Lezione N. 5

Lezione 5
1
Cosa c’è nell’Unità 2
• In questa sezione si affronteranno
– Introduzione alle reti dinamiche
– Determinazione dei valori iniziali
– Transitori nelle reti ad una costante di tempo
– Poli (o frequenze naturali) di una rete
– Transitori nelle reti a due costanti di tempo
– Equazioni differenziali di una rete
Lezione 5
2
Reti nel dominio del tempo
Lezione 5
3
Introduzione alle reti dinamiche
Lezione 5
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Tagli e maglie di elementi reattivi
• Classificazione:
• Reti non degeneri
• Reti degeneri
• Elementi topologici che comportano
degeneranza:
• Maglie di condensatori:
– maglie i cui lati sono o condensatori o
generatori di tensione
• Tagli di induttori:
Lezione 5
– tagli i cui lati sono o induttori o generatori di
corrente
5
Esempio
• La rete presenta un taglio di induttori
(indicato in blu) ed una maglia di
condensatori (indicata in rosso)
Lezione 5
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Reti non degeneri 1/2
• Una rete che contiene maglie di
condensatori e/o tagli di induttori si dice
degenere.
– Esempio di rete degenere:
Lezione 5
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Reti non degeneri 2/2
– Esempio di rete non degenere:
Lezione 5
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Ordine complessita’ di una rete
• L’ordine di complessità di una rete
(degenere o non degenere) è definito dalle
condizioni iniziali che devono essere
definite per poter determinare la sua
evoluzione temporale
– l’ordine di complessità di una rete si può esprimere
come differenza tra il numero totale di condensatori ed
induttori e la somma totale di maglie di condensatori e
tagli di induttori
Lezione 5
Il
9
di
li di
t
i
id
il
Introduzione alle reti dinamiche
Lezione 5
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Variabili di stato 1/2
• Grandezze importanti nelle reti dinamiche:
–
Variabili di stato:
• tensioni sui condensatori
• correnti sugli induttori
Lezione 5
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Variabili di stato 2/2
• Nella rete le variabili di stato sono: vc1, vc2 e iL
Lezione 5
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Uscite
• Uscite: tutte le tensioni e le correnti che
interessa calcolare nella rete
• Nella rete le uscite sono vL, i1, i2, vc1.
Lezione 5
vc1 è anche variabile di stato
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Ingressi
• Ingressi: sono le tensioni e le correnti dei
generatori ideali indipendenti presenti nella
rete
e
e
•LezioneNella
rete
gli
ingressi
sono
a,
e
1
2
5
14
Reti nel dominio del tempo
Lezione 5
15
Determinazione dei valori iniziali
Lezione 5
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Definizioni
• Se non sarà indicato diversamente le
attivazioni delle reti saranno supposte
nell’istante t=0
• Condizioni e valori iniziali
– condizioni iniziali:
sono i valori delle grandezze di rete
nell’istante 0-. Esempio v(0-), i(0-)
– valori iniziali:
sono i valori delle grandezze di rete
nell’istante 0+. Esempio v(0+), i(0+).
Lezione 5
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Teoremi
• Nelle reti che non sono degeneri dopo
l’attivazione di interruttori, non si hanno
discontinuità temporali delle variabili di
stato
• Nelle reti non degeneri non si ha
discontinuità delle variabili di stato anche in
presenza di discontinuità temporali nei
generatori
Lezione 5
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Continuità
vc (0 + ) = vc (0 − )
La rete non è degenere. Si
ha continuità dello stato
vc (0 − ) = 0 , vc (0 + ) = Eo
La rete è degenere. Si può
avere discontinuità dello stato
Lezione 5
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Discontinuità delle uscite 1/2
• In generale le uscite di una rete in presenza di
interruttori e/o generatori discontinui sono
discontinui.
Lezione 5
Eo
i (0− ) = 0 , i (0+ ) =
R
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Discontinuità delle uscite 2/2
• La rete non è degenere.
Tuttavia la corrente i(t) non è una variabile di
stato: il valore iniziale in questo caso è
differente dalla condizione iniziale!
