La trasformata di Fourier

Capitolo 4
La trasformata di Fourier
4.1
La trasformata di Fourier come limite della serie
di Fourier
Sia f ∈ L1 (R). Sviluppiamo f in serie di Fourier nell’intervallo (−π`, π`). Non possiamo
dire nulla sulla convergenza della serie di Fourier cosı̀ ottenuta (ad esempio, per la convergenza puntuale andrebbe richiesta la continuità della f ) ma possiamo comunque definire i
coefficienti di Fourier
Z π`
ξ
1
c(`)
=
f (ξ) e−in ` dξ
n
2π` −π`
Se poi indichiamo con f` (x) la somma della serie di Fourier di f si ha
f` (x) =
∞
X
ξ
f (ξ) ein ` .
(4.1)
n=−∞
A meno che la funzione f non sia periodica, niente è garantito sulla convergenza della serie
ad f al di fuori dell’intervallo (−π`, π`). Se abbiamo intenzione di utilizzare le serie di
Fourier per rappresentare l’andamento della f su tutto R, più grande scegliamo ` più grande
sarà l’intervallo in cui la serie di Fourier segue l’andamento della funzione di partenza.
Definizione 4.1 Si dice supporto di na funzione la chiusura dell’insieme in cui la
funzione è non nulla. Il supporto di f solitamente si indica con sprt(f ).
Supponiamo per il momento che f sia a supporto compatto ovvero supponiamo
che esista un valore A > 0 tale che f (x) = 0 per ogni x tale che |x| > A. Scegliamo `
abbastanza grande in modo che sprt(f ) ⊂ (−π`, π`). Poniamo
Z ∞
1
F (ξ) =
f (x)e−ixξ dx.
2π −∞
Allora,
c(`)
n
1
=
2π`
Z
π`
−in `ξ
f (ξ)e
−π`
1
dξ =
2π`
Z
∞
ξ
f (ξ)e−in ` dξ =
−∞
1 n
F
.
`
`
La serie di Fourier (1.1) può essere scritta come
f` (x) =
∞
X
1 n −i n x
F
e `
`
`
n=−∞
69
(4.2)
70
4.1. LA TRASFORMATA DI FOURIER COME LIMITE DELLA SERIE DI FOURIER
Quest’ultima può essere interpretata come somma di Riemann (approssimazione di un
integrale come somma dell’area di rettangoli) dell’integrale
Z ∞
F (ξ) eixξ dξ.
(4.3)
−∞
In altre parole la (1.3) è il limite per ` → ∞ della (1.2).
F(n/l) e
i
n
ξ
l
1
l
n
1
l
n
l
F( ξ ) e
n+1
l
i xξ
ξ
1 n −i n x
F
e l . Poiché
`
`
ξ = n/` e dξ = 1/`, la (1.2) è la somma di Riemann dell’integrale (1.3).
Figura 4.1 L’area del rettangolo ombreggiato è
In base a queste considerazioni possiamo ricavare una maniera per rappresentare tutte le
funzioni integrabili su R (anche se non periodiche) in maniera simile (le serie di Fourier)
utilizzata nel capitolo precedente per le funzioni periodiche.
Definizione 4.2 Sia f ∈ L1 (R), chiamiamo trasformata di fourier di f la funzione
Z ∞
fb(ξ) =
f (x) e−ixξ dx.
−∞
Indichiamo inoltre con F l’operatore di trasformazione che ad una funzione f ∈ L1 (R)
associa la sua trasformata di Fourier; in altre parole, F(f (x))(ξ) = fb(ξ). Utilizzeremo
anche la notazione F(f (x))(ξ) = (f )b(ξ).
L’operatore F è definito per tutte le funzioni f ∈ L1 (R). Per quanto riguarda l’immagine di F osserviamo che
Z ∞
b
f (0) =
f (x) dx e quindi |fb(0)| ≤ kf kL1 (R) .
−∞
Inoltre, |e−ixξ f (x)| = |f (x)| per ogni ξ, da cui
Z ∞
|fb(ξ)| ≤
|e−ixξ f (x)| dx = kf kL1 (R)
∀ξ ∈ R.
