Schema per studio di funzione
1. Dominio:
(a) per ogni
(b) per ogni
q
2n
a(x) deve essere a(x) ≥ 0;
N (x)
D(x)
deve essere D(x) 6= 0;
(c) per ogni log a(x) deve essere a(x) > 0;
(d) per ogni tg a(x) deve essere a(x) 6=
π
2
+ kπ;
(e) per ogni arcsen a(x) deve essere |a(x)| ≤ 1;
(f) per ogni arccos a(x) deve essere |a(x)| ≤ 1.
Tutte le condizioni di esistenza vanno poste in sistema.
2. Eventuali parità: si cerca se x compare solo con potenze pari; |x|;
cos x.
La funzione è pari quando f (−x) risulta uguale a f (x).
Eventuali disparità: si cerca se x compare solo con potenze dispari;
sen x, tg x.
La funzione è dispari quando f (−x) risulta uguale a −f (x).
Prodotti o quozienti di funzioni pari o dispari seguono regola analoga a
quella dei segni: pari per pari = pari, pari per dispari = dispari, dispari
per dispari = pari.
3. Eventuali periodicità: sen x, cos x hanno periodo 2π, tg x ha periodo
π.
4. Intersezioni con gli assi: si risolvono i due sistemi di equazioni tra
y = f (x) e y = 0, x = 0 rispettivamente (quest’ultima NO se 0 non
appartiene al dominio della funzione!).
5. Segno della funzione: si risolve la disequazione f (x) ≥ 0.
6. Limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti:
(a) se limx→∞ f (x) = l, con l finito, allora y = l è asintoto orizzontale;
(b) se limx→c f (x) = ∞, con c finito, allora x = c è asintoto verticale;
(c) se limx→∞ f (x) = ∞, e limx→∞ f (x)
= m con m finito,
x
e limx→∞ (f (x)−mx) = q con q finito, allora y = mx+q è asintoto
obliquo.
7. Derivata prima: studiando f ′ (x) ≥ 0 nel dominio di f (x) si trovano
gli intervalli in cui f (x) cresce o decresce, quindi gli eventuali massimi,
minimi, o flessi a tangente orizzontale, di cui, trovata la x, si calcola
anche la y = f (x).
Se il dominio di f (x) ha estremi al finito, conviene studiare anche i
limiti della derivata prima per tali estremi.
Se in un punto del dominio di f la f ′ ha una discontinuità, si può avere
o un flesso a tangente verticale (limiti destro e sinistro della derivata
infiniti concordi), o una cuspide (limiti destro e sinistro della derivata
infiniti discordi), o un punto angoloso (limiti destro e sinistro della
derivata finiti distinti).
8. Derivata seconda: studiando f ′′ (x) ≥ 0 nel dominio di f (x) si
trovano gli intervalli in cui f (x) ha concavità verso l’alto o verso il
basso, quindi gli eventuali altri flessi (a tangente obliqua), di cui si
trova anche la y = f (x) e magari la equazione della tangente.
9. Grafico: si riportano nel grafico tutti i punti, con le coordinate segnate
chiaramente sugli assi cartesiani, gli asintoti, poi si traccia il grafico
tenendo conto di tutte le indicazioni: crescere, decrescere, concavità,
avvicinamento agli asintoti, eventuali punti angolosi ecc. Si deve verificare nel grafico la COERENZA di tutte le informazioni trovate.
