Modelli compartimentali e farmacocinetica

Modelli compartimentali
e farmacocinetica
[email protected] + Obie4vi •  le tecniche matema7che per l’analisi della cine7ca dei traccian7 u7lizza7 per lo studio di sistemi endocrino-‐metabolici e del metabolismo d’organo + Una disciplina ha tanto più la dignità della scienza quanto più fa uso dello strumento matema7co Galileo Galilei Per parlare di matema7ca applicata alla biologia non basta introdurre dei metodi quan7ta7vi nella descrizione dei fenomeni, occorre anche trovare delle connessioni e dei legami di 7po matema7co, ovvero formulare dei modelli che abbiano caraDere predi4vo e servano a risolvere problemi speciﬁci. + Esempio •  Modelli che descrivono il metabolismo del glucosio, il metabolismo dei lipidi e l’azione dell’insulina che inﬂuenza sia il metabolismo del glucosio che quello dei lipidi. •  Farmacocine7ca + Farmacocine7ca •  La farmacocine7ca studia quan7ta7vamente l'assorbimento, la distribuzione, il metabolismo e l'eliminazione dei farmaci. •  I farmaci vengono assorbi7, distribui7, metabolizza7 ed elimina7 dall'organismo al quale vengono somministra7 •  Le velocità di assorbimento, distribuzione, metabolismo ed eliminazione sono determinan7 per gli eﬀe4 di un farmaco. •  Un insieme di equazioni diﬀerenziali può descrivere i tempi e i modi in cui un farmaco viene assorbito, metabolizzato ed eliminato dall'organismo. + Costruzione di un modello matema7co •  Gli elemen7 da tener presente per costruire un modello valido possono essere in prima istanza suddivisi in: –  Obie4vi –  Ruolo delle conoscenze teoriche ed empiriche –  StruDura topologica ed anali7ca del modello –  Formulazione –  Iden7ﬁcazione –  Validazione + PERCEZIONE DEL
PROBLEMA
OBIETTIVI
FORMULAZIONE DEL
MODELLO
LEGGI
TEORIE
DATI
CONCETTUALIZZAZIONE
VALIDAZIONE
REALIZZAZIONE
MATEMATICA
DEL
MODELLO
RISOLUZIONE
IDENTIFICAZIONE DEL
MODELLO
MODELLO
UTILIZZABILE
+ Iden7ﬁcazione del modello 1/2 •  Con il termine iden7ﬁcazione ci si riferisce ai procedimen7 con i quali si determina sia la struDura del modello matema7co, sia il valore dei parametri che in esso ﬁgurano, in modo da oDenere la corrispondenza tra il comportamento del modello ed un adeguato complesso di da7 sperimentali. + Iden7ﬁcazione del modello 2/2 •  Le principali fasi del processo di iden7ﬁcazione sono: •  determinazione della stru0ura del modello, in base alle conoscenze a priori sulle leggi ﬁsico-‐chimiche che regolano i fenomeni studia7 o in base all’esigenza di far corrispondere le soluzioni delle equazioni ai da7 sperimentali, anche senza aDribuire un par7colare signiﬁcato ﬁsico; •  proge0o ed esecuzione dell’esperimento, quindi applicazione di “ingressi” e la misura delle “uscite”, cercando un compromesso opportuno tra signiﬁca7vità dell’esperimento ai ﬁni dell’iden7ﬁcazione e i vincoli di natura e7ca e pra7ca (in par7colare, un’iden7ﬁcazione a priori che l’esperimento sia o no in grado di fornire i valori incogni7 dai da7 sperimentali, e se eventualmente la s7ma sia unica); •  s6ma dei parametri, u7lizzando algoritmi idonei e valutando la bontà della s7ma eseguita (accuratezza dei risulta7) nel quadro del problema deDo di iden7ﬁcazione a posteriori; •  messa a punto e o7mizzazione dell’esperimento proge0ato. + Validazione del modello •  È la serie di prove con cui si testa la validità del modello. •  Il conceDo di validità è molto ampio e richiede un criterio di valutazione. Ma tale criterio, molte volte rischia di essere sogge4vo, sopraDuDo nei metri di misura. In linea generale: •  Criteri interni, basa7 sulle caraDeris7che interne del modello: –  Coerenza, in base alla quale non si devono presentare contraddizioni logiche, matema7che o ﬁsiche. –  Validità algoritmica, rela7va all’esigenza che le equazioni siano risolvibili in modo eﬃcace e diano risulta7 con la precisione voluta. •  Criteri esterni, lega7 agli scopi, alle teorie e ai da7 sperimentali: –  Validità empirica, rela7va alla corrispondenza del comportamento tra sistema e model –  Validità teorica, rela7va alla coerenza tra le ipotesi implicite e quelle acceDate. –  Validità pragma7ca, riferita all’eﬃcacia del modello di raggiungere gli obie4vi. Resta comunque complesso deﬁnire una misura ogge4va di tale eﬃcacia. –  Validità euris7ca, rela7va alla capacità del modello di fornire suggerimen7 per l’interpretazione dei fenomeni, per la veriﬁca delle ipotesi e l’individuazione di nuovi temi di ricerca. + StruDura anali7ca del modello •  Modelli determinis7ci, in cui le variabili di stato ed i parametri sono variabili determinis7che. •  Modelli stocas7ci, in cui le variabili di stato ed i parametri sono variabili aleatorie o processi stocas7ci. •  Modelli stocas7ci/determinis7ci, in cui le variabili di stato appartengono alla prima classe e i parametri all’altra, o viceversa. •  Modelli lineari e non, in cui le relazioni tra le variabili sono lineari o meno. •  Modelli a parametri concentra7, in cui si concentrano le cause e gli eﬀe4 in compar7men7 e si costruiscono le relazioni tra le variabili di tali compar7men7. •  Modelli a parametri distribui7, in cui cause ed eﬀe4 non possono essere compar7mentalizza7. + Modello del metabolismo 1!123456&2571885&718&219:;584!25&
