica
L'uso d’assiomi impliciti, del sillogismo e di metodi di dimostrazione,
permette di dimostrare che alcune relazioni sono vere: le relazioni vere si
chiamano anche teoremi.
... ma vere rispetto a cosa?
f
v
Per fondare una teoria matematica occorrono degli assiomi espliciti,
relazioni da assumere come vere a priori, senza dimostrazione.
è sempre vera, qualunque sia A.
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Logica matematica
V-9
La verità
Lezione 5.wpd
V - 10
La verità
Problema dei quattro colori
1) vera:
assioma esplicito o teorema dimostrato.
2) falsa:
la sua negazione è un assioma esplicito od un teorema
dimostrato.
3) incerta:
non è stata trovata ancora una dimostrazione che la renda
vera o falsa.
È in lista d'attesa...
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Logica matematica
Una relazione in una teoria matematica T è :
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La verità
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Il problema dei quattro colori nasce per
la colorazione di carte geografiche: si
vuole che due stati connessi e confinanti
(che abbiano cioè una linea di confine in
comune) non abbiano lo stesso colore e ci
si domanda se quattro colori siano
comunque sufficienti. P. J. Heawood
(1861-1955) aveva dimostrato che cinque
colori sono comunque sufficienti.
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Logica matematica
La verità
Logica matematica
La verità
Il grande teorema di Fermat
La dimostrazione che ne occorrono e bastano quattro è stata data da K.
Appel e W. Haken nel 1976, usando 120 ore di calcolatore per la
dimostrazione, che nessun matematico è riuscito a controllare
completamente.
John Barrow: «è accettabile una dimostrazione interamente elaborata da
una macchina ma non verificabile dalla mente umana?».
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La verità
Pierre de Fermat (1601-1665) scrisse intorno al 1660, a margine
dell’Aritmetica di Diofanto:
«L'equazione
non ha soluzioni intere in x, y, z per n > 2»
aggiungendo:
«Ho scoperto una dimostrazione veramente notevole, ma il margine è
troppo piccolo per potercela scrivere».
Tre numeri interi x, y, z tali che
una terna pitagorica.
Ne esistono infinite:
3 4 5, 5 12 13, 7 24 25,
8 15 17, 9 40 41, .....
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V - 14
La verità
Relazione in una teoria matematica T :
4) indecidibile: è stato dimostrato che la relazione R è indipendente
dagli assiomi della teoria.
Si possono costruire due teorie matematiche indipendenti:
T'
T ''
Lezione 5.wpd
Lezione 5.wpd
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Logica matematica
Il teorema è stato dimostrato da Andrew Wiles nel 1994, utilizzando
diverse teorie matematiche che Fermat certamente non poteva conoscere
(Simon Singh, 1997, Il grande teorema di Fermat, Milano, Rizzoli).
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si dice che costituiscono
dove R è un assioma esplicito.
dove non R è un assioma esplicito.
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Logica matematica
La verità
Esempio:
l'esistenza di rette parallele è indipendente dagli altri assiomi della
geometria. Pertanto si possono costruire:
-
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Logica matematica
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La verità
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Relazione in una teoria matematica T :
5) contraddittoria: è un teorema tanto la relazione che la sua negazione.
... e siamo sicuri che relazioni dimostrate vere o false non siano
contraddittorie?
Assioma:
In un paese il barbiere fa la barba a tutti e soli quelli che non se la fanno
da soli.
Domanda:
Chi fa la barba al barbiere?
Risposta 1:
Il barbiere non si fa la barba da solo.
Ma allora deve farsela.
Risposta 2:
Il barbiere si fa la barba da solo.
Ma allora non può farsela.
Contraddizione!!
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La verità
Aiuto! la teoria T è inutile!
la geometria Euclidea (una parallela);
la geometria di Lobacewski (infinite parallele);
la geometria di Riemann (nessuna parallela).
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V - 19
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Logica matematica
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La verità
Soluzione:
L8)
dimostrazione per assurdo:
Sia A una relazione di T e T ' la teoria matematica ottenuta aggiungendo
non A agli assiomi di T. Se T ' risulta essere contraddittoria, A è un
teorema di T.