−∞
Quindi fb(ξ) è una funzione limitata. Inoltre, la trasformata di Fourier di una funzione
integrabile gode di alcune proprietà di regolarità. Ad esempio, se f (x) è regolare e a
supporto compatto, si può verificare che fb(ξ) e la sua derivata fb0 (ξ) sono continue ed
integrabili.
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71
4.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
4.2
Proprietà della trasformata di Fourier
Proposizione 4.1 (linearità dell’operatore di trasformazione) L’operatore di trasformazione è lineare: se f, g ∈ L1 (R), se a, b ∈ R si ha F(af + bg) = a F(f ) + b F(g); in altri
simboli, (af + bg)b = afb + bb
g.
Dimostrazione È una diretta conseguenza della linearità dell’integrale.
Proposizione 4.2 (riscalamento) Sia f ∈ L1 (R) e sia c ∈ R, c 6= 0. Allora
F(f (cx))(ξ) = (f (cx))b(ξ) =
1 b
f (ξ/c).
|c|
(4.4)
Dimostrazione Sia c > 0. Poniamo y = cx e cambiamo variabile nell’integrale che definisce
la trasformata di f :
Z ∞
Z ∞
ξ 1
1
(f (cx))b(ξ) =
f (cx) e−ixξ dx =
f (y) e−iy c dy = fb(ξ/c).
c
c
−∞
−∞
Se c < 0, procedendo in modo analogo,
Z ∞
Z
(f (cx))b(ξ) =
f (cx) e−ixξ dx =
−∞
−∞
ξ
f (y) e−iy c
∞
Z
∞
ξ
f (y) e−iy c
=
−∞
1
dy =
c
1
1 b
dy =
f (ξ/c).
−c
−c
In entrambi i casi il risultato ottenuto è quello della (1.4).
Osservazione 4.1 L’integrabilità di f non garantisce l’integrabilità di fb.
Infatti, se
1
(
0 se |x| > 1
f (x) = χ[−1,1] (x) =
1 se |x| ≤ 1
−1
si ha:
Figura 4.2 La funzione
Z
∞
fb(ξ) =
−∞
χ[−1,1] (x) e
−ixξ
Z
1
χ[−1,1] (x).
1
dx =
e−ixξ dx =
−1
x=1
2 eiξ − e−iξ
2
1 −ixξ =
= sin(ξ).
=− e
iξ
ξ
2i
ξ
x=−1
Si noti che mentre f (x) ∈ L1 (R) altrettanto non si può dire di fb(ξ) dato che
Z ∞
sin(ξ) ξ dξ = ∞.
−∞
Osserviamo infine che quanto descritto non è in contraddizione con le affermazioni fatte
alla fine del paragrafo precedente dato che la funzione f non è continua.
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4.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Osservazione 4.2 L’operatore di trasformazione F è continuo come operatore da L1 (R)
in L∞ (R) (con L∞ (R) indichiamo lo spazio delle funzioni limitate per quasi tutti gli x ∈ R).
Questa proprietà è una conseguenza del fatto che l’operatore d’integrazione è continuo. In
altri termini, se fn è una successione di funzioni integrabili convergente ad una certa f nel
senso di L1 , ovvero tale che limn→∞ kfn − f kL1 (R) = 0, allora fbn converge ad f nel senso
che limn→∞ kfn − f kL∞ (R) = 0.
Stando attenti ad attribuire alla frase il significato appena precisato, possiamo affermare
che “il limite delle trasformate di Fourier delle fn è la trasformata del limite delle fn ”.
Esempio 4.1 Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f (x) = χ[a,b] (x).
Procedendo analogamente a quanto fatto nell’osservazione 1.1 si ha:

b − a
se ξ = 0
.
fb(ξ) = 1 −iaξ
 (e
− e−ibξ ) se ξ 6= 0
iξ
Si noti che fb(ξ) è una funzione continua e tale che lim|ξ|→0 |fb(ξ)| = 0, infatti |fb(ξ)| < 2/ξ
per ξ 6= 0.
