Modelli compartimentali e farmacocinetica
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Modelli compartimentali e farmacocinetica [email protected] + Obie4vi • le tecniche matema7che per l’analisi della cine7ca dei traccian7 u7lizza7 per lo studio di sistemi endocrino-­‐metabolici e del metabolismo d’organo + Una disciplina ha tanto più la dignità della scienza quanto più fa uso dello strumento matema7co Galileo Galilei Per parlare di matema7ca applicata alla biologia non basta introdurre dei metodi quan7ta7vi nella descrizione dei fenomeni, occorre anche trovare delle connessioni e dei legami di 7po matema7co, ovvero formulare dei modelli che abbiano caraDere predi4vo e servano a risolvere problemi specifici. + Esempio • Modelli che descrivono il metabolismo del glucosio, il metabolismo dei lipidi e l’azione dell’insulina che influenza sia il metabolismo del glucosio che quello dei lipidi. • Farmacocine7ca + Farmacocine7ca • La farmacocine7ca studia quan7ta7vamente l'assorbimento, la distribuzione, il metabolismo e l'eliminazione dei farmaci. • I farmaci vengono assorbi7, distribui7, metabolizza7 ed elimina7 dall'organismo al quale vengono somministra7 • Le velocità di assorbimento, distribuzione, metabolismo ed eliminazione sono determinan7 per gli effe4 di un farmaco. • Un insieme di equazioni differenziali può descrivere i tempi e i modi in cui un farmaco viene assorbito, metabolizzato ed eliminato dall'organismo. + Costruzione di un modello matema7co • Gli elemen7 da tener presente per costruire un modello valido possono essere in prima istanza suddivisi in: – Obie4vi – Ruolo delle conoscenze teoriche ed empiriche – StruDura topologica ed anali7ca del modello – Formulazione – Iden7ficazione – Validazione + PERCEZIONE DEL PROBLEMA OBIETTIVI FORMULAZIONE DEL MODELLO LEGGI TEORIE DATI CONCETTUALIZZAZIONE VALIDAZIONE REALIZZAZIONE MATEMATICA DEL MODELLO RISOLUZIONE IDENTIFICAZIONE DEL MODELLO MODELLO UTILIZZABILE + Iden7ficazione del modello 1/2 • Con il termine iden7ficazione ci si riferisce ai procedimen7 con i quali si determina sia la struDura del modello matema7co, sia il valore dei parametri che in esso figurano, in modo da oDenere la corrispondenza tra il comportamento del modello ed un adeguato complesso di da7 sperimentali. + Iden7ficazione del modello 2/2 • Le principali fasi del processo di iden7ficazione sono: • determinazione della stru0ura del modello, in base alle conoscenze a priori sulle leggi fisico-­‐chimiche che regolano i fenomeni studia7 o in base all’esigenza di far corrispondere le soluzioni delle equazioni ai da7 sperimentali, anche senza aDribuire un par7colare significato fisico; • proge0o ed esecuzione dell’esperimento, quindi applicazione di “ingressi” e la misura delle “uscite”, cercando un compromesso opportuno tra significa7vità dell’esperimento ai fini dell’iden7ficazione e i vincoli di natura e7ca e pra7ca (in par7colare, un’iden7ficazione a priori che l’esperimento sia o no in grado di fornire i valori incogni7 dai da7 sperimentali, e se eventualmente la s7ma sia unica); • s6ma dei parametri, u7lizzando algoritmi idonei e valutando la bontà della s7ma eseguita (accuratezza dei risulta7) nel quadro del problema deDo di iden7ficazione a posteriori; • messa a punto e o7mizzazione dell’esperimento proge0ato. + Validazione del modello • È la serie di prove con cui si testa la validità del modello. • Il conceDo di validità è molto ampio e richiede un criterio di valutazione. Ma tale criterio, molte volte rischia di essere sogge4vo, sopraDuDo nei metri di misura. In linea generale: • Criteri interni, basa7 sulle caraDeris7che interne del modello: – Coerenza, in base alla quale non si devono presentare contraddizioni logiche, matema7che o fisiche. – Validità algoritmica, rela7va all’esigenza che le equazioni siano risolvibili in modo efficace e diano risulta7 con la precisione voluta. • Criteri esterni, lega7 agli scopi, alle teorie e ai da7 sperimentali: – Validità empirica, rela7va alla corrispondenza del comportamento tra sistema e model – Validità teorica, rela7va alla coerenza tra le ipotesi implicite e quelle acceDate. – Validità pragma7ca, riferita all’efficacia del modello di raggiungere gli obie4vi. Resta comunque complesso definire una misura ogge4va di tale efficacia. – Validità euris7ca, rela7va alla capacità del modello di fornire suggerimen7 