SIMULAZIONE DELLA PRIMA PROVA PARZIALE DI MATEMATICA

SIMULAZIONE DELLA PRIMA PROVA PARZIALE DI MATEMATICA GENERALE
CLEA- MATRICOLE PARI- PROF. GIORGIO BOLONDI
AVVERTENZE
Nelle domande a risposta chiusa una risposta sbagliata conta in negativo, in modo da azzerare
l’effetto di risposte date a casaccio.
Provate a svolgere questa prova simulando le condizioni del compito: 2 ore, libri, appunti e
calcolatrici (non programmabili) a disposizione. Controllate le risposte soltanto alla fine.
Dopo aver svolto la prova, cercate nel testo e negli appunti gli argomenti relativi alle domande che
avete sbagliato, ponendo molta attenzione alle definizioni corrette e agli enunciati esatti dei teoremi.
1 0 0 
1) L’inversa della matrice 3 2 1  è
5 3 2 
a) la matrice non è invertibile
1 0 0 
b)  -1 2 -1 
 -1 -3 2 
1 0 0 
c) -1 2 -1 
 4 -3 2 
1 0 0 
d)  2 2 -1 
-1 3 2 
2 3 
2) Gli autovalori della matrice  0 6  sono


a) 2 e 3
b) 2 e 6
c) 0 e 3
d) 2, 3 e 6
3) Ad una gara partecipano 24 concorrenti. Quanti podi diversi sono possibili (cioè, quanti diverse
possibilità ci sono per il podio) ?
a) 552
b) 24!
c) 12144
d) 69
4) Un sistema di 4 equazioni in 3 incognite
a) ammette sempre soluzione
b) non ammette mai soluzione
c) può avere soluzioni solo se il determinante della matrice completa è uguale a zero
d) può avere soluzioni solo se il determinante della matrice completa è diverso da zero
5)
a)
b)
c)
Sia z = (1-3i)[-1 + 7i]. Allora |z| =
500
500
30
d) 50
y+z=0

6) Il sistema  y + 2z= 0
 x + y + z = 0
a) è impossibile
b) ha infinite soluzioni
c) ha solo la soluzione banale
d) ha soluzioni non banali
1 1 
2 1 1  
7) 0 1 0  0 1  =


2 1 
a) non si può eseguire
4 4 0 
b)  0 1 1 
0 1 4
4 4
c)  0 1 


0
1


d) )  4 4 


8) Quale tra questi numeri è il più grande
a) (100)!
b) 1002
c) 2100
d) 450
9) Quanti ambi sono possibili con i 90 numeri del lotto?
a) 8100
b) 4005
c) 4050
d) 179
Esercizi da svolgere.
1) Trovare per quali valori di α il sistema ha una e una sola soluzione, per quali non ne ha e per
quali ne ha infinite (e da quanti parametri dipendono).
 x - 2y +3z = 1
 3x + y +2z = 1
α2z=α
α-1
 -x-5y +α
2) Risolvere (in C) l’equazione z3 + 64i = 0 e disegnare le soluzioni nel piano complesso.
SOLUZIONI
1
b
2
b
3
c
4
c
5
a
6
c
7
c
8
a
9
b
Esercizio 1
Il determinante della matrice incompleta (la matrice dei coefficienti) è uguale a zero
se α = 2 o se α = -2. Dunque se α è diverso da 2 o -2, il rango della matrice incompleta è 3 e quindi
anche il rango della matrice completa è 3. Per il teorema di Rouché-Capelli, in questo caso il
sistema ha una e una sola soluzione.
Restano da discutere i casi α = 2 e α = -2.
Se α = 2, sia la matrice completa che quella incompleta hanno rango 2, quindi per il teorema di
Rouché-Capelli il sistema ha infinite soluzioni, che dipendono da 3-2= 1 parametro.
Se α = -2 la matrice completa ha rango 3 mentre quella incompleta ha rango 2, quindi il sistema non
ha soluzioni.
Esercizio 2.
L’equazione si può scrivere
z3 = -64i
e quindi bisogna calcolare le radici terze (complesse) del numero w = -64i.
L’argomento di w è (3/2)π, il suo modulo è 64, e quindi le tre radici sono date da:
z0 = 4(cos(π/2) + isen(π/2)) = 4i
z1 = 4(cos(7/6)π + isen(7/6)π)
z2 = 4(cos(11/6)π + isen(11/6)π)
Nel piano complesso le tre radici sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella
circonferenza di centro l’origine e raggio 4.