Scheda di lavoro 12: Probabilità condizionata 1) Torniamo a considerare l’esito dell’incrocio di piante GV, descritto nella scheda n. 9 (prima legge di Mendel); completa la seguente tabella relativa alle probabilità di genotipi e di fenotipi: genotipi fenotipi P(GG)= P(fen=G)= probabilità P(GV)= P(fen=V)= P(VV)= Se prendi a caso una pianta a seme giallo, con quale probabilità è di genotipo GG?................................................................................................................... Il valore che hai calcolato prende il nome di probabilità condizionata, e vuol dire che stai calcolando la probabilità di un evento (in questo caso “genotipo GG”) sapendo qualcosa di esso (“il fenotipo è G”). Si indica con la seguente notazione: P(GG|fen=G)= probabilità dell'evento GG condizionata all'evento fen=G In generale P(A|C)= probabilità dell'evento A condizionata all'evento C 2) Consideriamo i seguenti esempi: a. un giocatore lancia due dadi e non vi fa vedere il risultato, • qual è la probabilità che si verifichi l’evento A: ”escono due 6” …………………. • qual è la probabilità che si verifichi l’evento B: ”la somma dei numeri usciti è 10” ……………… • qual è la probabilità che si verifichi l’evento C: ”esce almeno un 6”……………… b. Il giocatore lancia due dadi e non vi fa vedere il risultato, ma vi comunica che è uscito almeno un 6 (evento C dell’esempio precedente). Calcola quindi le probabilità che si verifichino gli eventi A e B condizionati all’evento C: • P(A|C)=………………… • P(B|C)=......................... • P(C|C)=......................... Prova a scrivere una formula generale che esprima P(A|C) in termini di P(A) e P(C): Vale questa formula per esprimere P(B|C) in termini di P(B) e P(C)? 3) Deduciamo la formula che esprime le probabilita' condizionate aiutandoci con dei diagrammi di Venn. Nel primo rappresentate schematicamente gli eventi A e C , nel secondo gli eventi B e C. U U Osserva che considerare la probabilità condizionata ad un evento C equivale a considerare C come un nuovo insieme universo, che infatti ha peso complessivo 1: P(C|C)=1. In particolare nel caso in cui A sia un sottoinsieme di C esprimi il “peso di A rispetto a quello di C”, che e' proprio il valore della probabilità condizionata: P(A|C)=....................................... Come si adatta questa formula al secondo caso in cui B non è sottoinsieme di C? P(B|C)=....................................... Quest’ultima formula è quella generale con cui si calcola la probabilità condizionata. Infatti puoi verificare che quella per P(A|C) è un caso particolare di quella per P(B|C). 4)Il paradosso dei due bambini che abbiamo illustrato nella scheda 5 consiste nella seguente domanda: “supponendo che una coppia che ha due figli abbia almeno un figlio maschio, con quale probabilità l'altro figlio è maschio?” Senza considerare l'ordine in cui nascono i figli, lo spazio degli eventi è MM, MF,FF; che probabilità hanno questi eventi? Evento Probabilità MM MF FF Formula la domanda (e la risposta) del paradosso in termini di probabilità condizionate: …............................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ...........................................................…………………………………………………………….. Supponete ora di incontrare con 1 figlio maschio una famiglia che sapete avere 2 figli. Cosa cambia nelle formule che hai scritto? ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. 5) Esercizio teorico. Considera due eventi A e B. Dalla formula delle probabilita' condizionate, puoi dedurre che P(A e B ) = P(A|B) P(B) e anche P(A e B) = P(B|A) P(A) Se A e B sono indipendenti, quanto valgono le probabilita' condizionate? P(A|B)= P(B|A) Utilizzando le formule nel box, ouoi verificare che se vale una di queste due uguaglianze allora gli eventi sono indipendenti; detto in parole, se A e B sono indipendenti, sapere che si e' verificato A non modifica la probabilita' che si verifichi B (e viceversa). 6) Nella scheda 4 abbiamo immaginato di estrarre due carte consecutivamente da un mazzo di 40 carte francesi (20 rosse e 20 nere). Rivisitiamo quell'esempio in termini di probabilita' condizionte. Indichiamo con I l'esito dell'estrazione della prima carta, e con II quello della seconda. Determina le seguenti probabilita': P(I=R)= P(I=N)= P(II=R|I=R)= P(II=R|I=N)= Prova a scrivere una formula che esprima la probabilita' che la seconda sia rossa, in termini delle 4 probabilita' che hai appena determinato. Ricorda che l'evento II=R e' l'unione di due eventi incompatibili: P(II=R) = P(I = R e II = R) + P(I = N e II = R), dunque P(II = R) = La formula che hai scritto e' un caso particolare della formula della probabilita' totale: se C1 C2 ... Cn sono eventi a due a due disgiunti la cui unione da' tutto lo spazio, allora P(A) = P(A|C1) P(C1) + P(A|C2) P(C2) + .... + P(A|Cn) P(Cn) Per aiutarti nella comprensione di questa formula, rappresenta il caso n=3 in diagramma di Venn, tenendo presente che P(A|C2) P(C2) vale proprio P(A e C2). U