recupero obiettivi minimi

classe 3M – COMPITO DI MATEMATICA DI RECUPERO DEGLI OBIETTIVI MINIMI
SOLUZIONE
E’ data la retta r di equazione 3 x − y + 6 = 0 .
Rappresenta la retta su di un piano cartesiano ortogonale monometrico e sullo stesso piano
rappresenta tutti i punti e le rette che ti verrà chiesto di trovare successivamente.
Vedi figura a pagina 3.
Scrivi l’equazione della retta s e della retta t, rispettivamente parallela e perpendicolare alla retta r,
passanti per il punto A(2;0).
s) 3 x − y − 6 = 0
t) x + 3 y − 2 = 0
1
2
s) y = 3 x − 6
t) y = − x +
3
3
Scriviamo in modo esplicito l’equazione della retta r: y = 3 x + 6 . La retta s, parallela alla retta r, ha
lo stesso coefficiente angolare m = 3, per cui la sua equazione si ricava da: ( y − yA ) = m ( x − xA ) da
cui segue 3 x − y − 6 = 0 , ossia y = 3 x − 6 .
1
1
, ossia m' = − , per
m
3
da cui segue x + 3 y − 2 = 0 , ossia
La retta t, perpendicolare alla retta r, ha invece coefficiente angolare m' = −
cui la sua equazione si ricava da: ( y − yA ) = m ' ( x − xA )
1
2
y = − x+ .
3
3
Trova le coordinate del punto B di intersezione tra la retta r e la retta t.
 8 6
B = − ; .
 5 5
3 x − y + 6 = 0
costituito dalle
Le coordinate del punto B si ricavano dalla soluzione del sistema 
 x + 3 y + −2 = 0
equazioni delle rette r e t. Risolvendo (per esempio ricavando la y dalla prima equazione e
 8 6
sostituendo nella seconda) si ha: B =  − ;  .
 5 5
Sia C il punto in cui la retta r interseca l’asse x. Determina il baricentro G e l’area del triangolo
ABC.
12
 8 2
C = ( −2; 0 )
G = − ; 
A ( ABC ) =
5
 15 5 
3 x − y + 6 = 0
Per determinare Le coordinate del punto C basta risolvere il sistema 
. Risolvendo si
y = 0
ha: C = ( −2; 0 ) .
Le coordinate del baricentro del triangolo ABC sono date da:
1
8
6
2− +2
0+ +0
xA + xB + xC
y
+
y
+
y
8
2
5
5
B
C
xG =
yG = A
=
=−
e
=
= .
3
3
15
3
3
5
Per determinare l’area del triangolo ABC osserviamo che esso è rettangolo in B, ma più facilmente
può essere calcolata considerando la basa CA e l’altezza h ad essa relativa. Infatti,
6
1
1
6 12
CA = xC − xA = 4 e h = yB = , per cui si ha: A ( ABC ) = CA ⋅ h = ⋅ 4 ⋅ = .
5
2
2
5 5
Calcola la distanza del punto G dalla retta s
d ( G ,s ) =
4
10
5
 8 2
3 −  − − 6
ax + byG + c
8
4
 15  5
d ( G ,s ) = G
=
=
=
10
9 +1
10 5
a 2 + b2
Scrivi le equazioni delle bisettrici dell’angolo formato tra la retta r e la retta t . Indicale con b1 e b2
e sia b1 quella con coefficiente angolare positivo.
b1 ) x − 2 y + 4 = 0
b2 ) 2 x + y + 2 = 0
Dalla definizione di bisettrice di un angolo segue che un punto P di coordinate generiche ( x; y )
appartiene alla bisettrice se è equidistante delle rette r e t.
Si ha:
ax + byP + c
3x − y + 6
a' xP + b' yP + c'
x + 3y − 2
e d ( P ,t ) =
d ( P ,r ) = P
=
=
10
10
a 2 + b2
a' 2 + b' 2
Uguagliando:
3x − y + 6
x + 3y − 2
=
da cui 3x − y + 6 = x + 3 y − 2 , quindi 3x − y + 6 = ± ( x + 3 y − 2 ) si
10
10
hanno quindi le due equazioni:
3x − y + 6 = x + 3 y − 2
2x − 4 y + 8 = 0
x − 2y + 4 = 0
⇒
⇒
3x − y + 6 = − ( x + 3 y − 2 )
⇒
4 x + +2 y + 4 = 0
⇒
2x + y + 2 = 0
2
3