Scheda di lavoro 12: Probabilità condizionata

Scheda di lavoro 12: Probabilità condizionata
1) Torniamo a considerare l’esito dell’incrocio di piante GV, descritto nella scheda n. 9
(prima legge di Mendel); completa la seguente tabella relativa alle probabilità di genotipi e
di fenotipi:
genotipi
fenotipi
P(GG)=
P(fen=G)=
probabilità
P(GV)=
P(fen=V)=
P(VV)=
Se prendi a caso una pianta a seme giallo, con quale probabilità è di genotipo
GG?...................................................................................................................
Il valore che hai calcolato prende il nome di probabilità condizionata, e vuol dire che stai
calcolando la probabilità di un evento (in questo caso “genotipo GG”) sapendo qualcosa di
esso (“il fenotipo è G”).
Si indica con la seguente notazione:
P(GG|fen=G)= probabilità dell'evento GG condizionata all'evento fen=G
In generale
P(A|C)= probabilità dell'evento A condizionata all'evento C
2) Consideriamo i seguenti esempi:
a. un giocatore lancia due dadi e non vi fa vedere il risultato,
• qual è la probabilità che si verifichi l’evento A: ”escono due 6” ………………….
• qual è la probabilità che si verifichi l’evento B: ”la somma dei numeri usciti è 10”
………………
• qual è la probabilità che si verifichi l’evento C: ”esce almeno un 6”………………
b. Il giocatore lancia due dadi e non vi fa vedere il risultato, ma vi comunica che è
uscito almeno un 6 (evento C dell’esempio precedente). Calcola quindi le
probabilità che si verifichino gli eventi A e B condizionati all’evento C:
• P(A|C)=…………………
• P(B|C)=.........................
• P(C|C)=.........................
Prova a scrivere una formula generale che esprima P(A|C) in termini di P(A) e P(C):
Vale questa formula per esprimere P(B|C) in termini di P(B) e P(C)?
3) Deduciamo la formula che esprime le probabilita' condizionate aiutandoci con dei
diagrammi di Venn. Nel primo rappresentate schematicamente gli eventi A e C , nel
secondo gli eventi B e C.
U
U
Osserva che considerare la probabilità condizionata ad un evento C equivale a
considerare C come un nuovo insieme universo, che infatti ha peso complessivo 1:
P(C|C)=1.
In particolare nel caso in cui A sia un sottoinsieme di C esprimi il “peso di A rispetto a
quello di C”, che e' proprio il valore della probabilità condizionata:
P(A|C)=.......................................
Come si adatta questa formula al secondo caso in cui B non è sottoinsieme di C?
P(B|C)=.......................................
Quest’ultima formula è quella generale con cui si calcola la probabilità condizionata. Infatti
puoi verificare che quella per P(A|C) è un caso particolare di quella per P(B|C).
4)Il paradosso dei due bambini che abbiamo illustrato nella scheda 5 consiste nella
seguente domanda:
“supponendo che una coppia che ha due figli abbia almeno un figlio maschio, con quale
probabilità l'altro figlio è maschio?”
Senza considerare l'ordine in cui nascono i figli, lo spazio degli eventi è MM, MF,FF; che
probabilità hanno questi eventi?
Evento
Probabilità
MM
MF
FF
Formula la domanda (e la risposta) del paradosso in termini di probabilità condizionate:
…............................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
...........................................................……………………………………………………………..
Supponete ora di incontrare con 1 figlio maschio una famiglia che sapete avere 2 figli.
Cosa cambia nelle formule che hai scritto?
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
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5) Esercizio teorico. Considera due eventi A e B. Dalla formula delle probabilita'
condizionate, puoi dedurre che
P(A e B ) = P(A|B) P(B)
e anche
P(A e B) = P(B|A) P(A)
Se A e B sono indipendenti, quanto valgono le probabilita' condizionate?
P(A|B)=
P(B|A)
Utilizzando le formule nel box, ouoi verificare che se vale una di queste due uguaglianze
allora gli eventi sono indipendenti; detto in parole, se A e B sono indipendenti, sapere che
si e' verificato A non modifica la probabilita' che si verifichi B (e viceversa).
6) Nella scheda 4 abbiamo immaginato di estrarre due carte consecutivamente da un
mazzo di 40 carte francesi (20 rosse e 20 nere). Rivisitiamo quell'esempio in termini di
probabilita' condizionte. Indichiamo con I l'esito dell'estrazione della prima carta, e con
II quello della seconda. Determina le seguenti probabilita':
P(I=R)=
P(I=N)=
P(II=R|I=R)=
P(II=R|I=N)=
Prova a scrivere una formula che esprima la probabilita' che la seconda sia rossa, in
termini delle 4 probabilita' che hai appena determinato. Ricorda che l'evento II=R e'
l'unione di due eventi incompatibili:
P(II=R) = P(I = R e II = R) + P(I = N e II = R),
dunque
P(II = R) =
La formula che hai scritto e' un caso particolare della formula della probabilita' totale:
se C1 C2 ... Cn sono eventi a due a due disgiunti la cui unione da' tutto lo spazio, allora
P(A) = P(A|C1) P(C1) + P(A|C2) P(C2) + .... + P(A|Cn) P(Cn)
Per aiutarti nella comprensione di questa formula, rappresenta il caso n=3 in diagramma di
Venn, tenendo presente che P(A|C2) P(C2) vale proprio P(A e C2).
U