del glucosio a digiuno 718&<8=>5!45&:&74<4=?5
+ •  Poiché spesso il sito d’interesse non è accessibile, si eﬀeDua un prelievo di sangue (arterioso o venoso) e, tramite modelli matema7ci, si s7mano i parametri d’interesse. –  Produzione di glucosio (input) –  U7lizzo di glucosio + •  Dal prelievo di sangue a digiuno misuriamo la concentrazione del glucosio [G]. •  [G] è funzione sia della produzione (input) che dell’u7lizzazione (output). •  Se sia l’input che l’output aumentano [G] rimane costante. Quindi la sola conoscenza di [G] non ci permeDe di conoscere indipendentemente input e output e abbiamo bisogno di una sostanza che “tracci” il glucosio senza perturbarne lo stato stazionario. TRACCIANTI + Tracciante •  È una sostanza marcata con un isotopo con le stesse caraDeris7che chimico-‐ ﬁsiche ma diversa massa: 1.  si comporta come la sostanza che vogliamo studiare (sost. tracciata) 2.  possiamo misurare separatamente il tracciante dalla sost. tracciata + Isotopi •  Gli isotopi (leD. nello stesso luogo) sono atomi dello !"#$%$&$'%"()$(*+,-,.,
stesso elemento chimico, e quindi con lo Gli isotopi (lett. nello stesso luogo) sono atomi
stesso umero atomico (cioè e nquindi
umero dellonstesso
elemento
chimico,
condloi stesso m
numero
(cioè
numerodi m
di assa, protoni), a con datomico
iﬀerente numero protoni), ma con differente numero di massa, e
e quindi assa atomica. quindi m
massa
atomica.
1H
Idrogeno
2H
Deuterio
Trizio
n
n p
n p
p
e
3H
e
e
*
+ Isotopi •  La diﬀerenza delle masse è dovuta a un diverso numero di neutroni presen7 nel nucleo dell'atomo. •  Se 2 nuclei contengono lo stesso numero di protoni, ma un numero diﬀerente di neutroni, i due nuclei avranno lo stesso comportamento chimico (con delle minime diﬀerenze nei tempi di reazione e nell'energia di legame), ma avranno comportamen7 ﬁsici diﬀeren7, essendo uno più pesante dell'altro. + Isotopi •  È un atomo con le stesse caraDeris7che chimico-‐
!"##"$%&'()$)#*+*,)
ﬁsiche ma diversa massa. È un atomo con le stesse caratteristiche chimico-fisiche
•  Le dmaiﬀerenze di massa degli isotopi sono dovute diversa massa.
ad Le
un differenze
numero didmassa
iverso degli
di nisotopi
eutroni nel nucleo così sono
dovute
ad un
diverso cdihimiche neutroni nnel
così che le
che numero
le proprietà on nucleo
cambiano. proprietà chimiche non cambiano.
•  Possono e
ssere s
ia s
tabili c
he r
adioa4vi. Possono essere sia stabili che radioattivi.
1H
Idrogeno
Massa=1
2H
Deuterio
Massa=2
n p
p
e
e
Trizio
Massa=3
n
n p
3H
e
+ Breve richiamo Atomic number (Z) = number of protons in nucleus
Mass number (A) = number of protons + number of neutrons
= atomic number (Z) + number of neutrons
Mass Number
Atomic Number
A
ZX
È
m
Le
nu
pr
P
Element Symbol
proton
1p
1H
1 or 1
neutron
1n
0
electron
0
0
-1e or -1β
positron
0
0
+1e or +1β
A
1
1
0
0
Z
1
0
-1
+1
1H
I
M
e
+ Isotopi radioa4vi •  La radioa4vità è causata dal rilascio spontaneo di par7celle e/o energia eleDromagne7ca dal nucleo di un atomo. •  La radioa4vità risiede nei NUCLEI INSTABILI. •  Nucleo decade con EMISSIONE DI RADIAZIONI. •  I traccian7 radioa4vi si caraDerizzano per sviluppare un processo di decadimento con disintegrazione e produzione di nuovi elemen7. •  Nel corso della disintegrazione vengono emesse radiazioni, la cui misura permeDe di seguire lo svolgersi dei processi in aDo. •  La radioa4vità è misurata in: disintegrazioni/tempo. •  L’unità standard sono i bequerel (Bq) •  Un Bq corrisponde ad 1 decadimento per secondo •  Un’altra unità di misura è il curie (Ci), equivalente a 3.7 x 1010 disint./sec. + Proprietà dei radioisotopi •  Tipo di emissione •  Emivita •  Energia di emissione + Tipi di emissione •  Par7celle α: nuclei di elio (isotopi pesan7; Z>82) •  Par7celle β: negatroni (eleDroni) o positroni •  Raggi γ: radiazioni eleDromagne7che derivate da riarrangiamen7 nucleari + Velocità del decadimento radioa4vo •  Il decadimento segue una cine7ca di I ordine: –  -‐dN/dt = λN –  λ = costante di decadimento •  Integrando: –  ln Nt/No = -‐ λt •  In pra7ca la velocità di decadimento è espressa come emi-‐vita o tempo di dimezzamento t1⁄2, cioè il tempo necessario perché l’a4vità decada del 50 %: –  ln0.5=-‐λt1⁄2 –  2.3log10 2 = λt1⁄2 –  t1⁄2 = 0.693/λ + Emivita !"#$%&'$(
Decay of 20.0 mg of 15O. What remains after 3 half-lives?