per l’interpretazione dei fenomeni, per la verifica delle ipotesi e l’individuazione di nuovi temi di ricerca. + StruDura anali7ca del modello • Modelli determinis7ci, in cui le variabili di stato ed i parametri sono variabili determinis7che. • Modelli stocas7ci, in cui le variabili di stato ed i parametri sono variabili aleatorie o processi stocas7ci. • Modelli stocas7ci/determinis7ci, in cui le variabili di stato appartengono alla prima classe e i parametri all’altra, o viceversa. • Modelli lineari e non, in cui le relazioni tra le variabili sono lineari o meno. • Modelli a parametri concentra7, in cui si concentrano le cause e gli effe4 in compar7men7 e si costruiscono le relazioni tra le variabili di tali compar7men7. • Modelli a parametri distribui7, in cui cause ed effe4 non possono essere compar7mentalizza7. + Modello del metabolismo 1!123456&2571885&718&219:;584!25& del glucosio a digiuno 718&<8=>5!45&:&74<4=?5 + • Poiché spesso il sito d’interesse non è accessibile, si effeDua un prelievo di sangue (arterioso o venoso) e, tramite modelli matema7ci, si s7mano i parametri d’interesse. – Produzione di glucosio (input) – U7lizzo di glucosio + • Dal prelievo di sangue a digiuno misuriamo la concentrazione del glucosio [G]. • [G] è funzione sia della produzione (input) che dell’u7lizzazione (output). • Se sia l’input che l’output aumentano [G] rimane costante. Quindi la sola conoscenza di [G] non ci permeDe di conoscere indipendentemente input e output e abbiamo bisogno di una sostanza che “tracci” il glucosio senza perturbarne lo stato stazionario. TRACCIANTI + Tracciante • È una sostanza marcata con un isotopo con le stesse caraDeris7che chimico-­‐ fisiche ma diversa massa: 1. si comporta come la sostanza che vogliamo studiare (sost. tracciata) 2. possiamo misurare separatamente il tracciante dalla sost. tracciata + Isotopi • Gli isotopi (leD. nello stesso luogo) sono atomi dello !"#$%$&$'%"()$(*+,-,., stesso elemento chimico, e quindi con lo Gli isotopi (lett. nello stesso luogo) sono atomi stesso umero atomico (cioè e nquindi umero dellonstesso elemento chimico, condloi stesso m numero (cioè numerodi m di assa, protoni), a con datomico ifferente numero protoni), ma con differente numero di massa, e e quindi assa atomica. quindi m massa atomica. 1H Idrogeno 2H Deuterio Trizio n n p n p p e 3H e e * + Isotopi • La differenza delle masse è dovuta a un diverso numero di neutroni presen7 nel nucleo dell'atomo. • Se 2 nuclei contengono lo stesso numero di protoni, ma un numero differente di neutroni, i due nuclei avranno lo stesso comportamento chimico (con delle minime differenze nei tempi di reazione e nell'energia di legame), ma avranno comportamen7 fisici differen7, essendo uno più pesante dell'altro. + Isotopi • È un atomo con le stesse caraDeris7che chimico-­‐ !"##"$%&'()$)#*+*,) fisiche ma diversa massa. È un atomo con le stesse caratteristiche chimico-fisiche • Le dmaifferenze di massa degli isotopi sono dovute diversa massa. ad Le un differenze numero didmassa iverso degli di nisotopi eutroni nel nucleo così sono dovute ad un diverso cdihimiche neutroni nnel così che le che numero le proprietà on nucleo cambiano. proprietà chimiche non cambiano. • Possono e ssere s ia s tabili c he r adioa4vi. Possono essere sia stabili che radioattivi. 1H Idrogeno Massa=1 2H Deuterio Massa=2 n p p e e Trizio Massa=3 n n p 3H e + Breve richiamo Atomic number (Z) = number of protons in nucleus Mass number (A) = number of protons + number of neutrons = atomic number (Z) + number of neutrons Mass Number Atomic Number A ZX È m Le nu pr P Element Symbol proton 1p 1H 1 or 1 neutron 1n 0 electron 0 0 -1e or -1β positron 0 0 +1e or +1β A 1 1 0 0 Z 1 0 -1 +1 1H I M e + Isotopi radioa4vi • La radioa4vità è causata dal rilascio spontaneo di par7celle e/o energia eleDromagne7ca dal nucleo di un atomo. • La radioa4vità risiede nei NUCLEI INSTABILI. • Nucleo decade con EMISSIONE DI RADIAZIONI. • I traccian7 radioa4vi si caraDerizzano per sviluppare un processo di decadimento con disintegrazione e produzione di nuovi elemen7. • Nel corso della disintegrazione vengono emesse radiazioni, la cui misura permeDe di seguire lo svolgersi dei processi in aDo. • La radioa4vità è misurata in: disintegrazioni/tempo. • L’unità standard sono i bequerel (Bq) • Un Bq corrisponde ad 1 decadimento per secondo • Un’altra unità di