I sistemi lineari I sistemi lineari di n equazioni in n incognite • I sistemi lineari di n equazioni in n incognite, sono formati da equazioni di primo grado, in cui le incognite hanno tutte esponente uguale ad uno e il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite Un sistema può essere… • determinato : esiste una sola n-pla di soluzioni • impossibile: non esiste alcuna n-pla di numeri reali che sia soluzione del sistema • indeterminato: ammettono infinite n-ple di soluzioni N.B. : se un sistema e' indeterminato non significa che qualunque coppia di numeri reali sia soluzione ma solo che esistono INFINITE coppie di numeri reali che sono soluzione. Teorema (Cramer) Si consideri il sistema Ax = b , con A matrice quadrata di ordine n e invertibile, cioè detA ≠ 0 . Il sistema ha una ed una sola soluzione x=(x1 ,x2 ,..., xi ,..., xn ) con essendo Ai la matrice ottenuta da A sostituendo la colonna i-ma con il vettore dei termini noti. Schema per un sistema di 3 equazioni con 3 incognite a1,1 x + a1, 2 y + a1,3 z = b1 a 2,1 x + a 2, 2 y + a 2,3 z = b2 a x + a y + a z = b 3, 2 3, 3 3 3,1 x,y,z sono le incognite del sistema ai,j sono i coefficienti del sistema bi sono i termini noti del sistema Passaggio 1: creo la matrice dei coefficienti, ne calcolo il determinante D • Passaggio 2: creo la matrice ottenuta dalla precedente sostituendo alla prima colonna, i termini noti del sistema ne calcolo il determinante Dx •Passaggio 3: creo la matrice ottenuta dalla precedente sostituendo alla seconda colonna, i termini noti del sistema ne calcolo il determinante Dy • Passaggio 4: creo la matrice ottenuta dalla precedente sostituendo alla terza colonna, i termini noti del sistema ne calcolo il determinante Dz Passaggio 5: SE D E' NON NULLO ALLORA IL SISTEMA E' DETERMINATO x = Dx / D y= Dy / D z= Dz / D Esempio 1 Esempio 2 Passaggio 1: creo la matrice A dei coefficienti Passaggio 2: Calcolo detA: STOP perché in questo caso è 0 Se la matrice dei coefficienti è singolare? Se il numero di equazioni è diverso da quello delle incognite? TEOREMA DI ROUCHÈCAPELLI Rango di una matrice • “Il rango di una matrice il massimo ordine delle sottomatrici di A a determinante non nullo” • Il rango rappresenta il numero di righe (colonne) linearmente indipendenti. • “Il rango di una matrice è il massimo ordine dei suoi minori non nulli” LE MATRICI:il rango • Si consideri la matrice 2 − 1 1 il suo rango è 2. A = 6 − 2 3 4 − 1 2 Infatti la seconda riga è la somma della prima e della terza 1 −2 0 0 2 −4 0 3 B = • Si consideri la matrice il rango è 3. − 2 + 4 1 −1 • Infatti esiste la sottomatrice di ordine 3 ottenuta eliminando la prima colonna che ha il det diverso da 0 12 Come si calcola il rango di una matrice? • Teorema di Kronecker: Se una matrice Am,n possiede un minore M non nullo di ordine k, e se sono nulli tutti i minori di ordine k+1 ottenuti aggiungendo ad M una riga e una colonna qualsiasi di Am,n, allora il rango della matrice è uguale a k. Teorema di Kronecker • Se un minore di ordine r di una matrice A è diverso da 0,mentre sono nulli TUTTI i minori di ordine r+l che si ottiene orlando il minore di partenza, allora R(A) = r Calcolare il rango della matrice B B= Considero le sottomatrici det B2=0 det B1=0 r(B)=2. I sistemi lineari Sistemi Lineari matrice dei coefficienti Ax = b A ∈ R m× n x∈Rn matrice dei termine noti b∈Rm Teorema di Rouchè-Capelli – rango(A) = rango(A|b) <=> il sistema è risolubile – rango(A) = rango(A|b) = n => unica soluzione – rango(A) = rango(A|b) = p < n => ∞n-p soluzioni A quadrata singolare 3 4 − 1 14 A = 5 2 3 b = 14 A ∈ R 3×3 b ∈ R 3 0 1 − 1 2 per vedere se il sistema è det A = 0 A = [3 4 -1; 5 2 3; 0 1 -1]; b = [14 14 2]’; rank(A) rank([A b]) rref([A b]) risolubile confrontiamo il rango di A con quello della matrice completa (A|b) 3 4 − 1 14 1 0 1 2 5 2 3 14 → 0 1 − 1 2 0 0 0 0 0 1 −1 2 ( x, y , z ) = ( 2 − z , 2 + z , z ) questo sistema è risolubile in quanto rango(A)=rango(A|b)=2 => ∞ soluzioni Risoluzione Passaggio 1: creo la matrice dei coefficienti Risoluzione Passaggio 1: individuo matrice dei coefficienti,vettore delle incognite e vettore dei termini noti Ax=b Schema per risolvere un sistema • Passaggio 1: creo la matrice dei coefficienti • Passaggio 2: creo la matrice completa • Passaggio 3: calcolo il rango della matrice dei coefficienti • Passaggio 4: calcolo il rango della matrice completa • Passaggio 5: confronto i ranghi Schema per risolvere un sistema • Passaggio 6: stabilisco in base al teorema di Rouchè –Capelli se il sistema è indeterminato, determinato o impossibile • Passaggio 7: scrivo e risolvo il sistema equivalente Esempio PASSAGGIO 1: creo la matrice A dei coefficienti PASSAGGIO 2: creo la matrice B completa B= PASSAGGIO 3 :calcolo il rango della matrice A Poichè A è una matrice 3x3, si ha r(a)≤3. Per verificare se r(A) è uguale o minore di 3 occorre calcolare il determinante di A; risulta det(A)=0 e quindi r(A)<3. Per poter affermare che r(A)=2 occorre individuare una sottomatrice di ordine 2 di A avente determinante non nullo. Una tale sottomatrice è Passaggio 4: calcolo rango di B Ovviamente essendo A2 sottomatrice di B si ha r(B) maggiore o uguale 2. Si deve quindi verificare se può essere r(B)=3. Applicando la regola di Kronecker si deve calcolare soltanto il determinante della sottomatrice Risulta detB1=0 e quindi r(B)=2. Il sistema ammette quindi Scrivo il sistema equivalente Le soluzioni del sistema sono tutte le terne del tipo (2+z,4-z,z), zÎ Â. Esempio parametrico Considero matrice dei coefficienti e calcolo il rango al variare di K A= Risulta det(A)=0 se e solo se k=1, k=-2, si ha r(A)=3 per k≠1 ,-2 ed r(A)<3 per k=1 e k=-2. Considero il rango della matrice completa B r(B)=r(A)=3 Ho una sola soluzione che posso determinare con teorema di Cramer Soluzioni se x Z y Se k=1 A= Rg(A)=1 Se k=1 B= Rg(B)=1 Il sistema ammette infinite soluzioni che sono le soluzioni dell'equazione Se k=-2 B= Il sistema è impossibile