Se b = −a, la trasformata di f (x) è

2a
se ξ = 0
.
fb(ξ) = 2
 sin(aξ) se ξ 6= 0
ξ
A questo risultato saremo potuti arrivare anche in base alla proprietà di riscalamento
(proposizione 1.2): osserviamo che χ[−a,a] (x) = χ[−1,1] (x/a) e quindi

2a
b
b
se ξ = 0
b
χ[−a,a] (x) (ξ) = χ[−1,1] (x/a) (ξ) = 11 χ[−1,1] (x) (aξ) = a 2 sin(aξ) se ξ 6= 0
aξ
a
ovvero lo stesso risultato ottenuto precedentemente per via diretta.
Esempio 4.2 Calcoliamo la trasformata di Fourier di f (x) = e−|x| . Procedendo per via
diretta, dalla definizione di trasformata segue
Z ∞
b
f (ξ) =
e−|x| e−ixξ dx =
−∞
Z
∞
−x(1+iξ)
=
e
Z
0
dx +
e−x(1−iξ) dx =
−∞
0
=
Z
∞
e−x(1+iξ) − e−x(1−iξ) dx =
0
x=+∞
x=+∞
1
1
−x(1+iξ) −x(1−iξ) =−
e
e
+
=
1 + iξ
1
−
iξ
x=0
x=0
1
1
2
= (−1) −
+ (−1) −
=
.
1 + iξ
1 − iξ
1 + ξ2
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4.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Anche in questo caso avremo potuto procedere in maniera alternativa: siano
(
(
e−x
x≥0
0
x>0
,
f2 (x) =
.
f1 (x) =
x
0
x<0
e
x≤0
Allora, f (x) = f1 (x) + f2 (x) inoltre f2 (x) = f1 (−x). Possiamo calcolare per via diretta
1
fb1 (ξ) =
. Sfruttando la proprietà di riscalamento,
1 + iξ
1 b
ξ
fb(ξ) =fb1 (ξ) + fb2 (ξ) = fb1 (ξ) +
f1
=
| − 1|
−1
=fb1 (ξ) + fb1 (−ξ) =
1
1
2
.
+
=
1 + iξ
1 − iξ
1 + ξ2
Proposizione 4.3 Se f ∈ L1 (R) allora fb è continua ed infinitesima per |ξ| → ∞, cioè
lim|ξ|→∞ fb(ξ) = 0.
Dimostrazione Abbiamo visto (cfr. esempio 1.1) che la proprietà è vera per le funzioni
caratteristiche degli intervalli. Per la linearità dell’operatore di trasformazione vale anche
per tutte le loro combinazioni lineari. Se f ∈ L1 (R), dalla definizione di integrale di
Riemann sappiamo che possiamo approssimare f con funzioni a scalini. Sfruttando la
proprietà di passaggio al limite della trasformata segue l’enunciato.
Proposizione 4.4 Sia f ∈ L1 (R) e sia fb(ξ) la sua trasformata di Fourier. Allora:
i) Se f (x) è pari allora fb(ξ) è reale.
ii) Se f (x) è dispari allora fb(ξ) è immaginaria pura.
iii) Se f (x) è reale allora fb(−ξ) = fb(ξ).
Dimostrazione Dimostriamo ad esempio la ii). Supponiamo che f (x) = f (−x). Allora
Z
∞
f (x)e−ixξ dx =
fb(ξ) =
Z
−∞
Z
Z
f (x)eixξ dx +
0
Z
=
Z
∞
f (x)e−ixξ dx =
0
∞
f (x)e−ixξ dx =
0
∞
ixξ
2f (x)
0
f (x)e−ixξ dx +
−∞
∞
=
0
e
−ixξ
+e
2
Z
∞
f (x) cos(xξ) dx ∈ R.
dx = 2
0
La i) e la iii) si dimostrano procedendo in maniera analoga. I dettagli sono lasciati per
esercizio.