Applicazione:
Se si vuol dimostrare A si usa dire «supponiamo che A sia falsa» e si cerca
di stabilire una contraddizione. Si conclude dicendo «... ma questo è
assurdo, dunque A è vera».
Conclusione:
non è vero che il barbiere fa la barba a tutti e soli quelli che non se la
fanno da soli! È questo l'assurdo.
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L9)
A
La verità
(non non A) è un teorema.
Logica matematica
La verità
L10) (A
B)
(non B
non A) è un teorema.
Nota: L10) non è una dimostrazione per assurdo.
L12) (costante ausiliaria)
Siano x una lettera, A e B relazioni, x non figurante in B, e si conosca
un termine T tale che (T|x)A sia un teorema. Se, usando A come
assioma, si dimostra B, allora B è un teorema.
L11) (disgiunzione dei casi)
Se (A o B), (A
C), (B
S’usa dicendo: «sia x un oggetto tale che A» e si dimostra B. Per
applicarlo, si deve conoscere comunque un oggetto «tale che A».
C) sono teoremi, anche C è un teorema.
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Logica matematica
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Equivalenze
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Logica matematica
V - 22
Equivalenze
Equivalenze
A
Per lo stesso motivo
B
A solo se B
si legge
A implica B
o
non A o B
o
perché A occorre B
per definizione vale
condizione necessaria perché A è B
dunque
sono equivalenti.
se A allora B
poiché non A sarebbe falsificato.
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Logica matematica
Equivalenze
Lasciando A
B, ma scambiando A con B nel discorso s’ottengono altri
tre modi di dire anch’essi equivalenti fra loro ed agli altri:
B se A
o
perché B basta A
o
condizione sufficiente perché B è A
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Logica matematica
V - 25
Teorie quantificate
Teorie quantificate
Usando
e G, data una relazione R contenente una lettera x, si può
costruire un termine
che non contiene la lettera x.
Logica matematica
A
B
A equivalente a B
A
BeB
A
perché A occorre e basta B
A se e solo se B
si legge
e vale
dunque ...
ovvero
ma anche ...
condizione necessaria perché A è B e condizione necessaria perché B è A
...ma anche...
condizione sufficiente perché B è A e condizione sufficiente perché A è B
dunque ...
condizione necessaria e sufficiente affinché A è B
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Lezione 5.wpd
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Logica matematica
Esempio:
R(x)
T
R(T)
Se R è una relazione ed x una lettera
(
è una relazione che si legge
Esiste un x tale che R
e s’indica col simbolo
si chiama quantificatore esistenziale.
Equivalenze
Teorie quantificate
=
=
=
=
«x miagola»
Fuffi
(T|x)R = «Fuffi miagola»
«colui che miagola» =
=
miagola
= il Gatto (simbolo)
= «Il Gatto miagola»
= «colui che miagola, miagola»
=
=
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V - 26
= «esiste un x che miagola»
miagola miagola
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Logica matematica
Teorie quantificate
Teorie quantificate
Schema d’assioma:
La relazione
AL5)
si simboleggia
ovvero «se un termine T, sostituito ad x in R, rende R un teorema, allora
esiste un x tale che R».
e si legge
per ogni x, R
si chiama quantificatore universale.
Nota:
Più spesso s’usa il quantificatore relativo (
agli elementi d’un insieme I dato.
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Logica matematica
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Logica matematica
, limitandosi
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Teorie quantificate
Per poter dire che esiste un oggetto che gode d’una determinata proprietà,
occorre dimostrare che almeno un oggetto, ben definito (..quello...), ne
gode.
...ovvero: per poter dire che «colui che miagola, miagola» devo prendere
Fuffi e farlo miagolare...
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Logica matematica
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Teorie quantificate
Se R è una relazione, x è una lettera variabile, e T è un termine, allora
valgono le seguenti implicazioni:
L13)
«se non esiste alcun oggetto che goda di una proprietà, allora tutti gli
oggetti non ne godono».
dunque se R è vera allora sono tutte vere. Se R è falsa, ¬ R è vera, allora
sono tutte vere:
L14)
Se R è un teorema ed x una lettera
Nota: è vero che
è un teorema.
Nelle teorie quantificate non si possono usare le tavole di verità.
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Lezione 5.wpd
, ma è falso che
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!
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