+ Capacità di penetrazione !"#"$%&$'#()*+','$-
+ • 
• 
• 
• 
• 
Radioisotopi in medicina 24Na, t = 14.8 hr, β emiDer, blood-‐ﬂow 1⁄2
tracer 131I, t = 14.8 hr, β emiDer, thyroid gland 1⁄2
ac7vity 123I, t = 13.3 hr, γ−ray emiDer, brain imaging 1⁄2
18F, t = 1.8 hr, β+ emiDer, positron emission 1⁄2
tomography 99mTc, t = 6 hr, γ−ray emiDer, imaging agent 1⁄2
+ Reazioni Chimiche vs Nucleari Reazioni Chimiche Reazioni Nucleari Gli atomi sono riarrangia7 aDraverso la roDura e la formazione di legami chimici Gli elemen7 (o gli isotopi di uno stesso elemento) vengono conver77 uno nell’altro Solamente gli eleDroni negli orbitali atomici o molecolari sono coinvol7 nella formazione o nella roDura dei legami Protoni, neutroni, eleDroni ed altre par7celle elementari possono essere coinvol7 Le reazioni sono accompagnate dall’assorbimento o dal rilascio di una piccola quan7tà di energia Le reazioni sono accompagna7 dall’assorbimento o dal rilascio di una grande quan7tà di energia La velocità di reazione sono inﬂuenzate da La velocità di reazione è normalmente temperatura, pressione, concentrazione e non inﬂuenzata da temperatura, catalisi pressione e catalisi + Isotopi maggiormente */'0'1"/(2'33'%45(6/")($%(7$'4'8$294(
u7lizza7 n:"/"9:2;
ella ricerca biologica Common
Stable
Rare stable
1H
2H
12C
Radioactive
(0.02%)
3H
13C
(1.1%)
14C
14N
15N
(0.37%)
*
16O
18O
(0.04%)
*
* No long-lived radioisotopes for these elements
+ Isotopi stabili nel corpo umano !"#$%&'()*"*+&)',-'".&'./0#-'$*12
11.4 kg
C
12
13
C
4.6 g
1.3 kg
18
11.4 kg
N
14
N
15
5.1 g
16
137 g
12 g
17
5.0 kg
1
H
D
1.5 g
È
so
ec
vo
Ve
+ Isotopi stabili vs radioa4vi Isotopi stabili Isotopi radioa7vi Sicuri, non tossici Radiazioni ionizzan7 Possono essere u7lizza7 in neona7, bambini e donne in gravidanza Non posso essere u7lizza7 in tuDa la popolazione Diversi traccian7 possono essere u7lizza7 Limitazioni nel numero di traccian7 e in contemporaneamente in studi ripetu7 studi ripetu7 Il costo di alcuni traccian7 è davvero elevato Non esistono isotopi a lunga vita per O e N È necessaria una grande quan7tà di tracciante (elevato rumore di fondo) Non ci sono problemi di rumore di fondo, è necessaria una piccola quan7tà di tracciante ADrezzature costose, personale tecnico qualiﬁcato ADrezzature semplici e poco costose + Tracciante •  È una molecola in cui uno o più atomi sono sta7 sos7tui7 (“marca7”) con isotopi e che si comporta come la sostanza che vogliamo studiare (sost. tracciata). •  Nel caso che il tracciante si compor7 sensibilmente diversamente dalle molecole che sos7tuisce (una massa diversa può inﬂuire su velocità di diﬀusione e di reazione chimica) si parla di eﬀeDo di frazionamento dell’isotopo. + Tracciante •  Da notare che le sostanze comunemente elaborate dai sistemi biologici sono in mol7 casi ognuna già una mistura di isotopi, anche se uno di essi è presente in quan7tà percentuale molto maggiore. •  Nell’uso dei traccian7 non si fa quindi altro che aumentare la percentuale di uno degli altri isotopi, così da permeDere una più facile analisi dei processi in gioco. Oppure si introduce del tuDo un nuovo isotopo. 2H
+ = D (deuterium)
NH2
D
D
Esempi tracciante D
C
CH2
D
COOH
D
!"#$%&'"
#$%&'"()*+,-.&/0101&%&.
9.#"',)'#'":#;&:'0*%&;/%&<
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H
H
H
H
CH2
CH
2
H
H
H
3
Tritium
3HH
==Tritium
NH22
NH
H
3H
CC HH
3
3H H
COOH
COOH
!"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/
!"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/
2H
COOH
COOH
!"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/
NH2
15NH 15NH
2
2
D
D
D
CH2 HC
C
CH2
D D
D
3
3H H
3H ]Phenylalanine L-‐[ring-‐
!"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/
5
!"#$%&'%#%$(#)*(%+,-*).-*/
NH2 NH2
D
3H
(
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*+,-.&/0101&%&.
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"("))
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*+,-.&/0101&%&.
2H = D (deuterium)
= D (deuterium)
D
CC HH
CH2
CH
2
3H
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==
>>
?.&-2%#%#-,-&
L-‐Phenylalanine NH2 2
NH
3
3H H
3H
H
H
H
D
COOHCOOH
CH2
C -3
C -8
C -4
C -4
CH2 HC
C
C -2
C -2 C -3
C -6
H
C -8
CH2
C -3
C -8
C -1
()
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#$%&'
!"#$%&'"
#$%&'"!