Corollario 4.1 Come banale conseguenza della proposizione precedente,
i) Se f ∈ L1 (R) è reale e pari allora fb(ξ) è reale e pari.
ii) Se f ∈ L1 (R) è reale e dispari allora fb(ξ) è immaginaria pura e dispari.
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4.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Osservazione 4.3 Sia fb è la trasformata di Fourier di una funzione f ∈ L1 (R). È sempre
possibile individuare due funzioni reali a e b tali che fb(ξ) = a(ξ)+ib(ξ). Se f è una funzione
reale, per il corollario precedente a(ξ) e ib(ξ) sono rispettivamente le trasformate di Fourier
di una funzione reale pari fP (x) e di una funzione reale dispari fD (x).
In definitiva, ogni funzione f ∈ L1 (R) può sempre essere scomposta nella somma di
una funzione pari e di una funzione dispari:
f (x) = fP (x) + fD (x)
fbP (ξ) = a(ξ)
fb(ξ) = a(ξ) + ib(ξ)
fbD (ξ) = ib(ξ)
Le funzioni fP (x) efD (x) prendono il nome di parte pari e parte dispari di f rispettivamente.
Esempio 4.3 Consideriamo la funzione di Heaviside: H(x) = χ[0,∞) (x). Sia
(
2e−x se x ≥ 0
−x
.
g(x) = 2e H(x) =
0 se x < 0
Si verifica facilmente che gP (x) = e−|x| e che gD (x) = sgn(x)e−|x| . Calcolare le trasformate
di Fourier di g, gD e gP verificando che gbP (ξ) ∈ R, che gbD (ξ) è immaginaria pura e che
gb(ξ) = gbP (ξ) + ib
gD (ξ). Facendo i calcoli,
x=∞
Z ∞
2
2
1 − iξ
gb(ξ) = 2
e−x e−ixξ dx = −
e−x(1+iξ) =
=2
.
1
+
iξ
1
+
iξ
1
+ ξ2
0
x=0
In base all’osservazione 1.3 concludiamo che
2
gbP (ξ) = Re (b
g (ξ)) =
,
1 + ξ2
gbD (ξ) = i Im (b
g (ξ)) = −
2iξ
.
1 + ξ2
La verifica di questo risultato per via diretta è lasciata al lettore.
Proposizione 4.5 (di traslazione o di ritardo) Sia f ∈ L1 (R) e sia fb la sua trasformata di Fourier. Se x0 ∈ R, la funzione f (x − x0 ) è trasformabile secondo Fourier ed ha
come trasformata e−ix0 ξ fb(ξ).
Dimostrazione Poniamo y = x − x0 ; allora
Z ∞
Z
F[f (x − x0 )](ξ) =
e−ixξ f (x − x0 ) dx = e−ix0 ξ
−∞
=e−ix0 ξ
∞
e−i(x−x0 )ξ fb(x − x0 ) dx =
−∞
Z
∞
e−iyξ fb(y) dx = e−ix0 ξ fb(ξ).
−∞
Esempio 4.4 Calcoliamo la trasformata di Fourier
di
(
−1 se − a ≤ x < 0
f (x) =
.
1 se 0 ≤ x ≤ a
Scriviamo f (vedi figura 1.3) in una forma più
conveniente:
f (x) = − χ[−a,0] (x) + χ[0,a] (x) =
a
a
= − χ[− a , a ] x +
+ χ[− a , a ] x −
.
2 2
2 2
2
2
1
−a
a
−1
Figura 4.3
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4.3. INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Dall’osservazione 1.1 sappiamo che
h
75
ib
sin (ξ)
(ξ) = 2
.
ξ
χ[−1,1] (x)
per la proposizione 1.2:
per la proposizione 1.5:
ancora per la proposizione 1.5:
ib
sin (aξ)
(ξ) = 2
ξ
h
i
b
χ[−a,a] x + a2 (ξ) = 2ξ eiξ a2 sin (aξ)
h
ib
χ[−a,a] x − a2 (ξ) = 2ξ e−iξ a2 sin (aξ)
h
χ[−a,a] (x)
Infine, sommando le ultime due espressioni:
a
a
2
4i
fb(ξ) = − sin (aξ) eiξ 2 − e−iξ 2 = − sin2 (aξ) .