misura è il curie (Ci), equivalente a 3.7 x 1010 disint./sec. + Proprietà dei radioisotopi • Tipo di emissione • Emivita • Energia di emissione + Tipi di emissione • Par7celle α: nuclei di elio (isotopi pesan7; Z>82) • Par7celle β: negatroni (eleDroni) o positroni • Raggi γ: radiazioni eleDromagne7che derivate da riarrangiamen7 nucleari + Velocità del decadimento radioa4vo • Il decadimento segue una cine7ca di I ordine: – -­‐dN/dt = λN – λ = costante di decadimento • Integrando: – ln Nt/No = -­‐ λt • In pra7ca la velocità di decadimento è espressa come emi-­‐vita o tempo di dimezzamento t1⁄2, cioè il tempo necessario perché l’a4vità decada del 50 %: – ln0.5=-­‐λt1⁄2 – 2.3log10 2 = λt1⁄2 – t1⁄2 = 0.693/λ + Emivita !"#$%&'$( Decay of 20.0 mg of 15O. What remains after 3 half-lives? + Capacità di penetrazione !"#"$%&$'#()*+','$- + • • • • • Radioisotopi in medicina 24Na, t = 14.8 hr, β emiDer, blood-­‐flow 1⁄2 tracer 131I, t = 14.8 hr, β emiDer, thyroid gland 1⁄2 ac7vity 123I, t = 13.3 hr, γ−ray emiDer, brain imaging 1⁄2 18F, t = 1.8 hr, β+ emiDer, positron emission 1⁄2 tomography 99mTc, t = 6 hr, γ−ray emiDer, imaging agent 1⁄2 + Reazioni Chimiche vs Nucleari Reazioni Chimiche Reazioni Nucleari Gli atomi sono riarrangia7 aDraverso la roDura e la formazione di legami chimici Gli elemen7 (o gli isotopi di uno stesso elemento) vengono conver77 uno nell’altro Solamente gli eleDroni negli orbitali atomici o molecolari sono coinvol7 nella formazione o nella roDura dei legami Protoni, neutroni, eleDroni ed altre par7celle elementari possono essere coinvol7 Le reazioni sono accompagnate dall’assorbimento o dal rilascio di una piccola quan7tà di energia Le reazioni sono accompagna7 dall’assorbimento o dal rilascio di una grande quan7tà di energia La velocità di reazione sono influenzate da La velocità di reazione è normalmente temperatura, pressione, concentrazione e non influenzata da temperatura, catalisi pressione e catalisi + Isotopi maggiormente */'0'1"/(2'33'%45(6/")($%(7$'4'8$294( u7lizza7 n:"/"9:2; ella ricerca biologica Common Stable Rare stable 1H 2H 12C Radioactive (0.02%) 3H 13C (1.1%) 14C 14N 15N (0.37%) * 16O 18O (0.04%) * * No long-lived radioisotopes for these elements + Isotopi stabili nel corpo umano !"#$%&'()*"*+&)',-'".&'./0#-'$*12 11.4 kg C 12 13 C 4.6 g 1.3 kg 18 11.4 kg N 14 N 15 5.1 g 16 137 g 12 g 17 5.0 kg 1 H D 1.5 g È so ec vo Ve + Isotopi stabili vs radioa4vi Isotopi stabili Isotopi radioa7vi Sicuri, non tossici Radiazioni ionizzan7 Possono essere u7lizza7 in neona7, bambini e donne in gravidanza Non posso essere u7lizza7 in tuDa la popolazione Diversi traccian7 possono essere u7lizza7 Limitazioni nel numero di traccian7 e in contemporaneamente in studi ripetu7 studi ripetu7 Il costo di alcuni traccian7 è davvero elevato Non esistono isotopi a lunga vita per O e N È necessaria una grande quan7tà di tracciante (elevato rumore di fondo) Non ci sono problemi di rumore di fondo, è necessaria una piccola quan7tà di tracciante ADrezzature costose, personale tecnico qualificato ADrezzature semplici e poco costose + Tracciante • È una molecola in cui uno o più atomi sono sta7 sos7tui7 (“marca7”) con isotopi e che si comporta come la sostanza che vogliamo studiare (sost. tracciata). • Nel caso che il tracciante si compor7 sensibilmente diversamente dalle molecole che sos7tuisce (una massa diversa può influire su velocità di diffusione e di reazione chimica) si parla di effeDo di frazionamento dell’isotopo. + Tracciante • Da notare che le sostanze comunemente elaborate dai sistemi biologici sono in mol7 casi ognuna già una mistura di isotopi, anche se uno di essi è presente in quan7tà percentuale molto maggiore. • Nell’uso dei traccian7 non si fa quindi altro che aumentare la percentuale di uno degli altri isotopi, così da permeDere una più facile analisi dei processi in gioco. Oppure si introduce del tuDo un nuovo isotopo. 2H + = D (deuterium) NH2 D D Esempi tracciante D C CH2 D COOH D !"#$%&'" #$%&'"()*+,-.&/0101&%&. 9.#"',)'#'":#;&:'0*%&;/%&< 9.#"',)'#'":#;&:'0*%&;/%&< 9.#"',)'#'":#;&:'0*%&;/%&< 9.#"',)'#'":#;&:'0*%&;/%&< H H H H CH2 CH 2 H H H 3 Tritium 3HH ==Tritium NH22 NH H 3H CC HH 3 3H H COOH COOH !"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/ !"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/ 2H COOH COOH !"