Esercizi di Matematica – LIMITI Limiti (per x → ±∞). Esercizio 1. Per

Esercizi di Matematica – LIMITI
Limiti (per x → ±∞).
Esercizio 1. Per ognuno dei seguenti limiti:
(i) dire se ha senso calcolarli sia per x → +∞ sia per x → −∞;
(ii) dire se danno luogo a una forma indeterminata;
(iii) calcolare il risultato.
limx→±∞
limx→±∞
1
x−x3
√
limx→±∞ x3 − 3x + 1
x3 − 1
limx→±∞
√
x−
√
limx→±∞
2x−3
2−x
limx→±∞ x3 − 2x
limx→±∞
2x
x−2
limx→±∞
x3
x3
2x
limx→±∞
x2 +2x−1
x3 −x−1
limx→±∞
2−x2
x3 −3
limx→±∞
x−arctan x
x2
limx→±∞
arctan x
x
limx→±∞ x2−x
limx→±∞ (x + 2)2x
limx→±∞
ex +x2
x
limx→±∞ 2x log |x|
limx→±∞ x2 − log x
limx→±∞ x log |x|
limx→±∞
log |x|
√
x
limx→±∞
limx→±∞ ( x1 )arctan x
1 x
limx→±∞ ( 2x
)
limx→±∞
x2
− log x
limx→±∞ ( x21−2 ) x +1
limx→±∞ ( x21−2 )x
limx→±∞ ( x21−2 )
1
log 1 (x)
3
2
−x)
limx→±∞ x(2+ x )
limx→±∞ ( 21 )(x
limx→±∞ (2 + x1 )log x
limx→±∞ (2 + x1 )(x
3
−x)
x log x
2−x
1
3
−x)
3
−x)
limx→±∞ (2 + x1 )log x
limx→±∞ (2 + x1 )(x
limx→±∞ ( 12 + x)log |x|
limx→±∞ | 21 + x|(x
limx→±∞ ( x1 + x)(x
3
)
limx→±∞ |x|(2
x
)
Suggerimento: nel caso di forme indeterminate, utilizzare i criteri di confronto tra infiniti/infinitesimi.
Esercizio 2. Per ognuno dei seguenti limiti:
(i) dire se ha senso calcolarli sia per x → +∞ sia per x → −∞;
(ii) dire se danno luogo a una forma indeterminata;
(iii) calcolare il risultato.
limn→±∞
1
1
(n
+1)( n
+2)
2
2
(n
−1)( n
−2)
limn→±∞
en +n2
n9
limn→±∞
limn→±∞
n+sin n
n2
limn→±∞
2−2n
1
5− n
limn→±∞
limn→±∞ n n
limn→±∞
√
n2 +n+1
n
limn→±∞ n 3 −
limn→±∞ n cos n
limn→±∞
cos n
n
limn→±∞ ( n1 ) n
limn→±∞
n2 +100n
3n2 +2
limn→±∞ n tan(n)
π
1
1
√
n
limn→±∞
limn→±∞
n2
n−log n
√
√
√
10n2 − 3n + 1
9n2 − 1 − 3n
3
3−2n
√
n2−1+ 3n2+2
Suggerimento: nel caso di forme indeterminate, raccogliere/dividere per l’infinito più grande, razionalizzare,
o usare la formula xy = 10y log x .
Nota: log indica il logaritmo in una base > 1.
1
Soluzioni
Le soluzioni sono date nello stesso ordine, a coppie: limx→+∞ , limx→−∞ .
Quando uno dei due limiti non ha senso, viene dato solo quello che è lecito calcolare.
Quando un limite non esiste, riportiamo il simbolo 6 ∃.
Esercizio 1.
0, 0
+∞, −∞
0, 0
0, 0
+∞
−∞
0, 0
0, 0
+∞, 0
−∞, −∞
0, −∞
+∞, 0
+∞, 0
0, −∞
+∞, −∞
+∞, 0
+∞
+∞, −∞
0
+∞
0
0
−∞
0, 0
0, +∞
+∞
+∞
+∞, 0
+∞
0, +∞
+∞
0, +∞
0
+∞, 0
+∞
+∞, 1
Esercizio 2.
1 1
3, 3
1, 1
+∞, 0
+∞
6 ∃, 6 ∃
0, 0
0, +∞
+∞, +∞
1
1, −1
−∞
0, +∞
6 ∃, 6 ∃
0, 0
0
−∞, +∞
2