lezione 1-2 i sistemi lineari [modalità compatibilità]

I sistemi lineari
I sistemi lineari di n equazioni in
n incognite
• I sistemi lineari di n equazioni in n
incognite, sono formati da equazioni di
primo grado, in cui le incognite hanno tutte
esponente uguale ad uno e il numero delle
equazioni è uguale al numero delle
incognite
Un sistema può essere…
• determinato : esiste una sola n-pla di
soluzioni
• impossibile: non esiste alcuna n-pla di
numeri reali che sia soluzione del sistema
• indeterminato: ammettono infinite n-ple di
soluzioni
N.B. : se un sistema e' indeterminato non
significa che qualunque coppia di numeri
reali sia soluzione ma solo che esistono
INFINITE coppie di numeri reali che sono
soluzione.
Teorema (Cramer)
Si consideri il sistema Ax = b , con A matrice
quadrata di ordine n e invertibile, cioè detA
≠ 0 . Il sistema ha una ed una sola soluzione
x=(x1 ,x2 ,..., xi ,..., xn ) con
essendo Ai la matrice ottenuta da A
sostituendo la colonna i-ma con il vettore
dei termini noti.
Schema per un sistema di 3
equazioni con 3 incognite
a1,1 x + a1, 2 y + a1,3 z = b1

a 2,1 x + a 2, 2 y + a 2,3 z = b2
a x + a y + a z = b
3, 2
3, 3
3
 3,1
x,y,z sono le incognite del sistema
ai,j sono i coefficienti del sistema
bi sono i termini noti del sistema
Passaggio 1: creo la matrice dei
coefficienti, ne calcolo il determinante D
• Passaggio 2: creo la matrice ottenuta dalla
precedente sostituendo alla prima
colonna, i termini noti del sistema ne
calcolo il determinante Dx
•Passaggio 3: creo la matrice ottenuta dalla
precedente sostituendo alla seconda
colonna, i termini noti del sistema ne calcolo
il determinante Dy
• Passaggio 4: creo la matrice ottenuta dalla
precedente sostituendo alla terza colonna,
i termini noti del sistema ne calcolo il
determinante Dz
Passaggio 5: SE D E' NON NULLO ALLORA
IL SISTEMA E' DETERMINATO
x = Dx / D
y= Dy / D
z= Dz / D
Esempio 1
Esempio 2
Passaggio 1: creo la matrice A dei coefficienti
Passaggio 2: Calcolo detA: STOP perché in
questo caso è 0
Se la matrice dei coefficienti è
singolare?
Se il numero di equazioni è diverso
da quello delle incognite?
TEOREMA DI ROUCHÈCAPELLI
Rango di una matrice
• “Il rango di una matrice il massimo ordine
delle sottomatrici di A a determinante non
nullo”
• Il rango rappresenta il numero di righe
(colonne) linearmente indipendenti.
• “Il rango di una matrice è il massimo
ordine dei suoi minori non nulli”
LE MATRICI:il rango
• Si consideri la matrice
2 − 1 1 il suo rango è 2.
A = 6 − 2 3
4 − 1 2
Infatti la seconda riga è la somma della prima e della terza
 1 −2 0 0 
 2 −4 0 3 
B
=
• Si consideri la matrice

il rango è 3.
− 2 + 4 1 −1
• Infatti esiste la sottomatrice di ordine 3 ottenuta
eliminando la prima colonna che ha il det diverso da 0
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Come si calcola il rango di una
matrice?
• Teorema di Kronecker:
Se una matrice Am,n possiede un minore M
non nullo di ordine k, e se sono nulli tutti i
minori di ordine k+1 ottenuti aggiungendo
ad M una riga e una colonna qualsiasi di
Am,n, allora il rango della matrice è uguale
a k.
Teorema di Kronecker
• Se un minore di ordine r di una matrice A
è diverso da 0,mentre sono nulli TUTTI i
minori di ordine r+l che si ottiene orlando il
minore di partenza, allora R(A) = r
Calcolare il rango della matrice B
B=
Considero le sottomatrici
det B2=0
det B1=0
r(B)=2.
I sistemi lineari
Sistemi Lineari
matrice dei
coefficienti
Ax = b
A ∈ R m× n
x∈Rn
matrice dei
termine noti
b∈Rm
Teorema di Rouchè-Capelli
– rango(A) = rango(A|b) <=> il sistema è
risolubile
– rango(A) = rango(A|b) = n
=> unica
soluzione
– rango(A) = rango(A|b) = p < n => ∞n-p
soluzioni
A quadrata singolare
 3 4 − 1
14 