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/ NH2 15NH 15NH 2 2 D D D CH2 HC C CH2 D D D 3 3H H 3H ]Phenylalanine L-­‐[ring-­‐ !"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/ 5 !"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/ NH2 NH2 D 3H ( "#$%&'" #$%&' *+,-.&/0101&%&. !! "#$%&'" "(")) #$%&' *+,-.&/0101&%&. 2H = D (deuterium) = D (deuterium) D CC HH CH2 CH 2 3H ?.&-2%#%#-,-& == >> ?.&-2%#%#-,-& L-­‐Phenylalanine NH2 2 NH 3 3H H 3H H H H D COOHCOOH CH2 C -3 C -8 C -4 C -4 CH2 HC C C -2 C -2 C -3 C -6 H C -8 CH2 C -3 C -8 C -1 () "#$%&'" "()*+,-.&/0101&%&. #$%&' !"#$%&'" #$%&'"! *+,-.&/0101&%&. L-­‐[ring-­‐2H5]Phenylalanine C -4 C -6 C -6 D H C -1 COOH COOH C C -2 H11 11 13COOH !"#(" #("2*3+,-.&/0101&%&.!"#2" !"#(" #("2*3+,-.&/0101&%&. #2"245+,-.&/0101&%&. L-­‐[2-­‐15N]Phenylalanine C -1 L-­‐[1-­‐13C]Phenylalanine + Come misurare i traccian7 (1/4) • Contatori di radioa4vità: – Per ionizzazione (contatore Geiger-­‐Muller), – Per eccitazione (scin7llatori -­‐ gamma counter, beta counter) • SpeDrometro di massa: massa delle molecole o degli atomi all’interno delle molecole dopo combus7one o conversione in gas (CO2, N2, H2) + Come misurare i traccian7 (2/4) • Traccian7 radioa4vi • I traccian7 radioa4vi si caraDerizzano per sviluppare un processo di decadimento con disintegrazione e produzione di nuovi elemen7. • Nel corso della disintegrazione vengono emesse radiazioni, la cui misura permeDe di seguire lo svolgersi dei processi in aDo. • Unità di misura nella pra7ca: unità di conto/tempo • (fornisce la quan7tà di radiazione effe4vamente rilevata). • A pari condizioni di emissione, il valore in unita di conto è minore (al massimo uguale) rispeDo quello teorico. • Per effeDo della geometria del sistema ricevitore ed altre sostanze presen7, la radiazione rilevabile è minore di quella teorica. + Come misurare i traccian7 (3/4) • A7vità specifica: – radioa4vità/(massa) = unità di conto /(massa tempo) • Quan7tà tracciante: quan7tà minima di tracciante da immeDere, che permeDe: – di studiare 1 o più compar7men7. – di essere piccola abbastanza da creare il minimo disturbo al sistema (in par7colare per le radiazioni emesse). • Nella pra7ca si opera con quan7tà inferiori al 1%. + Come misurare i traccian7 (4/4) • Traccian6 stabili • Non emeDono radiazioni, per cui sono rileva7 in base a misure legate alla differenza di massa con analoghi isotopi più comuni. • Unità di misura: – molecole marcate/ totale molecole d’interesse presen7 (altre unità di misura sono comunque usate). • A4vità specifica: – molecole marcate/ totale molecole d’interesse presen7/massa (altre unità di misura coincidono direDamente con a.s.) • Essendo il metodo di misura meno sensibile di quello usato per i traccian7 radioa4vi, è necessario impiegare una maggiore quan7tà di tracciante, per altro permessa dalla minore pericolosità. ..to unknown amount tracee + chimica) si parla di effetto di frazionamento dell’isotopo. U7lizzo di isotopi in studi del metabolismo umano • Principio di diluizione del tracciante – Modelli sta7ci – Modelli dinamici ($&)%&*+#,-.,/$0%#$,1&+2/&-),&),0,"/0/&%, *--+ Determination of total body Add known Mix and take amount of tracer.. small sample water in man Orally ingest a known volume of 2H O and after equilibration (4-8 hrs) 2 ..andinmeasure determine the 2H2O concentration tracer/tracee ratio urine or plasma ..to unknown amount tracee !"#$%#&'()*+),"-%(").#'/,#*$) #$)-).1$-2#%)&**' Infuse tracer with enrichment Ei at a constant rate of i µmol/kg.min Tracer enrichment Plateau enrichment Ep time Measure tracer enrichment MODELLI NON-­‐COMPARTIMENTALI + Approccio non compar7mentale • Nessuna assunzione circa la distribuzione della sostanza all’interno del corpo • Conoscenza descri4va tra riguardo il tracciante (farmaco) • Scarsa correlazione rispeDo alle specifiche funzioni di un organo • La mancanza di assunzioni a priori consente di minimizzare gli eventuali bias dovute alla modellazione • Descrizione dei da7 sperimentali tramite delle curve esponenziali !"#$%%"&'"'()"*+,-./*$'.,%$ + Esperimento Bolo di sostanza + Approccio non compar7mentale • Da7 no7: – Dose • Osservare: – Cmax (concentrazione massima) e Tmax (istante a cui si verifica la concentrazione massima) • Calcolare: – AUC (Area under curve -­‐ area soDo la curva; aDraverso la regola dei trapezi oppure integrando una curva teorica (es. esponenziali) che descrive i da7 sperimentali) – k (elimina7on rate) – Volume di distribu7one, – Clearance, – T1/2 + Area soDo la curva • Metodo d!"