Numeri complessi

Capitolo 3
Numeri complessi
3.1
Definizioni e proprietà
La comparsa dei numeri complessi è legata, da un punto di vista storico, alla risoluzione
delle equazioni di secondo grado. L’equazione
x 2 + 2px + q = 0
(3.1)
ammette le soluzioni
x = −p ±
p
p 2 − q,
(3.2)
da cui si deduce che, se il discriminante p 2 − q è negativo, la (3.1) non ha radici (reali).
Per tentare di avere sempre soluzioni (di qualche natura), si può ampliare il campo in cui si
definisce l’espressione (3.2), procedendo come segue. Si può, intanto, scrivere
p
√ p
x = −p ± (−1)(q − p 2 ) = −p ± −1 q − p 2
(3.3)
√
e, introducendo il simbolo i per rappresentare −1, si scrive infine
p
x = −p ± i q − p 2 .
p
p
I due numeri −p + i q − p 2 e −p − i q − p 2 (detti numeri complessi ) sono soluzioni
della (3.1). Infatti, operando con le ordinarie regole del calcolo algebrico (valide per i numeri
reali), si può verificare che essi soddisfano l’equazione.
Le precedenti considerazioni contengono gli elementi fondamentali per costruire la teoria
dei numeri complessi. Considerando infatti il simbolo α+iβ, si pone l’attenzione sulla coppia
ordinata di numeri reali α, β. Inoltre, nel definire le operazioni sui numeri complessi, si dovrà
garantire che siano conservate, finché possibile, tutte le proprietà formali delle operazioni sui
numeri reali. Basate su questi due criteri, vengono di seguito elencate le principali definizioni
della teoria dei numeri complessi.
Chiameremo numero complesso una coppia ordinata di numeri reali; adotteremo per esso
— in via provvisoria — il simbolo (a, b).
Una coppia del tipo (a, 0) sarà considerata identica al numero reale a e si scriverà
(a, 0) = a
(3.4)
In tal modo i numeri complessi comprenderanno, come caso particolare, i numeri reali. Dati
due numeri complessi (a, b), (c, d), essi si diranno uguali — e si scriverà (a, b) = (c, d) — se
sono verificate le due uguaglianze a = c e b = d.
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Capitolo 3. Numeri complessi
Dati due o più numeri complessi (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (an , bn ), chiameremo loro somma il
numero complesso (a1 + a2 + . . . + an , b1 + b2 + . . . + bn ) e si scriverà
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) + . . . + (an , bn ) = (a1 + a2 + . . . + an , b1 + b2 + . . . + bn )
(3.5)
Dati due numeri complessi (a, b), (c, d) chiameremo loro prodotto il numero complesso
(ac − bd, bc + ad) e si scriverà
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad).
(3.6)
(a, b) · (c, d) · (e, f ) = [(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = (ac − bd, bc + ad) · (e, f ).
(3.7)
Nel caso di tre fattori si ha:
e si procede analogamente nel caso di più fattori.
Le potenze di un numero complesso con esponente n, intero non negativo, si definiscono
come per i numeri reali
(a, b) 0 = 1,
(a, b) 1 = (a, b),
e, per n > 2, si definisce (a, b) n come il prodotto di n fattori uguali ad (a, b).
Sul prodotto tra numeri complessi vale poi il seguente risultato:
3.1.I Condizione necessaria e sufficiente affinché il prodotto di due o più numeri complessi
sia nullo è che uno almeno di essi sia uguale a zero.
La notazione più usata per rappresentare i numeri complessi è la a + ib; in base alle
definizioni poste essa acquista un significato preciso. Fra i numeri complessi fin qui definiti
c’è anche la coppia (0, 1); si conviene di indicare con la lettera i questo particolare numero
complesso, che si chiamerà unità immaginaria:
(0, 1) = i.
(3.8)
Dato allora un qualsiasi numero complesso (a, b), si può scrivere (a, b) = (a, 0)+(0, b); inoltre
si ha (0, 1) · (b, 0) = (0, b), cosicché risulta
(a, b) = (1, 0) · (a, 0) + (0, 1) · (b, 0)
ovvero
(a, b) = a + ib.
(3.9)
Usando la notazione a + ib, il termine a si chiama parte reale del numero complesso (a, b), il
termine ib si chiama parte immaginaria.