*+,-.&/0101&%&.
L-‐[ring-‐2H5]Phenylalanine C -4
C -6
C -6
D
H
C -1
COOH
COOH
C
C -2
H11
11
13COOH
!"#("
#("2*3+,-.&/0101&%&.!"#2"
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#("2*3+,-.&/0101&%&.
#2"245+,-.&/0101&%&.
L-‐[2-‐15N]Phenylalanine C -1
L-‐[1-‐13C]Phenylalanine + Come misurare i traccian7 (1/4) •  Contatori di radioa4vità: –  Per ionizzazione (contatore Geiger-‐Muller), –  Per eccitazione (scin7llatori -‐ gamma counter, beta counter) •  SpeDrometro di massa: massa delle molecole o degli atomi all’interno delle molecole dopo combus7one o conversione in gas (CO2, N2, H2) + Come misurare i traccian7 (2/4) •  Traccian7 radioa4vi •  I traccian7 radioa4vi si caraDerizzano per sviluppare un processo di decadimento con disintegrazione e produzione di nuovi elemen7. •  Nel corso della disintegrazione vengono emesse radiazioni, la cui misura permeDe di seguire lo svolgersi dei processi in aDo. •  Unità di misura nella pra7ca: unità di conto/tempo •  (fornisce la quan7tà di radiazione eﬀe4vamente rilevata). •  A pari condizioni di emissione, il valore in unita di conto è minore (al massimo uguale) rispeDo quello teorico. •  Per eﬀeDo della geometria del sistema ricevitore ed altre sostanze presen7, la radiazione rilevabile è minore di quella teorica. + Come misurare i traccian7 (3/4) •  A7vità speciﬁca: –  radioa4vità/(massa) = unità di conto /(massa tempo) •  Quan7tà tracciante: quan7tà minima di tracciante da immeDere, che permeDe: –  di studiare 1 o più compar7men7. –  di essere piccola abbastanza da creare il minimo disturbo al sistema (in par7colare per le radiazioni emesse). •  Nella pra7ca si opera con quan7tà inferiori al 1%. + Come misurare i traccian7 (4/4) •  Traccian6 stabili •  Non emeDono radiazioni, per cui sono rileva7 in base a misure legate alla diﬀerenza di massa con analoghi isotopi più comuni. •  Unità di misura: –  molecole marcate/ totale molecole d’interesse presen7 (altre unità di misura sono comunque usate). •  A4vità speciﬁca: –  molecole marcate/ totale molecole d’interesse presen7/massa (altre unità di misura coincidono direDamente con a.s.) •  Essendo il metodo di misura meno sensibile di quello usato per i traccian7 radioa4vi, è necessario impiegare una maggiore quan7tà di tracciante, per altro permessa dalla minore pericolosità. ..to unknown amount
tracee
+ chimica) si parla di effetto di frazionamento dell’isotopo.
U7lizzo di isotopi in studi del metabolismo umano •  Principio di diluizione del tracciante –  Modelli sta7ci –  Modelli dinamici ($&)%&*+#,-.,/$0%#$,1&+2/&-),&),0,"/0/&%,
*--+
Determination
of total
body
Add known
Mix and take
amount
of tracer..
small sample
water
in man
Orally ingest a known volume of
2H O and after equilibration (4-8 hrs)
2
..andinmeasure
determine the 2H2O concentration
tracer/tracee ratio
urine or plasma
..to unknown amount
tracee
!"#$%#&'()*+),"-%(").#'/,#*$)
#$)-).1$-2#%)&**'
Infuse tracer
with
enrichment Ei
at a constant
rate of i
µmol/kg.min
Tracer enrichment
Plateau enrichment
Ep
time
Measure tracer
enrichment
MODELLI NON-‐COMPARTIMENTALI + Approccio non compar7mentale •  Nessuna assunzione circa la distribuzione della sostanza all’interno del corpo •  Conoscenza descri4va tra riguardo il tracciante (farmaco) •  Scarsa correlazione rispeDo alle speciﬁche funzioni di un organo •  La mancanza di assunzioni a priori consente di minimizzare gli eventuali bias dovute alla modellazione •  Descrizione dei da7 sperimentali tramite delle curve esponenziali !"#$%%"&'"'()"*+,-./*$'.,%$
+ Esperimento Bolo di sostanza + Approccio non compar7mentale •  Da7 no7: –  Dose •  Osservare: –  Cmax (concentrazione massima) e Tmax (istante a cui si veriﬁca la concentrazione massima) •  Calcolare: –  AUC (Area under curve -‐ area soDo la curva; aDraverso la regola dei trapezi oppure integrando una curva teorica (es. esponenziali) che descrive i da7 sperimentali) –  k (elimina7on rate) –  Volume di distribu7one, –  Clearance, –  T1/2 + Area soDo la curva •  Metodo d!"#$%&'()#*
ei trapezi +',+%$-
+ !"#$%&'(('%)$%*+",$%-!./01%2
Area soDo la curva )345(#6"$)#%7#))$%8+594'5#
C (t ) = C0 ⋅ e
− k ⋅t
k >0
∞
∞
0
0
− k ⋅t
C
(
t
)
dt
=
C
⋅
e
'
' 0 dt
& C0 −k ⋅t #
& C0 −k ⋅t #
⋅ e ! |t =∞ −$ −
⋅ e ! |t =0
$−
% k
"
% k
"
C0
AUC =
Generalizzazione per k
curve a più esponenziali + Clearance •  Volume dal quale il farmaco viene rimosso in una data unità di tempo (volume / tempo) •  E’ una costante rispeDo alla dose e al tempo •  Può essere calcolato da: •  Excre7on rate (Rd) / Concentra7on –  (mg/min) / (mg/ml) = ml/min •  Dose / AUC –  (mg) / (mg/ml*min) = ml/min + • 