#$%&'()#* ei trapezi +',+%$- + !"#$%&'(('%)$%*+",$%-!./01%2 Area soDo la curva )345(#6"$)#%7#))$%8+594'5# C (t ) = C0 ⋅ e − k ⋅t k >0 ∞ ∞ 0 0 − k ⋅t C ( t ) dt = C ⋅ e ' ' 0 dt & C0 −k ⋅t # & C0 −k ⋅t # ⋅ e ! |t =∞ −$ − ⋅ e ! |t =0 $− % k " % k " C0 AUC = Generalizzazione per k curve a più esponenziali + Clearance • Volume dal quale il farmaco viene rimosso in una data unità di tempo (volume / tempo) • E’ una costante rispeDo alla dose e al tempo • Può essere calcolato da: • Excre7on rate (Rd) / Concentra7on – (mg/min) / (mg/ml) = ml/min • Dose / AUC – (mg) / (mg/ml*min) = ml/min + • • Clearence /)#$"$7*# La Clearance isNON conceDo di eliminazione • Clearance NOTè aun concept of elimination Collega la cconcentration oncentrazione on rate la velocità di • Relates to cthe of eliminazione elimination Elimination rate (Rd)= Concentrat x Clearance mg\min mg/ml ml/min • L’ unità di misura dell’elimina7on rate è • Elimination units are mass per time (mg/min) massa per unità di tempo (mg/min) • Clearance unitsdare per time • L’unità di misura ella volume Clearance è (ml/min) volume per unità di tempo (ml/min) + Volume di distribuzione • Vd lega la concentrazione della sostanza alla quan7tà di sostanza (A) (tracciante/farmaco) presente nel corpo – A=CxVd • Vd una costante rispeDo alla dose e al tempo • Vd=[Dose/(AUC0-­‐∞ *k)]=CL/k • Se diamo un bolo, la concentrazione estrapolata al tempo 0 • C0=Dose/Vd + Tempo medio di residenza • Mean Residence Time (MRT) – Tempo che mediamente una molecola di farmaco trascorre all’interno del corpo • MeDe in relazione la clearence con il volume di distribuzione • MRT=Vd/CL MODELLI COMPARTIMENTALI + Modelli compar7mentali • I modelli compar7mentali traggono il loro nome dalla scomposizione del sistema in varie par7 (compar7men7). • Per compar7mento si intende un insieme di materia che per l’organismo si comporta in maniera omogenea (sia dal punto di vista della distribuzione che del comportamento cine7co all’interno del compar7mento). • L’approccio prevede l’impiego di n variabili funzioni del tempo e legate da equazioni differenziali ordinarie. • Tali equazioni vengono scriDe a par7re da un unico conceDo base: il rispeDo della conservazione della massa. + I compar7men7 • I compar7men7 sono volumi ideali, non necessariamente volumi reali, nei quali la sostanza (e il tracciante o il farmaco) entra, si distribuisce, esce. • Un compar7mento può essere un insieme di tessu7 differen7 che possiedono un’affinità per il farmaco e una perfusione sanguigna molto simile. • Il numero di compar7men7 si stabilisce in base alla differenza più o meno elevata che c’è tra una costante di velocità e l’altra. Il modello cine7co che ricorre più spesso e il più semplice e il modello mono-­‐ compar7mentale aperto. + !"#$%&'()*'+,)'"- &'./*.0 1-2%3"04.*)02-) Modello mono compar7mentale + Modello mono compar7mentale Assunzioni: • Il corpo cos7tuisce un unico processo • Miscelamento istantaneo – Il tracciante (farmaco) si miscela istantaneamente nel sangue o nel plasma – Un compar7mento – Il tracciante (farmaco) che si trova nel sangue (plasma) è in equilibrio rapido con il tracciante (farmaco) che si trova nei tessu7 extravascolari. • Modello lineare – L’eliminazione del farmaco segue una cine7ca del primo ordine + Modello monocompar7mentale • Calcolare la cine7ca di un substrato significa determinare la velocità di comparsa (rate of appearance, Ra) di un substrato e, perlomeno nello stato stazionario, la velocità di scomparsa dello stesso (rate of disappearance, Rd). • Possono inoltre essere deriva7 altri parametri come l’emivita, il tempo medio di residenza e la clearance. po] , [dpm]* [tempo] ) e la velocità di utilizzazione (rd, [massa]* [tempo] , [dpm]* matematicamente (eq 1) attraverso un bilancio di massa: + !" #$% & '(#$% ) '!#$% & * !"#$% !$ Modello monocompar7mentale !$ & '(#$% ) (!