Come conseguenza della notazione (3.9), l’uguaglianza di due numeri complessi a + ib =
c + id significa l’uguaglianza delle parti reali (a = c) e quella dei coefficienti dell’unità
immaginaria (b = d). Per la somma dei numeri complessi si può scrivere, in luogo della (3.5):
(a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) + . . . + (an + ibn ) = (a1 + a2 + . . . + an ) + i(b1 + b2 + . . . + bn ).
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3.1. Definizioni e proprietà
Per quanto riguarda il prodotto, si osserva innanzitutto che dalla (3.6) segue
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1;
(3.10)
dopo ciò la regola per il prodotto si ricorda facilmente osservando che ad essa si perviene
mediante i seguenti passaggi:
(a + ib) · (c + id) = ac + ibc + iad + i 2 bd = (ac − bd) + i(bc + ad).
Osserviamo che risulta
i 0 = 1,
i 1 = i,
i 2 = −1,
i 3 = −i,
i 4 = 1,
i 5 = i, . . .
ossia che le potenze di i si riproducono periodicamente di quattro in quattro.
Per la sottrazione e la divisione fra numeri complessi si adottano le stesse definizioni che
valgono per i numeri reali.
Dati due numeri complessi z1 = a+ib, z2 = c+id, esiste uno ed un solo numero complesso
z tale che z2 + z = z1 ; si tratta, evidentemente, del numero z = (a − c) + i(b − d), e si chiama
la differenza dei numeri complessi z1 , z2 e si scrive z = z1 − z2 . Si ha dunque
z1 − z2 = (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
Prima di trattare della divisione è bene trattare il concetto di numeri coniugati. I due
numeri complessi a + ib, a − ib si dicono coniugati; se uno di essi viene indicato con z, l’altro
si indicherà con z̄. Si vede che il coniugato di un numero reale è il numero stesso e che,
viceversa, se un numero complesso z è uguale al suo coniugato z̄, allora z è necessariamente
reale.
Osserviamo che, se z = a + ib, si ha
z − z̄ = 2ib.
z + z̄ = 2a,
Sussiste inoltre la relazione
z z̄ = a 2 + b 2 ,
ove il numero reale non negativo nel secondo membro si chiama la norma del numero
complesso a + ib.
Per definire la divisione fra numeri complessi, osserviamo che, dati due numeri complessi
z1 = a + ib, z2 = c + id, di cui il secondo diverso da zero, esiste uno ed un solo numero
complesso z = x + iy tale che z2 z = z1 . Infatti quest’ultima relazione equivale alla (c +
id)(x + iy) = a + ib, ossia alle cx − dy = a, dx + cy = b. Moltiplicando la prima per c, la
seconda per d e sommando, si trovano le (c 2 + d 2 )x = ac + bd, (c 2 + d 2 )y = bc − ad. Essendo
per ipotesi z2 6= 0, la norma c 2 + d 2 non è nulla, onde deve necessariamente essere
x=
ac + bd
,
c2 + d2
y=
15
bc − ad
c2 + d2
(3.11)
Capitolo 3. Numeri complessi
ossia
z=
ac + bd
bc − ad
+i 2
2
2
c +d
c + d2
Il numero complesso z si chiama il quoziente dei due numeri complessi z1 , z2 (con z2 6= 0)
e si indica con z1 /z2 . Per il suo calcolo non si segue in pratica il metodo precedente, ma si
approfitta delle due osservazioni seguenti:
1. se z2 è reale (z2 = c) si ha
z1
a + ib
a ib
=
= +
z2
c
c
c
come subito si ricava dalle (3.11);
2. comunque si scelga il numero complesso w 6= 0, si può scrivere
z w
z1
= 1 ;
z2
z2 w
infatti, posto z1 /z2 = z, si ha (z2 w)z = (z2 z)w = z1 w.
Tenuto conto di ciò, per calcolare rapidamente z1 /z2 , basta moltiplicare numeratore
e denominatore per il numero coniugato del denominatore, cioè considerare il quoziente
z1 z¯2 /z2 z¯2 il cui denominatore è reale (è la norma di z2 ), e poi applicare la prima osservazione.
In altri termini, si procede cosı̀:
a + ib
(a + ib)(c − id)
(ac + bd) + i(bc − ad)
ac + bd
bc − ad
=
=
= 2
+i 2
.