• 
Clearence /)#$"$7*#
La Clearance isNON conceDo di eliminazione • Clearance
NOTè aun concept
of elimination
Collega la cconcentration
oncentrazione on rate
la velocità di • Relates
to cthe
of
eliminazione elimination
Elimination rate (Rd)= Concentrat x Clearance
mg\min
mg/ml
ml/min
•  L’ unità di misura dell’elimina7on rate è • Elimination units are mass per time (mg/min)
massa per unità di tempo (mg/min) • Clearance
unitsdare
per time
•  L’unità di misura ella volume
Clearance è (ml/min)
volume per unità di tempo (ml/min) + Volume di distribuzione •  Vd lega la concentrazione della sostanza alla quan7tà di sostanza (A) (tracciante/farmaco) presente nel corpo –  A=CxVd •  Vd una costante rispeDo alla dose e al tempo •  Vd=[Dose/(AUC0-‐∞ *k)]=CL/k •  Se diamo un bolo, la concentrazione estrapolata al tempo 0 •  C0=Dose/Vd + Tempo medio di residenza •  Mean Residence Time (MRT) –  Tempo che mediamente una molecola di farmaco trascorre all’interno del corpo •  MeDe in relazione la clearence con il volume di distribuzione •  MRT=Vd/CL MODELLI COMPARTIMENTALI + Modelli compar7mentali •  I modelli compar7mentali traggono il loro nome dalla scomposizione del sistema in varie par7 (compar7men7). •  Per compar7mento si intende un insieme di materia che per l’organismo si comporta in maniera omogenea (sia dal punto di vista della distribuzione che del comportamento cine7co all’interno del compar7mento). •  L’approccio prevede l’impiego di n variabili funzioni del tempo e legate da equazioni diﬀerenziali ordinarie. •  Tali equazioni vengono scriDe a par7re da un unico conceDo base: il rispeDo della conservazione della massa. + I compar7men7 •  I compar7men7 sono volumi ideali, non necessariamente volumi reali, nei quali la sostanza (e il tracciante o il farmaco) entra, si distribuisce, esce. •  Un compar7mento può essere un insieme di tessu7 diﬀeren7 che possiedono un’aﬃnità per il farmaco e una perfusione sanguigna molto simile. •  Il numero di compar7men7 si stabilisce in base alla diﬀerenza più o meno elevata che c’è tra una costante di velocità e l’altra. Il modello cine7co che ricorre più spesso e il più semplice e il modello mono-‐ compar7mentale aperto. + !"#$%&'()*'+,)'"- &'./*.0
1-2%3"04.*)02-)
Modello mono compar7mentale + Modello mono compar7mentale Assunzioni: •  Il corpo cos7tuisce un unico processo •  Miscelamento istantaneo –  Il tracciante (farmaco) si miscela istantaneamente nel sangue o nel plasma –  Un compar7mento –  Il tracciante (farmaco) che si trova nel sangue (plasma) è in equilibrio rapido con il tracciante (farmaco) che si trova nei tessu7 extravascolari. •  Modello lineare –  L’eliminazione del farmaco segue una cine7ca del primo ordine + Modello monocompar7mentale •  Calcolare la cine7ca di un substrato signiﬁca determinare la velocità di comparsa (rate of appearance, Ra) di un substrato e, perlomeno nello stato stazionario, la velocità di scomparsa dello stesso (rate of disappearance, Rd). •  Possono inoltre essere deriva7 altri parametri come l’emivita, il tempo medio di residenza e la clearance. po] , [dpm]* [tempo] ) e la velocità di utilizzazione (rd, [massa]* [tempo] , [dpm]*
matematicamente (eq 1) attraverso un bilancio di massa:
+ !" #$%
& '(#$% ) '!#$% & *
!"#$%
!$
Modello monocompar7mentale !$
& '(#$% ) (!#$%********
stazionario, la sola misura di Q non permette né la stima di Ra né quella di Rd. Da un
vista
ciò chequindi
viene effettivamente
misuratosituazione,
è la concentrazione
di del
on visperimentale,
è traccianteinoltre,
nel sistema
q(0) = 0. In questa
a differenza
-1
C, [massa]*[volume]
):
Figura
1: rappresentazione
un singolo
acciato
dove Q è costante,
q(t) cambia con
il tempo
e quindi dq/dtschematica
non è piùdiuguale
a pool. Poiché viene assunto lo stat
•  Andamento del tracciante durante un esperimento di infusione con7nua endo che il processo di uptake non distingua
tracciante e tracciato non marcato
" tempo tra
Al
t
=
0 viene somministrato un tracciante (radioattivo o stabile), e
&
ità isotopica), il tracciante verrà+ quindi
perso dal compartimento corporeo ad una
,
massa, che è, in sostanza, chimicamente identico al tracciato, attraverso un
rzionale all’abbondanza relativa, nel compartimento corporeo, di tracciante rispetto al
l volume. È pertanto necessario l’uso di (figura
un tracciante.
2)Ad un certo istante (dipendente dalla cinetica del sistema), il tracciante sarà
):
(! +!
