Soluzioni e righe di un sistema
06/10
Riassunto
Dato un sistema AX = B con A ∈ Rm,n , X ∈ Rn,1 , i teoremi
di Rouché–Capelli spiegano che è consistente se e solo se
r (A) = r ( A | B). In questo caso le soluzioni dipendono da
ℓ = n − r parametri liberi, dove r è il rango che conta il
numero effettivo delle equazioni.
Esistono vettori colonna v1, · · · , vℓ , soluzioni del sistema
AX = 0 tali che la soluzione generale del sistema AX = B
abbia la forma
X = Xp + t1 v 1 + · · · + tℓ v ℓ
con Xp una soluzione particolare (a scelta) e t1, . . . , tℓ i
parametri liberi.
Esempio di una matrice
−2 −1 0
A= 2 3 4
6 7 8
di rango 2:
1
1
5 ∼ 0
9
0
0 −1 −2
1 2 3
0 0 0
Le tre righe di A non sono indipendenti: c’è una relazione
r3 − 2r2 + r1 = 0 che ci permette di trovare la riga nulla a
destra facendo operazioni sulle righe. Invece, i numeri a
destra determinano delle relazioni sulle colonne di A. . .
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Altri appunti della lezione
Un po’ di logica. Siano x, y ∈ R (non matrici!). Entrambe le
seguenti affermazioni sono vere:
xy 6= 0
=⇒
x 6= 0
xy 6= 0
⇐⇒
x 6= 0 e y 6= 0
Cominciamo con il primo simbolo =⇒ che sta per implica.
Scrivere P =⇒ Q vuol dire se vale P per forza vale Q, oppure
(con parole meno precise) vale P SOLO SE vale Q.
Scrivere P ⇐= Q è un altro modo di scrivere Q =⇒ P , ma
vuol dire anche vale P SE vale Q. Quindi
P ⇐⇒ Q
sta per
P ⇐= Q
e
P =⇒ Q,
oppure, detto in parole,
vale P SE e SOLO SE vale Q
Una proposizione più complicata:
Una matrice A ∈ Rn,n è invertibile se e solo se
AX = 0, X ∈ Rn,1
=⇒ X = 0
Vedremo dopo che è vera!
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Per risolvere l’equazione matriciale
AX = B , A ∈ Rm,n , X ∈ Rn,1 , B ∈ Rm,1 ,
bisogna ridurre ( A | B) e contare le righe non-nulle.
Si applicono poi i teoremi di Rouché–Capelli:
RC 1 Se r (A) < r ( A | B) non ci sono soluzioni.
RC 2 Se r (A) = r ( A | B) = r esistono ∞ℓ soluzioni dove
ℓ = n − r (= numero dei parametri ℓiberi).
Osservazioni:
• Il rango è uguale al numero degli indicatori, quindi in RC1,
r ( A | B) = r (A) + 1.
• Se B = 0 vale per forza RC2. Se n = r , vale per forza RC2
e esiste un’unica soluzione (X = 0 se B = 0).
• In RC2, r è il numero effettivo delle equazioni, che può
essere minore del numero m di equazioni che si vedono.
Esempio ovvio con m = 2 ma r = 1 e ℓ = 2:
(
x + y + z = 1,
2x + 2y + 2z = 2.
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Si considerino:
• il sistema non-omogeneo AX = B
• il sistema omogeneo associato AY = 0
(NH)
(H)
Supponiamo che AX = B e AY = 0. Allora
A(X + Y ) = B + 0 = B,
e X + Y è un’altra soluzione di (NH).
Viceversa, trovata in qualche modo una soluzione particolare Xp di (NH), basta risolvere il sistema (H) per elencare tutte
le soluzioni di (NH).
Segue (dal metodo di Gauss–Jordan con matrice totalmente
ridotta) che esistono vettori colonna v1 , . . . , vℓ tale che la
soluzione generale di (NH) è
X = Xp + t1 v1 + · · · + tℓ vℓ
con t1 , . . . , tℓ parametri liberi.
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