Transitori nelle reti ad una costante di tempo

Transitori nelle reti ad una costante di tempo
Lezione 6
1
Circuito con amplificatore
• Calcolare v(t)
v (t ) = v (0 − ),
t<0
v (t ) = [ v (0 + ) − V∞ ] e
−
t
τ
+ V∞ , t > 0
• Continuità della tensione sul condensatore
Lezione 6
2
Interruttore non ancora
attivato 1/2
• Condizioni iniziali dello stato e dell’uscita:
– in t=0- la rete è a regime (stazionario)
• Il condensatore è in una parte di rete senza
generatori
• Il condensatore equivale ad un corto circuito
Lezione 6
3
Interruttore non ancora
attivato 2/2
vC (0 − ) = 0
Lezione 6
v (0 − ) = 0
4
Valori iniziali 1/2
• Valori iniziali dello stato e dell’uscita:
– in t=0+ la rete è in funzionamento dinamico
• il condensatore è un corto circuito:
vC (0 + ) = vC (0 − ) = 0
Lezione 6
5
Valori iniziali 2/2
• Tensione differenziale ingresso amplificatore
nulla:
vM (0 + ) = 10 = v N (0 + ) = v (0 + ) = 10 V
Lezione
6
6
Costante di tempo 1/3
• Costante di tempo:
– rendere inerte la rete
– sostituire il condensatore con un generatore di
corrente ip
– calcolare Re=vp/ip
Lezione 6
7
Costante di tempo 2/3
• Sovrapposizione effetti:
vN = 25|| 20 ip +
25
vu = vM = 0
20 + 25
⇓
vu = −20ip
20
20
v p = 25 || 20 i p −
vu = 25 || 20 i p +
20 i p = 20 i p
20 + 25
20 + 25
Lezione 6
8
Costante di tempo 3/3
• Resistenza equivalente:
•Lezione
Costante
di tempo:
6
Re =
vp
ip
= 20 k Ω
τ = Re C = 20 ×10 3 × 50 ×10 −6 = 1 s
9
Valori finali 1/2
• Valore finale uscita:
– il condensatore è un circuito aperto
25
v+ = 10 = v− =
v∞
20 + 25
⇓
v∞ =
Lezione 6
45
10 = 18 V
25
10
Valori finali 2/2
−t
v
(
t
)
=
−
8
e
+ 18 [V ], t > 0
• Transitorio dell’uscita:
( v (0 + ) = 10, V∞ = 18, τ = 1)
Lezione 6
11
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
Lezione 6
12
Circuito con generatore pilotato
• Calcolare ix(t)
ix (t ) = ix (0− ),
t <0
−
t
ix (t ) = [ix (0+ ) − I x ∞ ] e τ + I x ∞ , t > 0
• Continuità della corrente sull’induttore
Lezione 6
13
Condizioni iniziali 1/2
• Condizioni iniziali dello stato e dell’uscita:
– in t=0- la rete è a regime (stazionario)
– l’induttore è in serie con un circuito aperto:
iL (0 − ) = 0
Lezione 6
14
Condizioni iniziali 2/2
• Equazione nodo M:
ix (0 − ) + 2ix (0 − ) = 0 ⇒
Lezione 6
ix (0 − ) = 0
15
Valori iniziali 1/2
• Valori iniziali dello stato e dell’uscita:
– in t=0+ la rete è in funzionamento dinamico
• l’induttore equivale ad un circuito aperto:
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 0
Lezione 6
16
Valori iniziali 2/2
• Equazione nodo M:
ix (0 + ) + 2ix (0 + ) = 0 ⇒ ix (0 + ) = 0
Lezione 6
17
Costante di tempo 1/3
• Costante di tempo:
– Rendere inerte la rete
– Sostituire l’induttore con un generatore di corrente ip
– Calcolare Re=vp/ip
Lezione 6
18
Costante di tempo 2/3
• Equazione nodo M:
Lezione 6
1
ix + 2ix + I p = 0 ⇒ ix = − I p
3
19
Costante di tempo 3/3
1
ix = − I p
3
• Equazione maglia:
v p = vM + 1 × I p = − 2 ix + I p =
Re =
Lezione 6
vp
ip
=
5
Ω,
3
τ=
5
Ip
3
L 9
= s
Re 5
20
Valori finali 1/2
• Valore finale uscita:
– L’induttore è un corto circuito (regime stazionario)
1 × (3 I x∞ ) = 5 − 2( I x∞ ) ⇒
I x∞ = 1 A
Lezione 6
21
Valori finali 2/2
• Transitorio dell’uscita: ix (t ) = − e
(ix (0 + ) = 0,
Lezione 6
I x∞
5
− t
9
+ 1 [ A], t > 0
9
= 1, τ = s )
5
22
Transitori nelle reti ad una costante di tempo:
Ingressi Sinusoidali
Lezione 6
23
Formula 1/2
• Formula del transitorio nel caso di
ingressi
sinusoidali
– le costanti di tempo non cambiano
– il valore finale è sostituito con il termine di
regime
• il termine di regime è sinusoidale ed
isofrequenziale con gli ingressi
• esso si calcola con il calcolo simbolico.