&
"
,
velocità con la quale compare: l’utilizzazione rd di tracciante eguaglia la velocità
!"#$%
& '( ) (! & *
!$
’inizio dell’infusione, la concentrazione relativa
sarànon
inferiore
nelulteriori
corpo cambiamenti nelle concentrazioni r
cioèdiir tracciante
= rd, e quindi
ci saranno
la nella mistura di infusione, e quindi il tracciante
lascerà sempre
il compartimento
corporeo
e di tracciato
che l’infusione
rimanga costante. Questa situazione è no
tà
inferiore rispetto
alla di
velocità
alla
quale
Ci poiché
sarà
quindi
un
aumento
: rappresentazione
schematica
un singolo
pool.
Poichéappare.
viene
assunto
lo stato
stazionario
Ra=Rdun nella
isotopico,
viene
raggiunto
plateau nell’arricchimento del compartim
e relativa di tracciante (attività specifica [SA])
nel
compartimento
3).
Figuratracciato
2: rappresentazione
schematica(figura
della concentrazione
relativa tracciante/tracc
(figura 4). corporeo
t = 0 viene somministrato un tracciante (radioattivo o stabile), essenzialmente senza
intervallo dall’aggiunta di un tracciante radioattivo
e è, in sostanza, chimicamente identico al tracciato, attraverso una infusione costante
Per il principio di indistinguibilità del tracciante, il suo volume di distribuzione
di distribuzione del tracciato, V. Anche per il tracciante (q, [massa], o decad
Figura 4: rappresentazione schematica dell’arricchimento isotopico
rappresentazione schematica dell’incremento relativo del tracciante rispetto al tracciato (da
2: rappresentazione schematica della concentrazione relativa tracciante/tracciato dopo un breve
confrontare con lo schema di figura
2)
Sfruttando
l’uguaglianza “a regime” tra ir = rd ed il fatto chetempo l’estrazione rd
+ Modello monocompar7mentale •  Andamento del tracciante durante un esperimento di infusione con7nua Vedi dispense per gli esperimen7 di infusione con7nua, bolo, e primed constant infusion + Distribuzione dell’acqua !"#$%&'()*%+,-(*,./(,"0
Input
RBC
PLASMA WATER
4.5%
BONE
3L
3%
CELL WATER
36
25 L
%
INTERSTITIAL
FLUID
COMPARTMENT
11.5%
8L
TRANSCELLULAR WATER
1.5%
1L
2L
ECF
24% 17 L
DENSE CONNECTIVE
4.5%
3L
+ Modello a due compar7men7 k21
2
1
k12
k01
k02
+ Metodo della funzione di trasferimento + Metodo della funzione di trasferimento •  Nel dominio del tempo la relazione ingresso-‐
uscita è data da: t
y (t ) = ∫ h(t − τ )u(τ )dτ
0
•  Usando le trasformate di Laplace, nel dominio della frequenza la relazione ingresso-‐uscita è data da: Y ( s) = H ( s) ⋅ U ( s)
2-‐COMP EXAMPLE y
u
V1
k01
k21
k12
V2
k02
⎧q1 = −(k01 + k21 ) ⋅ q1 + k12 ⋅ q2 + u1
⎨
⎩q2 = −(k12 + k02 ) ⋅ q2 + k21 ⋅ q1
q1
y1 (t ) =
V1
k12, k21, k01, k02, V1 unknown (V2 does not appear in the equations)
For u (t ) = δ (t ),
λ1t
y (t ) = A1e + A2e
λ2t
+ Metodo della matrice della funzione di trasferimento (1/3) dq
= A ⋅q + B ⋅u
dt
y = C⋅q
⎡ L[y i ( t , p)]⎤
−1
H (s, p) = ⎢
= C(p)[sI − A(p)] B(p)
⎥
⎢⎣ L u j ( t ) ⎥⎦ i=1,m
j=1,r
[
]
+ Metodo della matrice della funzione di trasferimento (2/3) ⎧q1 = −(k01 + k21 ) ⋅ q1 + k12 ⋅ q2 + u1
⎨
⎩q2 = −(k12 + k02 ) ⋅ q2 + k21 ⋅ q1
q1
y1 (t ) =
V1
k12
⎡− (k01 + k21 )
⎤
A = ⎢
⎥
k
−
(
k
+
k
)
21
12
02 ⎦
⎣
⎡1⎤
B = ⎢ ⎥
⎣0⎦
⎡ 1
C = ⎢
⎣V1
⎤
0⎥
⎦
dq
= A ⋅q + B ⋅u
dt
y = C⋅q
k21
2
1
k12
k01
k02
+ Metodo della matrice della funzione di trasferimento (3/3) k01=sym('k01','positive');!
k21=sym('k21','positive');!
k12=sym('k12','positive');!
k02=sym('k02','positive');!
vol=sym('vol','positive');!
s=sym('s')!
!
A=[-(k01+k21) k12!
k21 -(k12+k02)];!
B=[1!
0];!
C=[1/vol 0];!
!
H=C*inv(eye(2)*s-A)*B!
!
%diff!
%simplify!
%pretty!
%subs!
