Esercizi su limiti, derivate e studi di funzione
Esercitatori: Dott. Alessandro Ottazzi e Dott.ssa Maria Vallarino.
Esercizio 1. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
(i) limx→+∞
2
√x +1
;
x( 3+x2 −1)
(ii) limx→−∞
3x +2x10
;
x10 +ex
(iii) limx→+∞
3x −x2
;
5x +ln x
(iv) limx→0+
(v) limx→1
ln x
;
x5
ex−1
;
x−1
(vi) limx→1+
ex−1
;
x−1
(vii) limx→1−
ex−1
x−1
.
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di de l’Hopital:
(i) limx→0
1 cos(2x)−1
;
3
x2
(ii) limx→0+ x2 ln x;
(iii) limx→+∞ x π2 − arctan x .
Esercizio 3. Data la funzione f (x) =
x2
discuterne:
ln x
a) dominio e segno;
b) limiti e asintoti;
(c) eventuali massimi e minimi;
(d) concavità e convessitaà .
Tracciare un grafico qualitativo della funzione.
Esercizio 4. Considerata la funzione
f (x) = e1/|x| ,
1
studiarne il dominio, i limiti e gli asintoti (orizzontali, verticali, obliqui).
Stabilire in quali intervalli la funzione f è crescente e decrescente, concava e
convessa. Disegnare un grafico qualitativo della funzione.
Esercizio 5. Data la funzione
f (x) = xe1/|x| ,
studiarne il dominio e il segno. Studiarne inoltre i limiti e gli asintoti (orizzontali, verticali, obliqui). Stabilire in quali intervalli la funzione f è crescente
e decrescente, concava e convessa. Disegnare un grafico qualitativo della
funzione.
Esercizio 6. Supponiamo che la numerosità di una popolazione al tempo
t > 0 sia descritta dalla legge
p(t) =
2+t
2
arctan(3t) +
,
π
1+t
Qual è il destino finale della popolazione?
Esercizio 7. Supponiamo che la quantità d’acqua presente in un bacino
artificiale al tempo t > 0 sia descritta, rispetto a un’opportuna unità di
misura, dalla legge
q(t) = ln(t2 + 1) + arctan t + 10,
Sapendo che la capienza massima del bacino è uguale a 100, determinare se
l’acqua tracimerà.
Esercizio 8. Sia c(t) la concentrazione al tempo t di una sostanza inquinante
nell’atmosfera. Una disposizione di legge impone il blocco del traffico nel caso
in cui c(t) superi il valore 3. Lo scorso anno la concentrazione di tale sostanza,
rilevata sperimentalmente, è risultata la seguente
c(t) =
t2 −t/2
e
1+t
0 ≤ t ≤ 365.
È stato ordinato durante l’anno il blocco del traffico? La qualità dell’aria è
risultata migliore all’inizio o alla fine dell’anno?
Esercizio 9. Abbiamo ricevuto l’incarico di scegliere l’appezzamento di
terreno in cui iniziare la coltura di un cereale. Sappiamo che la produttività
2
del cereale al tempo t ≥ 0 rispetto ad una data unità di misura è descritta
dalla funzione quantità
t+1
q(t) = a ln
+ t + a ln 2,
t+2
dove il parametro a > 0 indica il tasso di sfruttamento a cui è stato sottoposto
un certo appezzamento di terreno dalle colture precedenti. Qual è il tasso
massimo di sfruttamento che può avere l’appezzamento di terreno da noi
scelto affinché la produzione di cereale risulti sempre in crescita?
Esercizio 10. La trasmissibilità di un virus influenzale si può descrivere con
una funzione
N (t) = Rt N0 ,
dove R > 0 indica il numero riproduttivo di base, che rappresenta i nuovi
casi prodotti da un infetto in una popolazione suscettibile (priva delle difese
immunitarie necessarie), e N (t) rappresenta il numero di persone infette al
tempo t. La costante N0 è il valore iniziale degli infetti. Discutere per quali
valori di R > 0 il virus ha uno sviluppo epidemico.
Supponiamo che il numero riproduttivo di base sia stato stimato R = 1, 5.
In una città di 3 · 106 di abitanti, il virus si propaga attraverso 102 individui
che sono stati infettati di ritorno da un viaggio. Se non si applicano misure
sanitarie, dopo quanto tempo l’intera popolazione sarà infetta?
Soluzioni
Esercizio 1. (i) 1; (ii) 2; (iii) 0; (iv) −∞; (v) non esiste; (vi) +∞; (vii)
−∞.
Esercizio 2. (i) −2/3; (ii) 0; (iii) 1.
Esercizio 6. Si ha
lim p(t) = 2 .
t→+∞
Quindi la popolazione tende a un valore di equilibrio pari a 2.
Esercizio 7. La funzione q ha derivata positiva. Quindi è crescente. Inoltre
q(0) = 10 e limt→+∞ q(t) = +∞. Pertanto l’acqua tracimerà.
3
Esercizio 8. Poiché c(0) = 0 e c(365) > 0 si ha che la qualità dell’aria è
risultata migliore a inizio anno.
La derivata prima della funzione c è
t(t2 − t − 4)
1
c0 (t) = − e−t/2
.
2
(1 + t)2
√
√
Tale derivata è positiva sen e solo se t ∈ [0, 1+2 17 ]. Il punto 1+2 17√è minore
di 365 ed è un punto di massimo della funzione c. Si ha che c( 1+2 17 ) < 3 .
Pertanto non è mai stato ordinato il blocco del traffico durante l’anno.
Esercizio 9. Si ha che
q 0 (t) =
t2 + 3t + 2 + a
,
(t + 2)(t + 1)
che è sempre positiva (per tempi positivi) solo se il numeratore ha discriminante negativo. Questo accade per a > 1/4.
Esercizio 10. Il virus ha uno sviluppo epidemico per R > 1.
Supponendo che R = 1.5 = 32 e che N (0) = 102 , si ha che l’intera popolazione sarà infetta dopo un tempo t ≥ log 3 (3 · 104 ).
2
4