 
A =  5 2 3  b = 14  A ∈ R 3×3 b ∈ R 3
 0 1 − 1
2


 
per vedere se il sistema è
det A = 0
A = [3 4 -1; 5 2 3; 0 1 -1];
b = [14 14 2]’;
rank(A)
rank([A b])
rref([A b])
risolubile confrontiamo il
rango di A con quello della
matrice completa (A|b)
 3 4 − 1 14 
1 0 1 2




 5 2 3 14  →  0 1 − 1 2 
0 0 0 0
 0 1 −1 2 




( x, y , z ) = ( 2 − z , 2 + z , z )
questo sistema è risolubile in quanto
rango(A)=rango(A|b)=2 => ∞ soluzioni
Risoluzione
Passaggio 1: creo la matrice dei
coefficienti
Risoluzione
Passaggio 1: individuo matrice dei
coefficienti,vettore delle incognite
e vettore dei termini noti
Ax=b
Schema per risolvere un
sistema
• Passaggio 1: creo la matrice dei
coefficienti
• Passaggio 2: creo la matrice completa
• Passaggio 3: calcolo il rango della matrice
dei coefficienti
• Passaggio 4: calcolo il rango della matrice
completa
• Passaggio 5: confronto i ranghi
Schema per risolvere un
sistema
• Passaggio 6: stabilisco in base al teorema
di Rouchè –Capelli se il sistema è
indeterminato, determinato o impossibile
• Passaggio 7: scrivo e risolvo il sistema
equivalente
Esempio
PASSAGGIO 1: creo la matrice A dei
coefficienti
PASSAGGIO 2: creo la matrice B completa
B=
PASSAGGIO 3 :calcolo il rango della
matrice A
Poichè A è una matrice 3x3, si ha r(a)≤3.
Per verificare se r(A) è uguale o minore di 3
occorre calcolare il determinante di A; risulta
det(A)=0 e quindi r(A)<3. Per poter affermare
che r(A)=2 occorre individuare una
sottomatrice di ordine 2 di A avente
determinante non nullo. Una tale
sottomatrice è
Passaggio 4: calcolo rango di B
Ovviamente essendo A2 sottomatrice di B si
ha r(B) maggiore o uguale 2. Si deve quindi
verificare se può essere r(B)=3.
Applicando la regola di Kronecker si deve
calcolare soltanto il determinante della
sottomatrice
Risulta detB1=0 e quindi r(B)=2. Il sistema ammette
quindi
Scrivo il sistema equivalente
Le soluzioni del sistema sono tutte le terne del tipo
(2+z,4-z,z), zÎ Â.
Esempio parametrico
Considero matrice dei
coefficienti e calcolo il rango al
variare di K
A=
Risulta det(A)=0 se e solo se k=1,
k=-2, si ha r(A)=3 per k≠1 ,-2 ed
r(A)<3 per k=1 e k=-2.
Considero il rango della matrice
completa B
r(B)=r(A)=3
Ho una sola soluzione
che posso determinare
con teorema di Cramer
Soluzioni se
x
Z
y
Se k=1
A=
Rg(A)=1
Se k=1
B=
Rg(B)=1
Il sistema ammette infinite
soluzioni che sono le soluzioni
dell'equazione
Se k=-2
B=
Il sistema è
impossibile