Lezione 5
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Esempio 1/3
• Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore
• Variabili di stato:
– corrente i1(t) sull’induttore L1
– corrente i2 (t) sull’induttore L2
Lezione 5
– tensione vC (t) sul condensatore C
22
Esempio 2/3
• Continuità dello stato:
i1 (0 + ) = i1 (0 − ) = 0
i2 (0 + ) = i2 (0 − ) = 0
vC (0 + ) = vC (0 − ) = 0
• Nell’istante t=0+:
– Gli induttori equivalgono a circuiti aperti
– Il condensatore equivale ad un corto circuito
Lezione 5
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Esempio 3/3
• Ne consegue
Lezione 5
i3 (0 + ) = 0
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Determinazione dei valori iniziali
Lezione 5
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Esercizio 1 (1/5)
• Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione
dell’interruttore
• Continuità della corrente sull’induttore e
della tensione sul condensatore
Lezione 5
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Esercizio 1 (2/5)
• Condizioni iniziali dello stato:
– in t=0- la rete è a regime (stazionario)
Il condensatore è un circuito aperto
• l’induttore è un corto circuito
•
Lezione 5
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Esercizio 1 (3/5)
• Condizione iniziale dello stato
vC (0− ) =1|| 2 ×1= 0.66V
1
iL(0−) = ×1=0.33A
2+1
• Condizione iniziale dell’uscita
2
×1 = 0.66 A
i3 (0− ) =
2 +1
Lezione 5
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Esercizio 1 (4/5)
• Situazione della rete in t=0+
Lezione 5
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Esercizio 1 (5/5)
• Valore iniziale dell’uscita: Si applichi Millman
10 vC (0+ )
+
− iL (0+ ) + 1
1
1
2
= 4.4 A ≠ i3 (0− ) = 0.66 A
i3 (0+ ) =
1 1 1
1
+ +
1 2 1
Lezione 5
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Esercizio 2 (1/5)
• Calcolare v(0+) dopo la deviazione
dell’interruttore
• Continuità della corrente sull’induttore e
della tensione sul condensatore
Lezione 5
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Esercizio 2 (2/5)
• Condizioni iniziali dello stato:
– in t=0- la rete è a regime (stazionario)
– Il condensatore è un circuito aperto
– l’induttore è un corto circuito
Lezione 5
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Esercizio 2 (3/5)
1||1
vC (0− ) =
10 = 3.33V ,
1 + 1||1
vC (0− )
iL (0− ) =
= 3.33 A
1
• Condizione iniziale dell’uscita
Lezione 5
v(0− ) =
1||1
10 = 3.33V
1 + 1||1
33
Esercizio 2 (4/5)
• Situazione della rete in t=0+
vC (0 + ) = vC (0 − ) = 3.33 V
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 3.33 A
Lezione 5
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Esercizio 2 (5/5)
• Valore iniziale dell’uscita: Si applichi Millman
vC (0+ )
20
− iL (0+ ) +
1 = 6.6 V ≠ v(0 )
v(0+ ) = 1
−
1 1 1
+ +
1 1 1
Lezione 5
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Reti nel dominio del tempo
Lezione 5
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Transitori nelle reti ad una costante di tempo
Lezione 5
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Tipologie
• Presenza di un induttore
• Presenza di un condensatore
Lezione 5
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Formula fondamentale
valore finale
⇓
y (t ) = ( y (0 + ) − Y∞ ) e
−
t
τ
+ Y∞
⇑
valore iniziale
L
τ =
Re
τ = Re C
Lezione 5
induttore
condensatore
39
Esempio 1/8
• Calcolare i(t)
i (t ) = i (0 − ),
t<0
i (t ) = [i (0 + ) − I ∞ ] e
−
t
τ
+ I∞ , t > 0
• Continuità della corrente sull’induttore
Lezione 5
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Esempio 2/8
• Condizioni iniziali dello stato:
– in t=0- la rete è a regime (stazionario)
– l’induttore è un corto circuito
Lezione 5
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Esempio 3/8
12 5
+
v AB (0 − ) = 2 4 = 5.8 V
1 1 1
+ +
2 2 4
12 − v AB (0 − )
iL (0 − ) =
= 3.1 A
2
• Condizione iniziale dell’uscita
Lezione 5
i (0 − ) =
v AB (0 − )
= 2.7 A
2
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Esempio 4/8
•
Situazione della rete in t=0+
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 3.1 A
Lezione 5
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Esempio 5/8
• Valore iniziale dell’uscita:
i (0 + ) = iL (0 + ) = 3.1 A ≠ i (0 − ) = 2.7 A
Lezione 5
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Esempio 6/8
• Costante di tempo
Re = 2 + 2 = 4Ω, L = 3H
Lezione 5
L 3
τ=
= = 0.75 s
Re 4
45
Esempio 7/8
• Valore finale dell’uscita:
– l’induttore è un corto circuito
Lezione 5
12
I∞ =
=3A
2+2
46
Esempio 8/8
• Transitorio dell’uscita
I ∞ = 3, τ = 0.75
i (0 + ) = 3.1,
i (t ) = 0.1 e
Lezione 5
−
t
0.75
+ 3 [ A], t > 0
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