1. Equazioni e Disequazioni Esercizio 1 Determinare il dominio di

1. Equazioni e Disequazioni
Esercizio 1 Determinare il dominio di definizione delle seguenti funzioni
√
1. f (x) = (x2 + x − 6)
3
2. f (x) = (−x2 + x + 2)π
3. f (x) = (x3 − 1)−3
p
4. f (x) = 3 − |x − 2|
5. f (x) = arcsin |x − 2|
√
6. f (x) = ln( 2x − 1 − 3x)
7. f (x) = ln(sin x − cos x)
8. f (x) =
9. f (x) =
x
ln(x2 −2)
√
x2 + x − 2 ln(3 − |x|)
2. Limiti e continuità
Esercizio 2
Calcolare i seguenti limiti tenendo presente la formula ( valida per f (x) > 0 )
f (x)g(x) = eln(f (x)
g(x)
) = eg(x) ln f (x)
10. limx→0+ xx
11. limx→0+ xsin x
1
12. limx→∞ x x
³ 2 ´3x2 +1
13. limx→∞ xx2 +3
+1
Calcolare i seguenti limiti ( osservando che non si possono applicare né limiti notevoli,
né la formula di De l’Hôpital. Tenere presente la proprietà ( che è una conseguenza
del teorema del confronto ) per la quale se f (x) → 0 per x → x0 ( dove x0 è un numero reale oppure ±∞) e g(x) è una funzione limitata, allora limx→x0 f (x)g(x) = 0
14. limx→0 sin x sin x1
15. limx→∞ (x + sin x)
16. limx→0 x2 cos x1 − x2
1
17. limx→∞
3x cos x+2x
2x2 sin x+3x2
Usando il teorema del confronto dimostrare che
18. limx→∞ (log x + sin x) = ∞
Esercizio 3 Studiare la continuità delle seguenti funzioni specificando il tipo di
disconuità eventuale
19.
½
f (x) =
20.
½
f (x) =
21.
(
f (x) =
22.
2
e sin x x 6= 0
0
x=0
6(x3 −1)
√
2x− x2 +3
x 6= 1
x=1
x2 +|x|−2x
x
x 6= 0
x=0
1
½
f (x) =
1
e x x 6= 0
0 x=0
0
3. Calcolo differenziale
Esercizio 4 Calcolare la derivata prima delle funzioni dell’esercizio 1 nel dominio
di derivabilità
√
23. f (x) = (x2 + x − 6)
3
24. f (x) = (−x2 + x + 2)π
25. f (x) = (x3 − 1)−3
p
26. f (x) = 3 − |x − 2|
27. f (x) = arcsin |x − 2|
√
28. f (x) = ln( 2x − 1 − 3x)
29. f (x) = ln(sin x − cos x)
30. f (x) =
31. f (x) =
x
ln(x2 −2)
√
x2 + x − 2 ln(3 − |x|)
Calcolare con l’aiuto della formula richiamata nell’esercizio 2 le derivate delle funzioni dell’ esercizio 2
32. f (x) = xx
2
33. f (x) = xsin x
1
34. f (x) = x x
³
35. f (x) =
x2 +3
x2 +1
´3x2 +1
Esercizio 5 Calcolare ( se esistono ) il massimo e il minimo delle seguenti funzioni
36. f (x) = xe−x
2
per x ∈ R
37. f (x) = 12 x + | sin x| per x ∈ [−2π, 2π]
38. f (x) = x4 − 4x3
per x ∈ R
4. Calcolo Integrale
Esercizio 6
Calcolare i seguenti integrali in intervalli simmetrici
R2
39. −2 (x − e|x| )dx
40.
Rπ
−π
((2x)2 sin 3x)dx
Calcolare i seguenti integrali dopo aver discusso il modulo della funzione integranda
R2
41. −1 (log(3 + x) − | sin x|)dx
42.
R2
0
(x3 − |x − 1|)dx
Calcolare l’area del sottografico delle seguenti funzioni nell’intervallo indicato, disegnare i grafici delle funzioni nel piano cartesiano e calcolare infine il valore medio
sempre nell’intervallo indicato specificando l’interpretazione geometrica:
√
√
43. f (x) = 3 x − 1 in x ∈ [1, 3 2]
44. f (x) =
p
3
√
|x − 1| in x ∈ [0, 3 2]
Bibliografia di riferimento
• M Amar, A.M.Bersani: Esercizi di Analisi Matematica, Progetto Leonardo cap. 2
3
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L.Giacomelli Analisi Matematica Mc Graw Hill, pagg
18-25
• P.Marcellini C. Sbordone Esercizi di Analisi Matematica I, prima parte e seconda
parte
4