ξ
ξ
Proposizione 4.6 (di prodotto per un’esponenziale) Sia f ∈ L1 (R) e sia fb la sua
trasformata di Fourier. Per ogni ξ0 ∈ R la funzione eiξ0 x f (x) è trasformabile secondo
Fourier e la sua trasformata è fb(ξ − ξ0 ).
Dimostrazione Osserviamo innanzitutto che |eiξ0 x f (x)| = |f (x)| e quindi che eiξ0 x f (x) ∈
L1 (R).
Z ∞
Z ∞
b
eiξ0 x f (x) (ξ) =
eiξ0 x f (x)e−ixξ dx =
e−ix(ξ−ξ0 ) f (x) dx = fb(ξ − ξ0 ).
−∞
−∞
Esempio 4.5 Possiamo sfruttare la 1.6 per calcolare le trasformate di Fourier di funzioni
della forma f (x) cos(ξ0 x) o della forma g(x) = f (x) sin(ξ0 x).
Dalle formule (??),
[f (x) cos(ξ0 x)] (ξ) =
b
b
1 b
1 iξ0 x
(e
+ e−iξ0 x )f (x) (ξ) =
f (ξ − ξ0 ) + fb(ξ + ξ0 ) .
2
2
Analogamente,
[f (x) sin(ξ0 x)] (ξ) =
b
4.3
b
1 iξ0 x
1 b
(e
− e−iξ0 x )f (x) (ξ) =
f (ξ − ξ0 ) − fb(ξ + ξ0 ) .
2i
2i
Inversione della trasformata di Fourier
Quando abbiamo introdotto la trasformata di Fourier abbiamo definito la funzione
Z ∞
1
F (ξ) =
f (x)e−ixξ dx
2π −∞
per poi scrivere la serie di Fourier di f come
fb(ξ) =
∞
X
1 inx
e ` F (n/`)
`
n=∞
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4.3. INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
ed osservare che passando al limite per ` → ∞ assume la forma
Z ∞
F (ξ)eixξ dx
(4.5)
−∞
Abbiamo poi definito la trasformata di Fourier mediante la formula fb(ξ) = 2πF (ξ). Questo
procedimento suggerisce di utilizzare la (1.5) per ottenere una formula di inversione per la
trasformata di Fourier. Dimostreremo che
Z ∞
1
fb(ξ)eixξ dx.
f (x) =
2π −∞
Teorema 4.1 (formula di inversione della trasformata di Fourier) Sia f ∈ L1 (R)
una funzione di classe C 1 a tratti, eventualmente modificata in modo che
f (x) =
f (x + 0) + f (x − 0)
2
per ogni x ∈ R.
Sia fb(ξ) la trasformata di Fourier di f . Allora
Z λ
Z ∞
1
1
v.p.
lim
fb(ξ)eixξ dξ.
fb(ξ)eixξ dξ =
f (x) =
2π
2π λ→∞ −λ
−∞
(4.6)
Con v.p. abbiamo indicato il “valore principale” dell’integrale, definito dal limite che
compare nella (1.6).
Dimostrazione Per prima cosa calcoliamo
Z λ
Z λ Z ∞
1
1
fb(ξ)eixξ dξ =
f (t)e−iξt dt eixξ dξ.
2π −λ
2π −λ
−∞
Per poter scambiare l’ordine di integrazione dobbiamo verificare che la funzione (t, ξ) 7→
f (t)e−iξ(t−x) sia L1 (R). Questo però è vero poiché |e−iξ(t−x) | = 1 e che f ∈ L1 (R).
Quindi,
Z λ
Z ∞
Z λ
1
1
1
fb(ξ)eixξ dξ =
f (t)
e−iξt dξ =
2π −λ
2π −∞
2π −λ
Z ∞
Z ∞
sin(λt)
sin(λ(t − x))
dt =
f (x + t)
dt =
=
f (t)
π(t
−
ξ)
πt
−∞
−∞
Z 0
Z ∞
sin(λt)
sin(λt)
=
f (x + t)
dt +
f (x + t)
dt.