%rank
k21
2
1
k12
k01
k02
Determinazione della struDura di un modello e del valore numerico dei suoi parametri IDENTIFICAZIONE DI UN MODELLO + Iden7ﬁcabilità di un modello NOISE
+
DYNAMIC
SYSTEM
u
MODEL
TEST INPUTS
P1, P2, …, Pn
y
OUTPUTS
z
+
A PRIORI (STRUCTURAL)
A POSTERIORI (STRUCTURAL + NUMERICAL)
REAL
MEASUREMENT
DATA
+ Iden7ﬁcabilità a priori (1/5) •  Solo parametri che soddisfano certe condizioni possono essere determina7 da da7 di input/output. •  Il set di parametri può essere determinato qualche volta unicamente, qualche volta no. •  Problema di iden7ﬁcabilità: –  determinare se è possibile trovare 1 o più set di soluzioni per i parametri igno7 del modello, da da7 raccol7 in esperimen7 compiu7 sul sistema reale. –  Trovare dei range di validità per I parametri di modelli non iden7ﬁcabili + Iden7ﬁcabilità a priori (2/5) •  L’analisi di Iden7ﬁcabilità è un passo preliminare nell’analisi del modello per la s7ma parametrica •  Da questa analisi si oDengono le condizioni minime necessari per oDenere s7me uniche dai da7 reali rumorosi e limita7. + Iden7ﬁcabilità a priori (3/5) •  Scopo: stabilire per via teorica se, data la struDura del modello ed una certa conﬁgurazione di ingressi e uscite, è possibile risalire ai parametri incogni7 del modello nel caso, puramente ideale, in cui il modello è senza errore e si conoscano esaDamente le uscite a tempo con7nuo •  Razionale: solo se il modello è iden7ﬁcabile a priori ha senso cercare di s7mare numericamente il valore dei suoi parametri dai da7 sperimentali •  Rimedi alla non iden7ﬁcabilità a priori: –  1) arricchire l'esperimento, es. aggiungendo misure; –  2) ridurre la complessità del modello, es. riducendo il numero di compar7men7 o di parametri o riparametrizzando il modello o aggiungendo dei vincoli. •  Importanza dell’iden7ﬁcabilità a priori nel progeDo qualita7vo dell’esperimento: es. minimo numero di ingressi ed uscite che garan7scono l iden7ﬁcabilità + Iden7ﬁcabilità a priori (4/5) •  NON dipende dai da7 a posteriori, ma solo dalla struDura a priori del modello •  La natura aleatoria dei da7 reali NON inﬂuisce su ques7 risulta7 + Iden7ﬁcabilità a priori (5/5) •  NON IDENTIFICABILITA •  IDENTIFICABILITA GENERICA •  IDENTIFICABILITA UNIVOCA + Non iden7ﬁcabilità •  Un parametro pi si dice NON IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero INFINITO di soluzioni. •  Se un modello ha anche un solo parametro NON IDENTIFICABILE, allora l intera struDura si dice NON IDENTIFICABILE. + Iden7ﬁcabilità •  Un parametro p i si dice IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero FINITO di soluzioni (diverse da quella iden7camente nulla). •  Se tu4 i parametri sono IDENTIFICABILI, allora l intera struDura si dice IDENTIFICABILE. •  I parametri sono iden7ﬁcabili come range (bounds) + Iden7ﬁcabilità univoca •  Un parametro p i si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE nell intervallo [t0,T] se esiste UNA E UNA SOLA soluzione. •  Se tu4 i parametri sono UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILI, allora l intera struDura si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE. •  S e a n c h e u n s o l o p a r a m e t r o n o n è UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE, allora l intera s t r u D u r a s i d i c e N O N -‐ U N I V O C A M E N T E IDENTIFICABILE. + Condizioni necessarie per l’iden7ﬁcabilità il sistema dev’essere “input-‐“ e “output-‐connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT) 3
k31
1
k03
4
k14
k12
k01 k21
k42
2
k04
METODO DELLA MATRICE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ⎡ ∂β11
1
⎢
⎢ ∂p1
⎢ 
⎢ ∂α11
⎢ n
⎢ ∂p1
G (p ) = ⎢ 
⎢ mr
⎢ ∂β1
⎢ ∂p1
⎢ 
⎢ mr
⎢ ∂α n
⎢ ∂p
⎣ 1




⎤
∂β11
1
⎥
∂p p ⎥
 ⎥
⎥
∂α11
n ⎥
∂p p ⎥
 ⎥
mr ⎥
∂β1 ⎥
∂p p ⎥
 ⎥⎥
∂α mr
n ⎥
∂p p ⎥⎦
2nxmxrxp
derivate
Il modello è iden7ﬁcabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE G(p) è uguale a p per ogni possibile valore del veDore p. n = numero
compartimenii
r = numero input
m = numero output
p = numero parametri
+ Riepilogo + Modello non iden7ﬁcabile + Rimedi alla non iden7ﬁcabilità a priori (1/5) + Rimedi alla non iden7ﬁcabilità a priori (2/5) + Rimedi alla non iden7ﬁcabilità a priori (3/5) + Rimedi alla non iden7ﬁcabilità a priori (4/5) + Rimedi alla non iden7ﬁcabilità a priori (5/5) k21=sym('k21');!
k02=sym('k02');!
vol=sym('vol');!
a1=sym('a1');!
a2=sym('a2');!
b=sym('b');!
!
S =
!solve(k21+k02-a2, ... !
!k21*k02-a1,b*vol/k21-1, ...!
!k21, k02, vol)!