2
2
2
c + id
(c + id)(c − id)
c +d
c +d
c + d2
Definita la divisione si può parlare del numero reciproco o inverso di un dato numero
complesso z = a + ib 6= 0; si tratta del numero
1
a − ib
a
b
1
=
= 2
= 2
−i 2
.
z
a + ib
a + b2
a + b2
a + b2
Si può anche definire la potenza di z 6= 0 con esponente intero negativo −n, mediante la
stessa formula che si pone nel campo reale, e cioè
z −n =
3.2
1
.
zn
Rappresentazione geometrica di numeri complessi
Come i numeri reali si possono rappresentare con i punti di una retta sulla quale si sia stabilito
un sistema di ascisse, cosı̀ i numeri complessi si possono rappresentare con i punti di un
piano nel quale si sia fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali: basta far corrispondere
16
3.2. Rappresentazione geometrica di numeri complessi
al numero complesso z = a + ib il punto A di ascissa a e ordinata b e viceversa. Tale punto
si chiama l’immagine del numero complesso z, e spesso semplicemente il punto z.
In questa rappresentazione, ai numeri reali corrispondono i punti dell’asse delle ascisse
(che si chiama perciò asse reale), mentre ai numeri immaginari corrispondono i punti dell’asse
delle ordinate (che si chiama perciò asse immaginario).
Assieme alle coordinate cartesiane (a, b) del punto A, si considerano anche le coordinate
polari — riferite al polo O e all’asse polare x — cioè il raggio vettore ρ > 0 espresso dalla
p
(3.12)
ρ = a2 + b2
e, supponendo A 6= O, l’anomalia ϕ definita (a meno di multipli di 2π) dalle
cos ϕ =
a
a
,
=√
2
ρ
a + b2
sin ϕ =
b
b
.
=√
2
ρ
a + b2
(3.13)
Si chiamano modulo ed argomento del numero complesso z = a + ib rispettivamente il
raggio ρ e l’anomalia ϕ della sua immagine A.
Il modulo ρ si indica anche con |z| ed è uguale alla radice quadrata della norma di z.
Questa può quindi indicarsi con |z| 2 , oltre che con z z̄.
L’argomento ϕ — definito solo se z 6= 0 — si indica anche con Arg z; esso può assumere
infiniti valori i quali, una volta determinatone uno, ϕ0 , sono tutti forniti dalla formula
ϕ0 + 2kπ, con k intero (positivo, negativo o nullo).
Poiché dalla (3.13) segue
a = ρ cos ϕ,
b = ρ sin ϕ,
si può scrivere
a + ib = ρ cos ϕ + iρ sin ϕ = ρ(cos ϕ + i sin ϕ),
che rappresenta la forma trigonometrica del numero complesso a + ib, supposto non nullo.
Viceversa, data un’espressione del tipo ρ(cos ϕ + i sin ϕ) con ρ > 0, essa fornisce un numero
complesso, non nullo, di cui ρ è il modulo e ϕ è uno dei valori dell’argomento.
La rappresentazione dei numeri complessi in termini di modulo e argomento risulta particolarmente utile per eseguire le operazioni di moltiplicazione e di divisione, come sintetizzato
dai seguenti risultati.
3.2.I Il modulo del prodotto di due o più numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli
dei numeri dati; inoltre, se tale prodotto non è nullo, il suo argomento è uguale alla somma
degli argomenti dei numeri dati.
3.2.II Il modulo del quoziente di due numeri complessi z1 , z2 (con z2 6= 0) è uguale al
quoziente dei moduli dei numeri dati; inoltre, se tale quoziente non è nullo, il suo argomento
è uguale alla differenza degli argomenti dei numeri dati.
17
Capitolo 3. Numeri complessi
Applicando il (3.2.I) al calcolo del prodotto di n fattori uguali al numero complesso
z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), si ottiene la importante formula di Moivre:
[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)] n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ)
(3.14)
ove n è un numero intero (positivo, negativo o nullo).
3.3
Radici di numeri complessi
Dati un numero complesso z ed un numero intero positivo n, si chiamerà radice n-esima di
z ogni numero complesso w tale da aversi
w n = z.
