SIMULAZIONE DELLA PRIMA PROVA PARZIALE DI MATEMATICA GENERALE CLEA- MATRICOLE PARI- PROF. GIORGIO BOLONDI AVVERTENZE Nelle domande a risposta chiusa una risposta sbagliata conta in negativo, in modo da azzerare l’effetto di risposte date a casaccio. Provate a svolgere questa prova simulando le condizioni del compito: 2 ore, libri, appunti e calcolatrici (non programmabili) a disposizione. Controllate le risposte soltanto alla fine. Dopo aver svolto la prova, cercate nel testo e negli appunti gli argomenti relativi alle domande che avete sbagliato, ponendo molta attenzione alle definizioni corrette e agli enunciati esatti dei teoremi. 1 0 0 1) L’inversa della matrice 3 2 1 è 5 3 2 a) la matrice non è invertibile 1 0 0 b) -1 2 -1 -1 -3 2 1 0 0 c) -1 2 -1 4 -3 2 1 0 0 d) 2 2 -1 -1 3 2 2 3 2) Gli autovalori della matrice 0 6 sono a) 2 e 3 b) 2 e 6 c) 0 e 3 d) 2, 3 e 6 3) Ad una gara partecipano 24 concorrenti. Quanti podi diversi sono possibili (cioè, quanti diverse possibilità ci sono per il podio) ? a) 552 b) 24! c) 12144 d) 69 4) Un sistema di 4 equazioni in 3 incognite a) ammette sempre soluzione b) non ammette mai soluzione c) può avere soluzioni solo se il determinante della matrice completa è uguale a zero d) può avere soluzioni solo se il determinante della matrice completa è diverso da zero 5) a) b) c) Sia z = (1-3i)[-1 + 7i]. Allora |z| = 500 500 30 d) 50 y+z=0 6) Il sistema y + 2z= 0 x + y + z = 0 a) è impossibile b) ha infinite soluzioni c) ha solo la soluzione banale d) ha soluzioni non banali 1 1 2 1 1 7) 0 1 0 0 1 = 2 1 a) non si può eseguire 4 4 0 b) 0 1 1 0 1 4 4 4 c) 0 1 0 1 d) ) 4 4 8) Quale tra questi numeri è il più grande a) (100)! b) 1002 c) 2100 d) 450 9) Quanti ambi sono possibili con i 90 numeri del lotto? a) 8100 b) 4005 c) 4050 d) 179 Esercizi da svolgere. 1) Trovare per quali valori di α il sistema ha una e una sola soluzione, per quali non ne ha e per quali ne ha infinite (e da quanti parametri dipendono). x - 2y +3z = 1 3x + y +2z = 1 α2z=α α-1 -x-5y +α 2) Risolvere (in C) l’equazione z3 + 64i = 0 e disegnare le soluzioni nel piano complesso. SOLUZIONI 1 b 2 b 3 c 4 c 5 a 6 c 7 c 8 a 9 b Esercizio 1 Il determinante della matrice incompleta (la matrice dei coefficienti) è uguale a zero se α = 2 o se α = -2. Dunque se α è diverso da 2 o -2, il rango della matrice incompleta è 3 e quindi anche il rango della matrice completa è 3. Per il teorema di Rouché-Capelli, in questo caso il sistema ha una e una sola soluzione. Restano da discutere i casi α = 2 e α = -2. Se α = 2, sia la matrice completa che quella incompleta hanno rango 2, quindi per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha infinite soluzioni, che dipendono da 3-2= 1 parametro. Se α = -2 la matrice completa ha rango 3 mentre quella incompleta ha rango 2, quindi il sistema non ha soluzioni. Esercizio 2. L’equazione si può scrivere z3 = -64i e quindi bisogna calcolare le radici terze (complesse) del numero w = -64i. L’argomento di w è (3/2)π, il suo modulo è 64, e quindi le tre radici sono date da: z0 = 4(cos(π/2) + isen(π/2)) = 4i z1 = 4(cos(7/6)π + isen(7/6)π) z2 = 4(cos(11/6)π + isen(11/6)π) Nel piano complesso le tre radici sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio 4.