Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015
Prova intermedia di Analisi Matematica 1, M-Z
12 Febbraio 2015
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COMPITO C
Esercizio 1
Studiare la funzione
f (x) = e2−x |x2 − 6|
rispondendo alle domande dello schema allegato.
Esercizio 2
Sia
f (x) =
log(1 + x4 )
1+
4x
2x
2x−arctang
2
2
3x −sen 3x
.
a) Calcolare limx→0 f (x);
b) Calcolare limx→+∞ f (x);
c) Calcolare l’ordine di infinito (per x → 0) di g(x) =
2x−arctang 2x
3x2 −sen 3x2 .
Esercizio 3
a) Provare tramite la formula di integrazione per sostituzione che
Z π
sen x
dx = 0 .
(|
cos
x| − 2)3
−π
b) Calcolare
Z
0
π
sen x
dx .
(| cos x| − 2)3
Esercizio 4 (facoltativo)
Sia f : R → R continua. Supponiamo che f ([0, 1]) ⊂ (0, 1) (cioè che l’immagine tramite f dell’intervallo [0, 1] sia contenuta strettamente in [0, 1] stesso).
Provare che esiste x0 ∈ (0, 1) tale che f (x0 ) = x0 .
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015
Compito di Analisi Matematica, M-Z
22 Giugno 2015
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COMPITO A
Esercizio 1
Sia
fα (x) =
tang 2x − 2x + sen x3
.
x log(1 + 3x) + x2 (α + x)
a) Calcolare, al variare di α ∈ R, limx→0 fα (x);
b) Stabilire per quali valori di α ∈ R la funzione fα è un infinitesimo (per
x → 0) e determinarne l’ordine e la parte principale.
Esercizio 2
Stabilire il carattere della serie numerica
+∞
X
sen n2
√
arctang
3n + 4 n + 1
n=1
1
n+4
Esercizio 3
Sia data la funzione
f (x, y) =



|x3 |y 4
(x2 +y 2 )3

 0
(x, y) 6= (0, 0) ,
(x, y) = (0, 0) ,
e sia A = {(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ |y|}.
a) Provare che f è continua in (0, 0);
b) Stabilire se f è differenziabile in (0, 0);
c) Determinare massimo e minimo assoluti di g(x, y) =
f (x,y)
xy 4
in A;
d) Calcolare
ZZ
g(x, y) dx dy .
A
Esercizio 4
Sia data l’equazione differenziale
y 00 − y 0 − 2y = 2xe−x
a) Determinare l’integrale generale dell’equazione.
b) Determinare la soluzione yα che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = α,
y 0 (0) = 0.
c) Scrivere la formula di MacLaurin di ordine 2 della soluzione yα trovata al
punto b).
Studiare la funzione
f (x) = e−|x+1|
p
x2 − 4x + 3
rispondendo alle domande dello schema allegato. Non è richiesto lo studio della
derivata seconda.
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015
Compito di Analisi Matematica, M-Z
2 Luglio 2015
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COMPITO A
Esercizio 1
Sia
Z
x
f (x) =
0
√
(tang 3t2 ) 1 + t2 − t sen 3t
dt .
e4t2 − 1
a) Determinare l’ordine di infinitesimo di f (per x → 0);
b) Stabilire per quali valori di α > 0 risulta f (x) = o(xα ).
Esercizio 2
Sia
an =
2n + n2 + e−n
3
√
log 1 + 2 ,
n
n+ n
n∈N
a) Determinare α > 0 tale che limn→+∞ nα an sia finito e diverso da 0.
P+∞
b) Stabilire il carattere di n=1 an
Esercizio 3
Sia data la funzione
f (x, y) =


x arctang(xy)
x2 +y 2

0
(x, y) 6= (0, 0) ,
+ 4y
(x, y) = (0, 0) ,
e sia A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 3, 0 ≤
√
3
3 x
≤ y}.
a) Provare che f è continua in (0, 0);
b) Calcolare la derivata direzionale
∂f
∂v (0, 0)
nella direzione v = ( √12 , − √12 );
c) Determinare massimo e minimo assoluti di g(x, y) =
x2 y
x2 +y 2
+ 4y in A;
d) Calcolare
ZZ
g(x, y) dx dy .
A
Esercizio 4
Sia data l’equazione differenziale
y 00 − 4y = 5e−kx
a) Determinare la soluzione generale al variare di k ∈ R;
b) Stabilire se esistono soluzioni y(x) che tendono a 0 per x → +∞.
Studiare la funzione
|x + 5|
x−2
rispondendo alle domande dello schema allegato.
f (x) = arctang
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 2014/2015
Compito di Analisi Matematica, M-Z
16 Luglio 2015
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COMPITO A
Esercizio 1
Determinare l’ordine di infinitesimo, per x → +∞, di
√
x3 + x
x5 + x2
x arctang x2
+
+
.
f (x) =
x3 + x2
x6 − 2x3
ex
Esercizio 2
Sia
Z
F (x) =
1
x
t2 sen2 3t
p
dt .
(2t3 + t2 ) 3 (t + 5)2
a) Stabilire se esiste finito limx→+∞ F (x);
b) Provare che F (x) è monotona crescente in [1, +∞).
Esercizio 3
Sia data la funzione
f (x, y) =

x2 |y|

 √ 2 2 + 3x (x, y) 6= (0, 0) ,
x +y

 0
(x, y) = (0, 0) ,
a) Calcolare il gradiente di f in (0, 0);
b) Provare che f è differenziabile in (0, 0);
c) Determinare massimo e minimo assoluti di g(x, y) = x2 |y| + 3x nel triangolo T di vertici (0, 0), (2, 2), (4, 0).
d) Calcolare
Z
g(x, y) ds .
γ
dove γ è una curva il cui sostegno coincide con ∂T orientata in senso
antiorario.
Esercizio 4
Sia data l’equazione differenziale
y 00 + 4k 2 y = 5 cos 2x.
a) Determinare, al variare di k > 0, l’integrale generale dell’equazione.
b) Per k = 1, determinare la soluzione che soddisfa alle condizioni iniziali
y(0) = 0, y 0 (0) = 2.
c) Scrivere la formula di Taylor di centro x0 = 0 e di ordine 2 della soluzione
ottenuta in b).
Studiare la funzione
2x+1
f (x) = e−| x−2 |
rispondendo alle domande dello schema allegato.