(3.15)
Se z = 0 si ha necessariamente w = 0, se z 6= 0 sarà w 6= 0; si possono allora considerare
le forme trigonometriche
z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ),
w = σ(cos θ + i sin θ),
ove ρ, ϕ sono numeri noti, mentre σ, θ sono incogniti. Per la formula di Moivre la (3.15)
diventa
σ n (cos nθ + i sin nθ) = ρ(cos ϕ + i sin ϕ).
Affinché si verifichi questa uguaglianza occorre e basta che i due numeri complessi abbiano
lo stesso modulo ed i loro argomenti differiscano per multipli di 2π, vale a dire σ n = ρ,
nθ = ϕ + 2kπ (con k intero) e quindi
√
σ = | n ρ|,
θ=
ϕ + 2kπ
,
n
√
ove il simbolo | n ρ| indica la radice n-esima aritmetica del numero reale e positivo ρ.
Dunque, le possibili radici n-esime w del numero complesso z, di modulo ρ e argomento
ϕ, sono tutte comprese nella formula
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
√
n
w = | ρ| cos
+ i sin
(3.16)
n
n
ove k è un arbitrario numero intero (positivo, negativo o nullo).
Se nella (3.16) si pone successivamente
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
(3.17)
per due qualsiasi di questi valori non si verifica che la loro differenza sia multipla di n e
perciò essi danno luogo a n valori distinti per w. Qualunque altro valore di k si consideri,
esso differirà per un multiplo di n da uno (e da uno solo) dei valori (3.17) e quindi farà
ritrovare per w uno degli n valori già considerati. Vale quindi il seguente risultato:
18
3.3. Radici di numeri complessi
3.3.I Ogni numero complesso non nullo z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) ammette n e solo n radici
n-esime, le quali sono date dalla formula
√
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
√
n
n
z = | ρ| cos
+ i sin
(3.18)
n
n
nella quale si ponga successivamente k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
√
Poiché gli n numeri forniti dalla (3.18) hanno tutti lo stesso modulo | n ρ|, le loro immagini
√
stanno tutte su una stessa circonferenza col centro nell’origine e raggio | n ρ|, e poiché i loro
argomenti sono
ϕ ϕ 2π ϕ
2π
ϕ
2π
, +
, + 2 , . . . , + (n − 1) ,
n n
n n
n
n
n
è evidente che, se n > 2, dette immagini si dispongono secondo i vertici di un n-agono
regolare inscritto in tale circonferenza.
Nel caso particolare z = 1 (ρ = 1, ϕ = 0) la (3.18) fornisce
√
2kπ
2kπ
n
1 = cos
+ i sin
,
(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).
n
n
(3.19)
Queste radici n-esime dell’unità permettono di scrivere la (3.18) sotto altra forma. Se nella (3.18) si attribuisce a k un qualsiasi particolare valore (intero) k ∗ , si ottiene una particolare
radice n-esima di z, che si designerà con w ∗ . Posto dunque
ϕ + 2k ∗ π
ϕ + 2k ∗ π
√
∗
n
w = | ρ| cos
+ i sin
n
n
se si moltiplica questo numero w ∗ successivamente per le n radici n-esime dell’unità fornite
dalla (3.19), si ottengono gli n numeri
ϕ + 2(k ∗ + k)π
ϕ + 2(k ∗ + k)π
√
n
w = | ρ| cos
+ i sin
n
n
i quali coincidono con le n radici n-esime del numero z. Si può dunque scrivere in luogo della
(3.18):
√
√
n
n
z = w∗ · 1
ed enunciare il seguente risultato:
3.3.II Per calcolare le n radici n-esime di un numero complesso, basta calcolarne una; si
ottengono poi tutte moltiplicando questa per le n radici n-esime dell’unità.
Possiamo ora definire la potenza di un numero complesso con esponente razionale. Detti
m, n due interi positivi, che supporremo primi fra loro, si pone come nel caso dei numeri
reali
√
z m/n = n z m ,
z −(m/n) =
1
z m/n
1
= √
n
zm
19
(per z 6= 0);
Capitolo 3. Numeri complessi
è inteso che queste operazioni non danno un risultato unico, ma ne danno n.
Anche per queste potenze con esponente razionale vale la formula di Moivre:
p
[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)] m/n = n ρ m (cos mϕ + i sin mϕ)
ossia
mϕ + 2kπ
mϕ + 2kπ
+ i sin
,
[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)] m/n = ρ m/n cos
n
n
(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).
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