Università di San Marino
C.d.L. Ingegneria Civile - a.a. 2009/2010
SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 16/09/2010
Esercizio 1. Al variare del parametro reale α stabilire la risolubilitá del
seguente sistema lineare:
2x − αy + z = 1
y + αz = 0
αx + 4y = 2
Soluzione 1. Considero la matrice incompleta A del sistema, la quale ha
determinante −α(α2 + 9). Questo si annulla (nei reali) solo per α = 0. Si ha
dunque rango di A uguale a 3 se α 6= 0 e rango di A minore di 3 se α = 0.
Inoltre in A il minore
2
0
−α
1
ha sempre determinante diverso da 0 quindi il rango é sempre almeno due.
Riepilogando, ρ(A) = 3 se α 6= 0 e ρ(A) = 2 se α = 0. Sostituendo α = 0 nel
sistema si ottiene dalla seconda equazione y = 0 e dalla terza y = 21 , quindi il
sistema é impossibile (si poteva arrivare alla stessa conclusione vericando che
per α = 0 la matrice completa ha rango 3 e quindi diverso dalla matrice A) Per
α 6= 0 il sistema é invece possibile, avendo la matrice completa anche essa rango
3.
Stabilire se l'applicazione lineare T : R4 → R2 avente come
matrice associata rispetto alle basi canoniche:
Esercizio 2.
1 1
0 2
0 0
1 0
é iniettiva e/o suriettiva? Determinare una base per il nucleo di T .
Soluzione 2. La trasformazione ha equazioni (x, y, z, t) → (x + y, 2y + z).
Essendo una trasformzaione da uno spazio di dimensione 4 in uno spazio di
dimensione 2 non puó essere iniettiva. Invece risulta essere suriettiva, essendo il
rango della matrice associata 2 pari alla dimensione dello spazio di arrivo. Una
base per il nucleo si puó ricavare dal sistema
x+y =0
2y + z = 0
da cui x = −y e z = −2y e t qualunque. Ponendo y = 0 e t = 1 ottengo il
vettore (0, 0, 0, 1) e ponendo y = 1 e t = 0 ottengo (−1, 1, −2, 0), che sono due
vettori di una base per il nucleo.
Vericare che la conica di equazione x2 + 2xy + 4x − 2y + 1 = 0
é un'iperbole e trovare le coordinate cartesiane del suo centro.
Esercizio 3.
1
Soluzione 3.
Una matrice associata alla conica é
1 2
2 1
−1 1
−1
1
0
che ha determinante −6, quindi diverso da 0, cioé la conica é non-degenere.
Il minore
1 1
1 0
ha determinante −1, quindi minore di 0, cioé la conica é una iperbole.
Il centro ha coordinate omogenee [−1, −1, 3] e quindi coordinate cartesiane
[1, −3].
Sia E3 lo spazio euclideo reale. Sia π il piano di equazione
2x − y + z − 1 = 0 e siano A ≡ (1, 1, 0) e B ≡ (2, 1, 1) punti assegnati.
Scrivere le equazioni parametriche del piano passante per A e B e ortogonale a
π . Stabilire poi la distanza di B da π .
Esercizio 4.
Soluzione 4.
−−→
Il piano cercato é individuato dal vettore AB = (1, 0, 1) e dal vettore (2, −1, 1)
ortogonale al piano π . Inoltre il piano cercato passa per il punto A = (1, 1, 0).
Le equazioni parametriche del piano sono dunque
x = 1 + 2λ + µ
y =1−λ
z =λ+µ
La distanza di B dal piano√π si ottiene con la formula per la distanza di un
punto da un iperpiano e vale 6/2.
Esercizio 5.
similitudine.
Stabilire se la seguente matrice reale é diagonalizzabile per
1
0
0
0
0
0
0
1
0 0
0 1
−1 3
3 0
Inotre, stabilire la molteplicitá algebrica dell'autovalore 1 della matrice assegnata.
Soluzione 5.
La matrice é simmetrica quindi diagonalizzabile per similitudine. Calcolando
il polinomio caratteristico ottengo (1 − λ)(−λ3 − λ2 + 10λ + 1) poiché 1 non
annulla il polinomio di terzo grado la molteplicitá algebrica di 1 é pari a 1.
Esercizio 6. Descrivere il luogo dei punti dello spazio a distanza 1 sia dal
punto A ≡ (1, 0, 1) che dalla retta r di equazioni parametriche:
x=2+α
y=2
z = 3 + 2α
2
.
Soluzione 6.
I punti a distanza 1 da A sono su una sfera di centro A e raggio 1. I punti a
distanza 1 da r sono un cilindro di raggio 1. L'intersezione di questi due luoghi
dipende dalla distanza di A da r. Nel nostro caso la distanza é 2 quindi la sfera
e il cilindro si toccano in un solo punto.
3