πt
πt
−∞
0
Facciamo vedere che quando λ → ∞ il primo integrale tende a 12 f (x + 0) mentre il secondo
tende a 21 f (x − 0). Per far questo si osservi che
Z
0
∞
sin(λt)
dt =
πt
Z
0
−∞
sin(λt)
1
dt =
πt
2
(4.7)
e che
Z
I=
∞
f (x + t)
0
sin(λt)
1
dt − f (x + 0) =
πt
2
Z
∞
[f (x + t) − f (x + 0)]
0
sin(λt)
dt.
πt
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4.3. INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Dimostreremo che quest’ultimo integrale tende a zero per λ → ∞. Sia T > 0, scomponiamo
I in tre parti nel modo seguente
Z T
Z ∞
f (x + t) − f (x + 0)
sin(λt)
I=
sin(λt) dt +
f (x + t)
dt−
πt
πt
0
T
Z ∞
sin(λt)
f (x + 0)
−
dt.
(4.8)
πt
T
ed indichiamo con I1 , I2 , I3 i tre addendi al secondo membro della (1.8); si ha
Z ∞
Z
sin(λt) 1 ∞
|f (x + t)| dt,
|I3 | ≤ |f (x + 0)| |I2 | ≤
dt
π T
πt
T
poiché f ∈ L1 (R) e per la (1.7), per ogni ε > 0 esitste Tε > 0 tale che per ogni T > Tε ,
|I2 | < ε e |I3 | < ε. Quindi,
Z
T f (x + t) − f (x + 0)
|I| = 2ε + sin(λt) dt .
0
πt
f (x + t) − f (x + 0)
g(t) =
∈ L1 ([0, T ]); per il lemma di Riemann-Lebesgue 1 , |I1 | → 0 se
πt
λ → ∞.
In definitiva, se fissiamo T > Tε e passiamo al limite per λ → ∞ nella (1.8), |I| → 0
ovvero
Z ∞
sin(λt)
1
lim
f (x + t)
dt = f (x + 0).
(4.9)
λ→∞ 0
πt
2
Procedendo in maniera del tutto analoga si dimostra che
Z 0
1
sin(λt)
dt = f (x − 0).
lim
f (x + t)
λ→∞ −∞
πt
2
Sommando la (1.9) e la (1.10) segue l’enunciato.
(4.10)
Corollario 4.2 (formula di dualità) Sia f ∈ L1 (R), di classe C 1 a tratti e sia f hat la
sua trasformata di Fourier. Se fb(ξ) è tale che
fb(ξ + 0) + fb(ξ − 0)
fb(ξ) =
, allora F[fb(ξ)](x) = 2πf (−x).
2
b
In altre parole, fb(x) = 2πf (−x).
Dimostrazione Dalla formula di inversione si ha:
Z ∞
Z
2πf (−x) =
fb(ξ)ei(−x)ξ dξ =
−∞
∞
b
fb(−ξ)eixξ dξ = fb(x).
−∞
1 Lemma
L1[a,b]
4.1 (di Riemann-Lebesgue) Per ogni funzione g ∈
si ha:
Z b
Z b
g(x) sin(λx) dx = 0,
lim
g(x) cos(λx) dx = 0.
lim
λ→∞
a
λ→∞
a
Per una dimostrazione, che omettiamo, del lemma di Riemann-Lebesgue si veda, ad esempio, G.C. Barozzi,
Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli, proposizione 3.2-1.
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4.4. TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE. CONVOLUZIONI
Esempio 4.6 La trasformata di Fourier di f (x) =
troviamo a calcolare l’integrale
Z
∞
fb(ξ) =
−∞
1
. Usando la definizione, ci
1 + x2
e−ixξ
dx
1 + x2
per calcolare il quale non sono sufficienti tecniche elementari ed è necessario ricorrere alla
teoria dei residui (cfr. §??). La formula di dualità ci permette di aggirare l’ostacolo e
calcolare la trasformata di Fourier di f in maniera più semplice: nell’esempio 1.3 abbiamo
2
visto che la trasformata di Fourier di gP (x) = e−|x| è gbP (ξ) =
. Dalla formula di
1 + ξ2
dualità,
b
1
1
fb(ξ) =
gbP (x) (ξ) = gbbP (ξ) = πgP (−ξ) = πe−|−ξ| .