Lezione 6
24
Formula 2/2
termine di regime
⇓
y (t ) =  y (0 + ) − y p (0)  e
−
t
τ
+ y p (t )
⇑
valore iniziale
Lezione 6
25
Esempio 1/8
• Nella rete l’ingresso è sinusoidale. Calcolare i(t)
i (t ) =  i (0 + ) − i p (0)  e
Lezione 6
−
t
τ
+ i p (t ), t > 0
26
Esempio 2/8
• in t=0- la rete funziona a regime (sinusoidale)
• Nel dominio dei fasori :
– Il condensatore e’ modellato con l’impedenza –j0.5
– il fasore dell’ingresso vale -2 j
Lezione 6
27
Esempio 3/8
• Condizione iniziale dello stato e dell’uscita:
− j 0.5
VC =
(− j 2) = −0.47 − j 0.12
2 − j 0.5
vC (0 − ) = Re Vc e jω t 
= Re [Vc ] = − 0.47 V
i (0− ) = Re[ I ] = Re[
Lezione 6
i (t ) = 0.235 cos(2t ) − 0.941sin(2t ) t < 0
t =0
[V ]
=
−2 j
] = 0.235 A
2 − j 0.5
28
Esempio 4/8
• Situazione della rete in t=0+ :
– e(0)=0
– la rete non è degenere:
Lezione 6
vC (0 + ) = vC (0 − ) = −0.47 V
29
Esempio 5/8
• Valore iniziale dell’uscita:
1 ||1 vC (0 + )
i (0 + ) = −
= 0.156 A ≠ i (0 − ) = 0.235 A
1 + 1 ||1 1
Lezione 6
30
Esempio 6/8
• Costante di tempo
Re = 1 + 1 ||1 = 1.5 Ω , C = 1F
Lezione 6
τ = Re C = 1.5 s
31
Esempio 7/8
• Termine di regime dell’uscita (dominio dei
fasori):
−2 j
= 0.1 − j1.3 [ A]
Ip =
1 + (1 − j 0.5) ||1
i p (t ) = Re[ I p e jω t ] =
= Re[(0.1 − j1.3)e j 2 t ] =
0.1cos(2t ) + 1.3sin(2t ) [ A]
i p (0) = 0.1[ A]
Lezione 6
32
Esempio 8/8
• Transitorio dell’uscita:
−
t
1.5
i (t ) = (0.156 − 0.1) e
+
0.1cos(2t ) + 1.3sin(2t ) [ A], t > 0
Lezione 6
33
Grafico di i(t) per tutti i valori di t. La linea in rosso rappresenta il transitorio
Discontinuita’ di i(t) in t=0
Lezione 6
34
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
Lezione 6
35
Metodo 1/4
• Presenza nella rete di interruttori che si
aprono (chiudono) e si richiudono (riaprono)
in istanti successivi
• Caso trattato: Ingressi in continua
(costanti nel tempo)
Lezione 6
36
Metodo 2/4
• Nell’intervallo ti – ti+1 relativo ad ogni fase di
funzionamento:
integrale particolare
⇓
x (t ) = ( x (ti ) − X pi ) e
−
t − ti
τi
+ X pi ,
ti ≤ t ≤ ti +1
⇑
valore all'istante iniziale
dell'intervallo
Lezione 6
37
Metodo 3/4
x (t ) = ( x (ti ) − X pi ) e
−
t − ti
τi
+ X pi ,
ti ≤ t ≤ ti +1
• Le variabili di stato sono continue negli
istanti in cui finisce una fase e comincia la
fase successiva
• La costante di tempo può cambiare da una
fase all’altra
Lezione 6
38
Metodo 4/4
• L’integrale particolare Xpi dipende dalla fase
considerata e può essere calcolato
supponendo che tale fase duri abbastanza per
poter raggiungere il regime stazionario
Lezione 6
39
Esempio 1/7
• L’interruttore si apre nell’istante t=0 e si
richiude
nell’istante t=0.4 s.