!
pretty(S.k02);!
pretty(S.k21);!
pretty(S.vol);
IDENTIFICABILITÀ A POSTERIORI + Iden7ﬁcabilità a posteriori •  Iden7ﬁcabilità a priori: esperimento “ideale” •  Esperimento reale: raccolta di da7 sperimentali –  y1, y2,...,yn in corrispondenza delle variabili x1, x2,...,xn (t1, t2,..., tn) •  Ad ogni dato sperimentale è associato un errore sperimentale: σ1, σ2, ..., σn + S7ma dei parametri •  Una volta veriﬁcato che il modello è univocamente iden7ﬁcabile a priori a par7re dai da7 "ideali" che l'esperimento potrebbe generare, il problema che si pone è quello di s7mare i valori numerici dei parametri a par7re dalle misure eﬀe4vamente fornite dall'esperimento. •  Nella realtà i da7 genera7 dall'esperimento sono aﬀe4 da rumore. Per poter valutare la precisione delle s7me dei parametri, è perciò richiesta una descrizione formale dell'errore di misura. •  Questa descrizione caraDerizza tuDo il processo di s7ma ed è streDamente legata alle proprietà sta7s7che delle s7me oDenute. + Esempio di s7ma •  Metodo dei minimi quadra7 •  Considera le diﬀerenze tra il valore misurato e quello previsto dal modello (residui) per il 7po di esperimento condoDo 2
" yi ! f (ti , p1,..., p p ) %
'
SSWR = ($
!i
'&
i=1 $
#
n
•  SSWR=Squared sums of the weighted residuals (objec7ve func7on) = somma dei quadra7 dei residui pesa7. •  σ è l’errore di misura, che va a pesare i da7 + Valutazione della bontà del ﬁ4ng •  Esempi •  Runs test •  Nel caso dell'analisi compar7mentale, sono sta7 sviluppa7 degli indicatori apposi7 che permeDono di confrontare tra loro struDure compar7mentali "concorren7": –  AIC (Akaike Informa7on Criterion): N·∙ln(SSRmin)+ 2p –  SC (Schwarz Criterion): N·∙ln(SSRmin/N)+p·∙ln(N) •  dove N il numero di da7 sperimentali, e P il numero di parametri da s7mare, e SSR la squared sum of residuals MODELLO MULTI-‐COMPARTIMENTALE DEL GLUCOSIO + Modello del metabolismo 1!123456&2571885&718&219:;584!25&
del glucosio a digiuno 718&<8=>5!45&:&74<4=?5
+ ADenzione: Regolazione del glucosio •  Il glucosio viene !"#$%&'($)"*+"%*#%,-$.($
regolato d
agli o
rmoni !"#$"%&'()'#*)+,+#-+$'"./'#0.$")#
insulina e glucagone. '-1',)#),(%"),.#23-+&&+#4"%5#+#
$"%&.$',+ 23-+&&+#-'((+56
All’aumentare del 7""8.%1+,/.-+#0+"#$"%&'()'#)"#
9.,&-+.(#.%1+,/.#".#(+&-+:')',+
glucosio il pancreas 0)#),(%"),.;#<%.,0'#),*+&+#)"#
$"%&'()'#(&+,0+#('//'#)#*."'-)#
aumenta la secrezione di i,'-1.")#"8'-1',+#9-+0'1),.,/+#=
nsulina, quando )"#$"%&.$',+6
invece il glucosio scende soDo i valori normali l’ormone predominante è il glucagone. /
+ Model of regula7on ?.%&'".1"4&7)'0-$.+".1"@'..%"
of blood glucose in T2DM 7')3.*&"$+"ABC?
@%$AB#)'CDBE$A*&B"
F%&+)DG
!
)MB@)"B$#
@%$AB#)
@'..%"7')3.*&
50+34&0-$3
! 3&''
&JCI&D)E
#)AD)*&B"
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#&'(&)!*"
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@%$AB#)'$*&%&HI*&B"
FJ$#A%)K'LI*G
$+*)'$+
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D)#&#*I"A)
+ Modello del metabolismo 1!123456&2571885&718&219:;584!25&
del glucosio a digiuno 718&<8=>5!45&:&74<4=?5
+ '#(&+(07
Modello in stato stazionario (a digiuno) del glucosio k13 k31 •  In stato stazionario a digiuno il modello è ben descriDo da 3 pool con struDura mamillare *67%4),8$*4#.$,(#
&+(07%/*%
'#(&+(07%/*%
+ Modello i'#(&+(07%/*%
n stato stazionario 5%'#((%&40($*67%4),8$
(a digiuno) del glucosio ) *+,.&'&#/.&'("#)'-"#/'/0"$"1)# -.,/012
42+,12567-880,19,$,:00.,60+,587;88;79,/9
+ Modello in stato stazionario (a digiuno) del glucosio •  Esercizio: •  Veriﬁcare l’iden7ﬁcabilità a priori del modello –  Funzione di trasferimento –  Sommario esaus7vo –  Matrice della funzione di trasferimento + Modello in stato stazionario (a digiuno) del glucosio •  Modello non iden7ﬁcabile a priori –  Vincolo da conoscenze sul sistema tracciato –  “2”: tessu7 a scambio rapido (cervello, organi splancnici, rene) è tessu7 insulino-‐indipenden7 –  “3”: tessu7 a scambio lento (muscolo, tessuto adiposo) è tessu7 insulino-‐dipenden7 –  Stato basale: il consumo di glucosio dei tessu7 insulino-‐indipenden7 è 3 volte quello dei tessu7 insulino-‐dipenden7 è F02 = 3F03 + 012)3&/$&-"#+-%4)((&)%/
Equazioni del tracciato !"#$%&'$()*+,-*.*,/&,)%011&0()$,0,
+ Esperimento: bolo di tracciante a /&2&3(*,$,/3%0()$,&(43"&*($,/&,&("3.&(0
digiuno e durante infusione di insulina !"#"$%&'''''''''''''''''''''"%($)"%*
+ EﬀeDo dell’insulina sul metabolismo !44$))*,/$..5&("3.&(0,"3.,'$)0-*.&"'*,
del glucosio: mod. mamillare /$.,2.31*"&*+,'*/6,'0'&..0%$
!"#$%&"'()*'&+",)#-"."$/0"&"-1
+ Vincoli per l’iden7ﬁcabilità