#$%******** stazionario, la sola misura di Q non permette né la stima di Ra né quella di Rd. Da un vista ciò chequindi viene effettivamente misuratosituazione, è la concentrazione di del on visperimentale, è traccianteinoltre, nel sistema q(0) = 0. In questa a differenza -1 C, [massa]*[volume] ): Figura 1: rappresentazione un singolo acciato dove Q è costante, q(t) cambia con il tempo e quindi dq/dtschematica non è piùdiuguale a pool. Poiché viene assunto lo stat • Andamento del tracciante durante un esperimento di infusione con7nua endo che il processo di uptake non distingua tracciante e tracciato non marcato " tempo tra Al t = 0 viene somministrato un tracciante (radioattivo o stabile), e & ità isotopica), il tracciante verrà+ quindi perso dal compartimento corporeo ad una , massa, che è, in sostanza, chimicamente identico al tracciato, attraverso un rzionale all’abbondanza relativa, nel compartimento corporeo, di tracciante rispetto al l volume. È pertanto necessario l’uso di (figura un tracciante. 2)Ad un certo istante (dipendente dalla cinetica del sistema), il tracciante sarà ): (! +! & " , velocità con la quale compare: l’utilizzazione rd di tracciante eguaglia la velocità !"#$% & '( ) (! & * !$ ’inizio dell’infusione, la concentrazione relativa sarànon inferiore nelulteriori corpo cambiamenti nelle concentrazioni r cioèdiir tracciante = rd, e quindi ci saranno la nella mistura di infusione, e quindi il tracciante lascerà sempre il compartimento corporeo e di tracciato che l’infusione rimanga costante. Questa situazione è no tà inferiore rispetto alla di velocità alla quale Ci poiché sarà quindi un aumento : rappresentazione schematica un singolo pool. Poichéappare. viene assunto lo stato stazionario Ra=Rdun nella isotopico, viene raggiunto plateau nell’arricchimento del compartim e relativa di tracciante (attività specifica [SA]) nel compartimento 3). Figuratracciato 2: rappresentazione schematica(figura della concentrazione relativa tracciante/tracc (figura 4). corporeo t = 0 viene somministrato un tracciante (radioattivo o stabile), essenzialmente senza intervallo dall’aggiunta di un tracciante radioattivo e è, in sostanza, chimicamente identico al tracciato, attraverso una infusione costante Per il principio di indistinguibilità del tracciante, il suo volume di distribuzione di distribuzione del tracciato, V. Anche per il tracciante (q, [massa], o decad Figura 4: rappresentazione schematica dell’arricchimento isotopico rappresentazione schematica dell’incremento relativo del tracciante rispetto al tracciato (da 2: rappresentazione schematica della concentrazione relativa tracciante/tracciato dopo un breve confrontare con lo schema di figura 2) Sfruttando l’uguaglianza “a regime” tra ir = rd ed il fatto chetempo l’estrazione rd + Modello monocompar7mentale • Andamento del tracciante durante un esperimento di infusione con7nua Vedi dispense per gli esperimen7 di infusione con7nua, bolo, e primed constant infusion + Distribuzione dell’acqua !"#$%&'()*%+,-(*,./(,"0 Input RBC PLASMA WATER 4.5% BONE 3L 3% CELL WATER 36 25 L % INTERSTITIAL FLUID COMPARTMENT 11.5% 8L TRANSCELLULAR WATER 1.5% 1L 2L ECF 24% 17 L DENSE CONNECTIVE 4.5% 3L + Modello a due compar7men7 k21 2 1 k12 k01 k02 + Metodo della funzione di trasferimento + Metodo della funzione di trasferimento • Nel dominio del tempo la relazione ingresso-­‐ uscita è data da: t y (t ) = ∫ h(t − τ )u(τ )dτ 0 • Usando le trasformate di Laplace, nel dominio della frequenza la relazione ingresso-­‐uscita è data da: Y ( s) = H ( s) ⋅ U ( s) 2-­‐COMP EXAMPLE y u V1 k01 k21 k12 V2 k02 ⎧q1 = −(k01 + k21 ) ⋅ q1 + k12 ⋅ q2 + u1 ⎨ ⎩q2 = −(k12 + k02 ) ⋅ q2 + k21 ⋅ q1 q1 y1 (t ) = V1 k12, k21, k01, k02, V1 unknown (V2 does not appear in the equations) For u (t ) = δ (t ), λ1t y (t ) = A1e + A2e λ2t + Metodo della matrice della funzione di trasferimento (1/3) dq = A ⋅q + B ⋅u dt y = C⋅q ⎡ L[y i ( t , p)]⎤ −1 H (s, p) = ⎢ = C(p)[sI − A(p)] B(p) ⎥ ⎢⎣ L u j ( t ) ⎥⎦ i=1,m j=1,r [ ] + Metodo della matrice della funzione di trasferimento (2/3) ⎧q1 = −(k01 + k21 ) ⋅ q1 + k12 ⋅ q2 + u1 ⎨ ⎩q2 = −(k12 + k02 ) ⋅ q2 + k21 ⋅ q1 q1 y1 (t ) = V1 k12 ⎡− (k01 + k21 ) ⎤ A = ⎢ ⎥ k − ( k + k ) 21 12 02 ⎦ ⎣ ⎡1⎤ B = ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎡ 1 C = ⎢ ⎣V1 ⎤ 0⎥ ⎦ dq = A ⋅q + B ⋅u dt y = C⋅q k21 2 1 k12 k01 k02 + Metodo della matrice della funzione di trasferimento (3/3) k01=sym('k01','positive');! k21=sym('k21','positive');! k12=sym('k12','positive');! k02=sym('k02','positive');! vol=sym('vol','positive');! s=sym('s')! ! A=[-(k01+k21) k12! k21 -(k12+k02)];! B=[1! 