2
2
1
In definitiva, F
(ξ) = πe−|ξ| .
1 + x2
4.4
Trasformate di Fourier e derivazione. Convoluzioni
Proposizione 4.7 (trasformata della derivata) Sia f ∈ L1 (R) una funzione continua, derivabile e tale che f 0 ∈ L1 (R). La funzione f 0 è trasformabile secondo Fourier e
F[f 0 (x)](ξ) = iξ fb(ξ).
Dimostrazione Dalla definizione di trasformata, integrando per parti,
Z ∞
Z ∞
∞
F[f 0 (x)](ξ) =
e−ixξ f 0 (x) dx = e−ixξ f (x)−∞ + iξ
e−ixξ f (x) dx.
−∞
−∞
Dalle ipotesi di regolarità di f il termine finito dell’integrazione per parti si annulla, quindi
F[f 0 (x)](ξ) = iξ fb(ξ).
Osservazione 4.4 La proposizione 1.6 continua a valere anche nel caso di funzioni f con
derivata soltanto continua a tratti.
Esempio 4.7 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione

0



a + x
ga (x) =

a−x



0
se
se
se
se
x < −a
−a≤x<0
0≤x<a
x≥a
a
−a
a
Figura 4.4 La funzione ga (x).
per a > 0.
La derivata di ga (x) è ga0 (x) =
χ[−a,0] (x) − χ[0,a] (x);
della funzione esaminata nell’esempio 1.4. Quindi,
a parte il segno si tratta proprio
4i
sin2 (aξ).
=
ξ
(ga0 )b(ξ)
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79
4.4. TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE. CONVOLUZIONI
Per scrivere la trasformata di Fourier di ga (x) è sufficiente, a questo punto, applicare la
proposizione 1.7:
4
gba (ξ) = iξ(ga0 )b(ξ) = − 2 sin2 (aξ).
ξ
Corollario 4.3 Se f , f 0 , f (n−1) sono funzioni
e integrabili du R ed f (n) è con (n) continue
tinua a tratti ed integrabile su R, allora F f (x) (ξ) = (iξ)n fb(ξ).
Inoltre, fb(ξ) = o(1/ξ n ) per ξ → ∞.
Proposizione 4.8 (derivata della trasformata) Supponiamo che le funzioni f (x) e
xf (x) siano integrabili su R. Allora la trasformata di Fourier fb(ξ) di f (x) è derivabile e
si ha
d b
f (ξ) = F [(−ix)f (x)] (ξ).
dξ
Dimostrazione
d b
d
f (ξ) =
dξ
dξ
Z
∞
e−ixξ f (x) dx.
−∞
Con qualche calcolo si verifica che è possibile derivare sotto l’integrale. Quindi,
Z ∞
Z ∞
d
−ixξ
e
f (x) dx =
e−ixξ (−ix)f (x) dx = F [(−ix)f (x)] (ξ).
dξ −∞
−∞
Corollario 4.4 Supponiamo che la funzione f (x) ∈ L1 (R) sia tale che xn f (x) ∈ L1 (R)
(e quindi sia trasformabile secondo Fourier) per un certo n > 0. Allora la trasformata di
Fourier fb(ξ) di f (x) è derivabile n volte e si ha
dn b
f (ξ) = F [(−ix)n f (x)] (ξ).
dξ n
Se xn f (x) ∈ L1 (R) per ogni n ∈ N allora fb(ξ) ∈ C ∞ (R).
2
−x
Esempio 4.8 Calcoliamo la trasformata di Fourier della
.
Z ∞ gaussiana f (x) = e
2
−x
+ixξ
Usando la definizione, dovremo calcolare fb(ξ) =
e
dx. Il calcolo di questo
−∞
integrale, in generale, non è agevole; si verifica facilmente però che
Z ∞
Z ∞
√
2
−x2
b
f (0) =
e
dx = 2
e−x dx = π.
−∞
0
2
Osserviamo però che f 0 (x) = −2xe−x = −2xf (x) e passiamo alle trasformate di Fourier
di entrambi i membri:
[f 0 (x)] (ξ)
= iξ fb(ξ)
[xf (x)] (ξ)
= i [(−ix)f (x)] (ξ) = i
b
b
b
d b
f (ξ)
dξ
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80
4.4. TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE. CONVOLUZIONI
Di conseguenza, fb(ξ) è la soluzione del problema di Cauchy

ξ


g 0 (ξ) + g(ξ) = 0
2
.
√


π
g(0)
=

√
2
Facendo i calcoli, fb(ξ) = πe−ξ /4 ovvero, la trasformate di Fourier di una gaussiana è
ancora una gaussiana.
Definizione 4.3 Siano f1 ed f2 due funzioni integrabili su R. Chiamiamo prodotto di
convoluzione di f1 ed f2 l’espressione
Z ∞
(f1 ∗ f2 )(x) =
f1 (ξ)f2 (x − t) dt
−∞
Si può dimostrare (per la dimostrazione rimandiamo a testi più specifiche se f1 , f2 ∈ L1 (R)
anche (f1 ∗ f2 ) ∈ L1 (R). Ha quindi senso parlare di trasformata di Fourier di un prodotto
di convoluzione.
Proposizione 4.9 (trasformata del prodotto di convoluzione) Siano f1 , f2 ∈ L1 (R)
e sia f = f1 ∗ f2 il loro prodotto di convoluzione. Allora
fb(ξ) = (f1 ∗ f2 )b(ξ) = fb1 (ξ)fb2 (ξ).
Dimostrazione Dalla definizione di prodotto di convoluzione:
Z ∞
Z ∞
fb(ξ) =
e−ixξ
f1 (s)f2 (x − s) ds dx.
−∞
−∞
Si verifica che valgono le ipotesi del teorema di Fubini e quindi che è possibile scambiare
l’ordine di integrazione. Quindi,
Z ∞ Z ∞
fb(ξ) =
e−ixξ f2 (x − s) dx f1 (s) ds =
−∞
Z
−∞
∞
−ixs
=
e
Z
Z
∞
−i(x−s)ξ
f1 (s)
−∞
=
∞
e
f2 (x − s) dx ds =
−∞
e−ixs f1 (s) ds fb2 (ξ) = fb1 (ξ)fb2 (ξ).
−∞
Esempio 4.9 Consideriamo di nuovo la funzione “impulso triangolare” già vista nell’esempio 1.7. ga (x) può essere scritta anche in forma di convoluzione:
Z ∞
χ[− a , a ] (s) χ[− a , a ] (x − s) ds.
ga (x) = χ[− a , a ] ∗ χ[− a , a ] (x) =
2
2
2
2
−∞
2
2
2
2
Passando alle trasformate, posto f1 (x) = χ[− a , a ] (x), si ha:
2
gba (ξ) = (f1 ∗ f1 )(x),
2
e quindi
2
fb(ξ) = fb1 (ξ) .
a a 2
4
ξ e quindi fb(ξ) = 2 sin2
ξ , come era già stato ricavato per altra
Ma fb1 (ξ) = sin
ξ
2
ξ
2
via.
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4.5. TAVOLE RIASSUNTIVE
4.5
81
Tavole riassuntive
Questa sezione è ancora da sistemare; per il momento pensateci da voi...
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Indice
1 La trasformata di Fourier
1.1 La trasformata di Fourier come limite della serie di
1.2 Proprietà della trasformata di Fourier . . . . . . .
1.3 Inversione della trasformata di Fourier . . . . . . .
1.4 Trasformate di Fourier e derivazione. Convoluzioni
1.5 Tavole riassuntive . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Fourier
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
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.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
1
1
3
7
10
13