Concetto di Probabilita’ Condizionata … Caso del lancio di 2 dadi, ciascuno con 6 facce: - Evento A = “fare 7” sommando i valori sulle 2 facce; - Nello spazio degli eventi ci sono in tutto 36 possibili esiti, tutti equiprobabili; - Tra i 36 possibili esiti solo 6 di questi esiti sono favorevoli al realizzarsi dell’evento A; p(evento A) = 6 / 36 = 1 / 6 17 % 1 1 + 6 2 + 5 3 + 4 4 + 3 5 + 2 6 + 1 2 … Concetto di Probabilita’ Condizionata … - Evento B = “avere almeno un 2” tra le 2 cifre lette sui 2 dadi; - Nello spazio degli eventi ci sono in tutto 36 possibili esiti, tutti equiprobabili; - Tra i 36 possibili esiti solo 11 di questi esiti sono favorevoli al realizzarsi dell’evento B; p(evento B) = 11 / 36 31 % 3 4 … Concetto di Probabilita’ Condizionata - p(A|B) = Probabilita’ dell’evento A condizionata dal fatto che si sia verificato l’evento B; … delle 11 possibilita’ per l’evento B (“avere almeno un 2”), solo 2 di queste (esito 25 ed esito 52) sono favorevoli all’evento A (“fare 7” con 2 dadi) p(A|B) = 2 / 11 18 % & p(AB) = 2 / 36 & p(B) = 11 / 36 p(AB) / p(B) = (2/36) / (11/36) = 2 / 11 = p(A|B) Definizione di probabilita’ condizionata p( A B) p( A | B) per l’evento A, p( B5) assumendo accaduto l’evento B: 6 7 Segue ... 8 ... Seguito ... Segue ... 9 ... Seguito ... 10 ESEMPIO Una fabbrica acquista dei pezzi prelavorati presso 3 aziende: A, B, C nelle percentuali del 20%, 30% e 50%; si conosce che la percentuale dei pezzi difettosi e’ rispettivamente: 3% da A, 4% da B e 2% da C. Evento E = {il pezzo è difettoso} p(E) Evento E1 = {il pezzo proviene dall’azienda A} p(E1) Evento E2 = {il pezzo proviene dall’azienda B} p(E2) Evento E3 = {il pezzo proviene dall’azienda C} p(E3) Calcolare la probabilità che trovando un pezzo difettoso, esso provenga dalla azienda A p(E1|E) “ “ “ B p(E2|E) “ “ “ C p(E3|E) … segue … 11 … seguito … 21.4% … segue … 12 … seguito 13 ESEMPIO … segue … 14 … seguito 15 Commento sul significato del Teorema di Bayes Dato un evento non si chiede la probabilità che si realizzi, ma si chiede la probabilità che una causa specifica generi questo evento: si parla di probabilità delle cause. Dato un evento E = “ho estratto una pallina rossa” R, qual’e’ la probabilita’ che questa provenga dall’urna A (Hp.1) oppure provenga dall’urna B (Hp.2)? P(causa=HP.2 | effetto=evento E) = ? P(causa=HP.1 | effetto=evento E) = ? 16 P(causa = HP.1 | effetto = evento E) = 54.5% P(causa = HP.2 | effetto = evento E) = 45.5% 17