– calcolare vC(t)
Lezione 6
40
Esempio 2/7
• Presenza di tre fasi di funzionamento:
– fase 1: t<0:
la rete è in regime stazionario
– fase 2: 0<t<0.4:
la rete è in fase transitoria ma non raggiunge il regime
– fase 3: t>0.4:
la rete è in fase transitoria ma raggiunge il regime
Lezione 6
41
Esempio 3/7
• Fase 1: t<0.
La parte di rete dove è inserito il condensatore
è inerte:
vC (t ) = 0, t ≤ 0
vC (0− ) = 0
Lezione 6
42
Esempio 4/7
• Fase 2:
0 ≤ t ≤ 0.4 : vC (t ) = ( vC (0 + ) − V p1 ) e
– Valore iniziale
t
τ1
+ V p1 ,
vC (0 + ) = vC (0 − ) = 0
– Costante di tempo
Lezione 6
−
Re1 = 3 + 2 = 5 Ω
⇒ τ 1 = CRe1 = 0.5 s43
Esempio 5/7
• Fase 2:
– Integrale Particolare
– Transitorio
Lezione 6
V p1 = V∞1 = 10 V
vC (t ) = − 10 e
−
t
0.5
+ 10,
0 ≤ t ≤ 0.4
44
Esempio 6/7
• Fase 3:
t ≥ 0.4 : vC (t ) = ( vC (0.4 + ) − V p 2 ) e
Valore iniziale:
vC (0.4 + ) = vC (0.4 − ) = 10(1 − e −2 t )
Costante di tempo:
Lezione 6
Re 2 = 2 Ω
−
t − 0.4
τ2
t = 0.4
+ Vp2 ,
= 5.5 V
⇒ τ 2 = CRe 2 = 0.2 s
45
Esempio 7/7
• Integrale particolare:
•LezioneTransitorio:
6
V p 2 = V∞ 2 = 0 V
vC (t ) = 5.5 e
−
t − 0.4
0.2
,
t ≥ 0.4 s
46
Transitori nelle reti ad una costante di tempo
Lezione 6
47
Teorema 1/2
• Nelle reti non degeneri se in determinato
istante sono noti gli ingressi e le variabili di
stato, in quello stesso istante si può
calcolare qualsiasi uscita della rete
Lezione 6
48
Teorema 2/2
• Le equazioni che esprimono l’uscita in
funzione dello stato e dell’ingresso si
chiamano equazioni di uscita
– lavorando nel dominio del tempo, nelle reti
non degeneri, conviene sempre calcolare le
evoluzioni temporali delle variabili di stato
• vantaggio: le variabile di stato sono continue e
comunque a partire da esse, le uscite si calcolano
con l’equazioni di uscita
Lezione 6
49
Esempio 1/4
• Ingressi: e,a
• Variabili di stato : vC, il
• Uscite: v4,i1,i2
Lezione 6
50
Esempio 2/4
• Sostituire condensatori con generatori di tensione
• Sostituire induttori con generatori di corrente
Lezione 6
51
Esempio 3/4
• La sovrapposizione degli effetti dovuti ai
generatori equivalenti associati alle variabili
di stato ed ai generatori associati agli
ingressi porge le equazioni:
v4 (t ) =
Lezione 6
RR
R4
vC (t ) + 3 4 a(t )
R3 + R4
R3 + R4
i1 (t ) =
R2
1
1
e(t ) +
iL (t ) −
vC (t )
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
i2 (t ) =
R1
1
1
e(t ) −
iL (t ) −
vC (t )
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
52
Esempio 4/4
• Le equazioni precedenti definiscono le
equazioni dell’uscita delle rete considerata.
Lezione 6
53