0];! C=[1/vol 0];! ! H=C*inv(eye(2)*s-A)*B! ! %diff! %simplify! %pretty! %subs! %rank k21 2 1 k12 k01 k02 Determinazione della struDura di un modello e del valore numerico dei suoi parametri IDENTIFICAZIONE DI UN MODELLO + Iden7ficabilità di un modello NOISE + DYNAMIC SYSTEM u MODEL TEST INPUTS P1, P2, …, Pn y OUTPUTS z + A PRIORI (STRUCTURAL) A POSTERIORI (STRUCTURAL + NUMERICAL) REAL MEASUREMENT DATA + Iden7ficabilità a priori (1/5) • Solo parametri che soddisfano certe condizioni possono essere determina7 da da7 di input/output. • Il set di parametri può essere determinato qualche volta unicamente, qualche volta no. • Problema di iden7ficabilità: – determinare se è possibile trovare 1 o più set di soluzioni per i parametri igno7 del modello, da da7 raccol7 in esperimen7 compiu7 sul sistema reale. – Trovare dei range di validità per I parametri di modelli non iden7ficabili + Iden7ficabilità a priori (2/5) • L’analisi di Iden7ficabilità è un passo preliminare nell’analisi del modello per la s7ma parametrica • Da questa analisi si oDengono le condizioni minime necessari per oDenere s7me uniche dai da7 reali rumorosi e limita7. + Iden7ficabilità a priori (3/5) • Scopo: stabilire per via teorica se, data la struDura del modello ed una certa configurazione di ingressi e uscite, è possibile risalire ai parametri incogni7 del modello nel caso, puramente ideale, in cui il modello è senza errore e si conoscano esaDamente le uscite a tempo con7nuo • Razionale: solo se il modello è iden7ficabile a priori ha senso cercare di s7mare numericamente il valore dei suoi parametri dai da7 sperimentali • Rimedi alla non iden7ficabilità a priori: – 1) arricchire l'esperimento, es. aggiungendo misure; – 2) ridurre la complessità del modello, es. riducendo il numero di compar7men7 o di parametri o riparametrizzando il modello o aggiungendo dei vincoli. • Importanza dell’iden7ficabilità a priori nel progeDo qualita7vo dell’esperimento: es. minimo numero di ingressi ed uscite che garan7scono l iden7ficabilità + Iden7ficabilità a priori (4/5) • NON dipende dai da7 a posteriori, ma solo dalla struDura a priori del modello • La natura aleatoria dei da7 reali NON influisce su ques7 risulta7 + Iden7ficabilità a priori (5/5) • NON IDENTIFICABILITA • IDENTIFICABILITA GENERICA • IDENTIFICABILITA UNIVOCA + Non iden7ficabilità • Un parametro pi si dice NON IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero INFINITO di soluzioni. • Se un modello ha anche un solo parametro NON IDENTIFICABILE, allora l intera struDura si dice NON IDENTIFICABILE. + Iden7ficabilità • Un parametro p i si dice IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero FINITO di soluzioni (diverse da quella iden7camente nulla). • Se tu4 i parametri sono IDENTIFICABILI, allora l intera struDura si dice IDENTIFICABILE. • I parametri sono iden7ficabili come range (bounds) + Iden7ficabilità univoca • Un parametro p i si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE nell intervallo [t0,T] se esiste UNA E UNA SOLA soluzione. • Se tu4 i parametri sono UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILI, allora l intera struDura si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE. • S e a n c h e u n s o l o p a r a m e t r o n o n è UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE, allora l intera s t r u D u r a s i d i c e N O N -­‐ U N I V O C A M E N T E IDENTIFICABILE. + Condizioni necessarie per l’iden7ficabilità il sistema dev’essere “input-­‐“ e “output-­‐connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT) 3 k31 1 k03 4 k14 k12 k01 k21 k42 2 k04 METODO DELLA MATRICE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ⎡ ∂β11 1 ⎢ ⎢ ∂p1 ⎢ ⎢ ∂α11 ⎢ n ⎢ ∂p1 G (p ) = ⎢ ⎢ mr ⎢ ∂β1 ⎢ ∂p1 ⎢ ⎢ mr ⎢ ∂α n ⎢ ∂p ⎣ 1 ⎤ ∂β11 1 ⎥ ∂p p ⎥ ⎥ ⎥ ∂α11 n ⎥ ∂p p ⎥ ⎥ mr ⎥ ∂β1 ⎥ ∂p p ⎥ ⎥⎥ ∂α mr n ⎥ ∂p p ⎥⎦ 2nxmxrxp derivate Il modello è iden7ficabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE G(p) è uguale a p per ogni possibile valore del veDore p. n = numero compartimenii r = numero input m = numero output p = numero parametri + Riepilogo + Modello non iden7ficabile + Rimedi alla non iden7ficabilità a priori (1/5) + Rimedi alla non iden7ficabilità a priori (2/5) + Rimedi alla non iden7ficabilità a priori (3/5) + Rimedi alla non iden7ficabilità a priori (4/5) + Rimedi alla non iden7ficabilità a priori (5/5) k21=sym('k21');! k02=sym('k02');! vol=sym('vol');! a1=sym('a1');! a2=sym('a2');! b=sym('b');! ! S = !solve(k21+k02-a2, ... ! !k21*k02-a1,b*vol/k21-1, ...! !k21, k02, vol)! ! pretty(S.k02);! pretty(S.k21);! pretty(S.vol); IDENTIFICABILITÀ A POSTERIORI + Iden7ficabilità a posteriori • Iden7ficabilità a priori: esperimento “ideale” • Esperimento reale: raccolta di da7 sperimentali – y1, y2,...,yn in corrispondenza delle variabili x1, x2,...,xn (t1, t2,..., tn) • Ad ogni dato sperimentale è associato un errore sperimentale: σ1, σ2, ..., σn + S7ma dei parametri • Una volta verificato che il modello è univocamente iden7ficabile a priori a par7re dai da7 "ideali" che l'esperimento potrebbe generare, il problema che si pone è quello di s7mare i valori numerici dei parametri a par7re dalle misure effe4vamente fornite dall'esperimento. • Nella realtà i da7 genera7 dall'esperimento sono affe4 da rumore. Per poter valutare la precisione delle s7me dei parametri, è perciò richiesta una descrizione formale dell'errore di misura. • Questa descrizione caraDerizza tuDo il processo di s7ma ed è streDamente legata alle proprietà sta7s7che delle s7me oDenute. + Esempio di s7ma • Metodo dei minimi quadra7 • Considera le differenze tra il valore misurato e quello previsto dal modello (residui) per il 7po di esperimento condoDo 2 " yi ! f (ti , p1,..., p p ) % ' SSWR = ($ !i '& i=1 $ # n • SSWR=Squared sums of the weighted residuals (objec7ve func7on) = somma dei quadra7 dei residui pesa7. • σ è l’errore di misura, che va a pesare i da7 + Valutazione della bontà del fi4ng • Esempi • Runs test • Nel caso dell'analisi compar7mentale, sono sta7 sviluppa7 degli indicatori apposi7 che permeDono di confrontare tra loro struDure compar7mentali "concorren7": – AIC (Akaike Informa7on Criterion): N·∙ln(SSRmin)+ 2p – SC (Schwarz Criterion): N·∙ln(SSRmin/N)+p·∙ln(N) • dove N il numero di da7 sperimentali, e P il numero di parametri da s7mare, e SSR la squared sum of residuals MODELLO MULTI-­‐COMPARTIMENTALE DEL GLUCOSIO + Modello del metabolismo 1!123456&2571885&718&219:;584!25& del glucosio a digiuno 718&<8=>5!45&:&74<4=?5 + ADenzione: Regolazione del glucosio • Il glucosio viene !"#$%&'($)"*+"%*#%,-$.($ regolato d agli o rmoni !"#$"%&'()'#*)+,+#-+$'"./'#0.$")# insulina e glucagone. '-1',)#),(%"),.#23-+&&+#4"%5#+# $"%&.$',+ 23-+&&+#-'((+56 All’aumentare del 7""8.%1+,/.-+#0+"#$"%&'()'#)"# 9.,&-+.(#.%1+,/.#".#(+&-+:')',+ glucosio il pancreas 0)#),(%"),.;#<%.,0'#),*+&+#)"# $"%&'()'#(&+,0+#('//'#)#*."'-)# aumenta la secrezione di i,'-1.")#"8'-1',+#9-+0'1),.,/+#= nsulina, quando )"#$"%&.$',+6 invece il glucosio scende soDo i valori normali l’ormone predominante è il glucagone. / + Model of regula7on ?.%&'".1"4&7)'0-$.+".1"@'..%" of blood glucose in T2DM 7')3.*&"$+"ABC? @%$AB#)'CDBE$A*&B" F%&+)DG ! )MB@)"B$# @%$AB#) @'..%"7')3.*& 50+34&0-$3 ! 3&'' &JCI&D)E #)AD)*&B" ! !"#$%!" #&'(&)!*" ! @%$AB#)'$*&%&HI*&B" FJ$#A%)K'LI*G $+*)'$+ &"#$%&" D)#&#*I"A) + Modello del metabolismo 1!123456&2571885&718&219:;584!25& del glucosio a digiuno 718&<8=>5!45&:&74<4=?5 + '#(&+(07 Modello in stato stazionario (a digiuno) del glucosio k13 k31 • In stato stazionario a digiuno il modello è ben descriDo da 3 pool con struDura mamillare *67%4),8$*4#.$,(# &+(07%/*% '#(&+(07%/*% + Modello i'#(&+(07%/*% n stato stazionario 5%'#((%&40($*67%4),8$ (a digiuno) del glucosio ) *+,.&'&#/.&'("#)'-"#/'/0"$"1)# -.,/012 42+,12567-880,19,$,:00.,60+,587;88;79,/9 + Modello in stato stazionario (a digiuno) del glucosio • Esercizio: • Verificare l’iden7ficabilità a priori del modello – Funzione di trasferimento – Sommario esaus7vo – Matrice della funzione di trasferimento + Modello in stato stazionario (a digiuno) del glucosio • Modello non iden7ficabile a priori – Vincolo da conoscenze sul sistema tracciato – “2”: tessu7 a scambio rapido (cervello, organi splancnici, rene) è tessu7 insulino-­‐indipenden7 – “3”: tessu7 a scambio lento (muscolo, tessuto adiposo) è tessu7 insulino-­‐dipenden7 – Stato basale: il consumo di glucosio dei tessu7 insulino-­‐indipenden7 è 3 volte quello dei tessu7 insulino-­‐dipenden7 è F02 = 3F03 + 012)3&/$&-"#+-%4)((&)%/ Equazioni del tracciato !"#$%&'$()*+,-*.*,/&,)%011&0()$,0, + Esperimento: bolo di tracciante a /&2&3(*,$,/3%0()$,&(43"&*($,/&,&("3.&(0 digiuno e durante infusione di insulina !"#"$%&'''''''''''''''''''''"%($)"%* + EffeDo dell’insulina sul metabolismo !44$))*,/$..5&("3.&(0,"3.,'$)0-*.&"'*, del glucosio: mod. mamillare /$.,2.31*"&*+,'*/6,'0'&..0%$ !"#$%&"'()*'&+",)#-"."$/0"&"-1 + Vincoli per l’iden7ficabilità
