Limiti notevoli. 1 - Dip. di Matematica Roma Tre

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Università “Roma Tre” – L. Chierchia
Limiti notevoli. 1
(29/10/2016)
an
= +∞.
n→+∞ np
Dimostrazione Dividiamo la dimostrazione in tre passi.
1) ∀ a > 1 , ∀ p ∈ N, si ha:
lim
an
lim √ = +∞.
n→+∞
n
Infatti, dalla disuguaglianza di Bernoulli ([G3], Esempio 1.4) segue che, se h := a−1 > 0,
√
1 + hn
n
an
√ ≥ √
> h √ = h n → +∞ per il Teorema del confronto ([B], Teorema 3.19).
n
n
n
(i) ∀ a > 1, si ha:
an
= +∞.
n→+∞ n
Sia c tale che 1 < c < a e sia b := a/c > 1, allora a = bc e
(ii) ∀ a > 1, si ha:
lim
bn cn (bc)n
an
bn cn (i)
√ √
= lim
= lim
=
lim √
lim √
= +∞.
n→+∞
n→+∞
n→+∞ n
n→+∞
n→+∞
n
n n
n
n
lim
(iii) Dimostriamo ora la 1) per induzione su p. Per p = 1 il risultato è stato dimostrato in
(ii). Assumiamo, il risultato vero per p ≥ 1 e dimostriamolo per p + 1. Siano b e c come
in (ii). Allora, per l’algebra dei limiti estesa ([B], Teorema 3.20), si ha
bn cn an
bn cn =
lim
=
lim
lim
= +∞.
n→+∞ np+1
n→+∞ np n
n→+∞ np
n→+∞ n
lim
2) lim n1/n = 1.
n→∞
Dimostrazione Osserviamo che n1/n ≥ 1 per ogni n. Quindi, basta dimostrare che, comunque scelto ε > 0, n1/n < 1 + ε definitivamente per n → +∞. Ma, n1/n < 1 + ε equivale a
(1 + ε)n
(1 + ε)n
> 1, il che è definitivamente vero poiché
→ +∞ (cfr. [B], (3.12)).
n
n
3) Per ogni a > 0, lim a1/n = 1.
n→∞
Dimostrazione Se a ≥ 1 si ha a1/n ≥ 1. D’altra parte, a < n definitivamente per n → ∞
e quindi si ha anche, definitivamente, 1 ≤ a1/n < n1/n e il risultato segue dal Teorema del
confronto e da 2).
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Se 0 < a < 1 si ha che a1/n = −1 1/n → 1, per i teoremi sull’algebra dei limiti ([B], Teorema
(a )
3.18).