Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015 Prova intermedia di Analisi Matematica 1, M-Z 12 Febbraio 2015 ——————————— COMPITO C Esercizio 1 Studiare la funzione f (x) = e2−x |x2 − 6| rispondendo alle domande dello schema allegato. Esercizio 2 Sia f (x) = log(1 + x4 ) 1+ 4x 2x 2x−arctang 2 2 3x −sen 3x . a) Calcolare limx→0 f (x); b) Calcolare limx→+∞ f (x); c) Calcolare l’ordine di infinito (per x → 0) di g(x) = 2x−arctang 2x 3x2 −sen 3x2 . Esercizio 3 a) Provare tramite la formula di integrazione per sostituzione che Z π sen x dx = 0 . (| cos x| − 2)3 −π b) Calcolare Z 0 π sen x dx . (| cos x| − 2)3 Esercizio 4 (facoltativo) Sia f : R → R continua. Supponiamo che f ([0, 1]) ⊂ (0, 1) (cioè che l’immagine tramite f dell’intervallo [0, 1] sia contenuta strettamente in [0, 1] stesso). Provare che esiste x0 ∈ (0, 1) tale che f (x0 ) = x0 . Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015 Compito di Analisi Matematica, M-Z 22 Giugno 2015 ——————————— COMPITO A Esercizio 1 Sia fα (x) = tang 2x − 2x + sen x3 . x log(1 + 3x) + x2 (α + x) a) Calcolare, al variare di α ∈ R, limx→0 fα (x); b) Stabilire per quali valori di α ∈ R la funzione fα è un infinitesimo (per x → 0) e determinarne l’ordine e la parte principale. Esercizio 2 Stabilire il carattere della serie numerica +∞ X sen n2 √ arctang 3n + 4 n + 1 n=1 1 n+4 Esercizio 3 Sia data la funzione f (x, y) = |x3 |y 4 (x2 +y 2 )3 0 (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) , e sia A = {(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ |y|}. a) Provare che f è continua in (0, 0); b) Stabilire se f è differenziabile in (0, 0); c) Determinare massimo e minimo assoluti di g(x, y) = f (x,y) xy 4 in A; d) Calcolare ZZ g(x, y) dx dy . A Esercizio 4 Sia data l’equazione differenziale y 00 − y 0 − 2y = 2xe−x a) Determinare l’integrale generale dell’equazione. b) Determinare la soluzione yα che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = α, y 0 (0) = 0. c) Scrivere la formula di MacLaurin di ordine 2 della soluzione yα trovata al punto b). Studiare la funzione f (x) = e−|x+1| p x2 − 4x + 3 rispondendo alle domande dello schema allegato. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015 Compito di Analisi Matematica, M-Z 2 Luglio 2015 ——————————— COMPITO A Esercizio 1 Sia Z x f (x) = 0 √ (tang 3t2 ) 1 + t2 − t sen 3t dt . e4t2 − 1 a) Determinare l’ordine di infinitesimo di f (per x → 0); b) Stabilire per quali valori di α > 0 risulta f (x) = o(xα ). Esercizio 2 Sia an = 2n + n2 + e−n 3 √ log 1 + 2 , n n+ n n∈N a) Determinare α > 0 tale che limn→+∞ nα an sia finito e diverso da 0. P+∞ b) Stabilire il carattere di n=1 an Esercizio 3 Sia data la funzione f (x, y) = x arctang(xy) x2 +y 2 0 (x, y) 6= (0, 0) , + 4y (x, y) = (0, 0) , e sia A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 3, 0 ≤ √ 3 3 x ≤ y}. a) Provare che f è continua in (0, 0); b) Calcolare la derivata direzionale ∂f ∂v (0, 0) nella direzione v = ( √12 , − √12 ); c) Determinare massimo e minimo assoluti di g(x, y) = x2 y x2 +y 2 + 4y in A; d) Calcolare ZZ g(x, y) dx dy . A Esercizio 4 Sia data l’equazione differenziale y 00 − 4y = 5e−kx a) Determinare la soluzione generale al variare di k ∈ R; b) Stabilire se esistono soluzioni y(x) che tendono a 0 per x → +∞. Studiare la funzione |x + 5| x−2 rispondendo alle domande dello schema allegato. f (x) = arctang Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015 Compito di Analisi Matematica, M-Z 16 Luglio 2015 ——————————— COMPITO A Esercizio 1 Determinare l’ordine di infinitesimo, per x → +∞, di √ x3 + x x5 + x2 x arctang x2 + + . f (x) = x3 + x2 x6 − 2x3 ex Esercizio 2 Sia Z F (x) = 1 x t2 sen2 3t p dt . (2t3 + t2 ) 3 (t + 5)2 a) Stabilire se esiste finito limx→+∞ F (x); b) Provare che F (x) è monotona crescente in [1, +∞). Esercizio 3 Sia data la funzione f (x, y) = x2 |y| √ 2 2 + 3x (x, y) 6= (0, 0) , x +y 0 (x, y) = (0, 0) , a) Calcolare il gradiente di f in (0, 0); b) Provare che f è differenziabile in (0, 0); c) Determinare massimo e minimo assoluti di g(x, y) = x2 |y| + 3x nel triangolo T di vertici (0, 0), (2, 2), (4, 0). d) Calcolare Z g(x, y) ds . γ dove γ è una curva il cui sostegno coincide con ∂T orientata in senso antiorario. Esercizio 4 Sia data l’equazione differenziale y 00 + 4k 2 y = 5 cos 2x. a) Determinare, al variare di k > 0, l’integrale generale dell’equazione. b) Per k = 1, determinare la soluzione che soddisfa alle condizioni iniziali y(0) = 0, y 0 (0) = 2. c) Scrivere la formula di Taylor di centro x0 = 0 e di ordine 2 della soluzione ottenuta in b). Studiare la funzione 2x+1 f (x) = e−| x−2 | rispondendo alle domande dello schema allegato.