Novembre 2016 - III settimana
L. Seta
5 dicembre 2016
1
Limiti delle funzioni
1.1
Topologia
Per introdurre il limite abbiamo bisogno di alcuni concetti di topologia. La topologia è un settore
della matematica che studia le caratteristiche degli oggetti geometrici, nel nostro caso i sottoinsiemi
di R, indipendentemente dalle prorietà metriche dello spazio in cui questi oggetti vivono, nel
nostro caso indipendentemente dal modo in cui si misura la distanza tra i punti di R. Ci servono
le seguenti nozioni di topologia:
• Insieme A ⊆ R;
• Intervallo I ⊆ R, ovvero un insieme senza buchi ;
• Intorno di un punto x0 ∈ [R] di raggio r: Ir (x0 ) = (x0 − r, x0 + r), ovvero tutti i numeri
reali che sono compresi tra x0 − r ed x0 + r;
• Punto interno all’insieme A, ovvero un punto x ∈ A per cui esiste un suo intorno Ir (x0 )
completamente contenuto in A;
• Punto isolato dell’insieme A, ovvero un punto x ∈ A tale che esiste un suo intorno Ir (x0 )
in cui non ci sono altri punti di A escluso lo stesso x;
• Punto di frontiera dell’insieme A, ovvero un punto x, che può appartenere o non appartenere ad A, per cui ogni suo intorno contiene sia punti di A che punti non di A;
• Punto d’accumulazione dell’insieme A, ovvero un punto x, che può appartenere o non
appartenere ad A, tale che in ogni suo intorno cadono punti di A, diversi dallo stesso x.
• Insieme aperto: tutti suoi punti sono interni;
• Insieme chiuso: tutti i punti d’accumulazione appartengono all’insieme.
1.2
Una semplice definizione
Si dice che:
una funzione f (x) ha limite T per x che tende a P ,
e si scrive
lim = T,
x→P
1
se
∀I (T ), ∃Iδ (P ),
tale che f (x) ∈ I (T ) se x ∈ Iδ (P ) ∩ Df \ {P }.
Questa definizione è un po’ troppo stringata. Cerchiamo di vedere alcuni casi particolari.
Limite al finito uguale ad l. Se x0 è un punto d’accumulazione finito per il dominio della
funzione Df , con l numero reale finito, si ha che
lim f (x) = l,
x→x0
se si ottiene un valore della funzione vicino quanto si vuole ad l scegliendo x sufficientemente
vicino ad x0 , ovvero se:
∀ > 0, ∃ δ > 0, tale che l − < f (x) < l + se x0 − δ < x < x0 + δ con x ∈ Df \ {x0 }.
Limite al finito uguale a ±∞. Se x0 è un punto d’accumulazione finito per il dominio della
funzione Df , si ha che
lim f (x) = +∞ (−∞),
x→x0
se si ottiene un valore della funzione grande (piccolo) quanto si vuole scegliendo x sufficientemente
vicino ad x0 , ovvero se:
∀M > 0, ∃ δM > 0, tale che f (x) > M (< −M )
se x0 − δM < x < x0 + δM con x ∈ Df \ {x0 }.
Limite all’infinito uguale ad l. Se Df non è superiormente limitato (inferiormente limitato)
allora è possibile calcolare il limite della funzione per x → +∞ (x → −∞). Inoltre, si ha che
lim f (x) = l,
lim f (x) = l
x→+∞
x→−∞
se si ottiene un valore della funzione vicino quanto si vuole ad l scegliendo x sufficientemente
grande (piccolo), ovvero se:
∀ > 0, ∃ x > 0, tale che l − < f (x) < l + se x > x (x < −x ) con x ∈ Df .
Limite all’infinito uguale ad ±∞. Se Df non è superiormente limitato (inferiormente limitato)
allora è possibile calcolare il limite della funzione per x → +∞ (x → −∞). Inoltre, si ha che
lim f (x) = +∞,
lim f (x) = +∞
x→+∞
x→−∞
se si ottiene un valore della funzione grande quanto si vuole scegliendo x sufficientemente grande
(piccolo), ovvero se:
∀M > 0, ∃ xM > 0, tale che f (x) > M
se x > xM (x < −xM ) con x ∈ Df .
Similmente per
lim f (x) = −∞,
x→+∞
lim f (x) = −∞ .
x→−∞
2
1.3
Limite destro e sinistro
Avere chiaro il significato delle seguente espressioni e sapere rappresentare graficamente le situazioni corrispondenti ai diversi limiti:
• lim− f (x) = l
x→x0
• lim+ f (x) = l
x→x0
• lim− f (x) = +∞ asintoto verticale a sinistra
x→x0
• lim− f (x) = −∞ asintoto verticale a sinistra
x→x0
• lim+ f (x) = +∞ asintoto verticale a destra
x→x0
• lim+ f (x) = −∞ asintoto verticale a destra
x→x0
• lim f (x) = l+ asintoto orizzintale destro
x→+∞
• lim f (x) = l− asintoto orizzintale destro
x→+∞
• lim f (x) = l+ asintoto orizzintale sinistro
x→−∞
• lim f (x) = l− asintoto orizzintale sinistro
x→−∞
1.4
Limite e continuità
Conoscere:
• La definizione di funzione continua in un punto x0 ∈ Df .
• La differenza tra continuità eliminabile, di prima e seconda specie.
• Esempi di funzioni che presentano discontinuità dei vari tipi.
1.5
Operazioni con i limiti
• Limite per la somma e differenza di funzioni;
• Limite del prodotto di funzioni;
• Limite del rapporto fra due funzioni;
• Forme indeterminate: ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0.
3
1.6
Alcuni limiti notevoli
Capire il significato delle seguenti espressioni (confronto tra funzioni infinitesime per x → 0):
sin x
=1
x
sin (ax)
a
lim
=
x→0
bx
b
tan x
lim
=1
x→0 x
1 − cos x
lim
=0
x→0
x
1 − cos x
1
lim
=
x→0
x2
2
log(1 + x)
=1
lim
x→0
x
ex − 1
lim
=1
x→0
x
ax − 1
= log a
lim
x→0
x
(1 + x)α − 1
lim
=α
x→0
x
lim
x→0
sin x ∼ x
sin x = x + o(x)
per x → 0;
sin (ax) ∼ ax
sin (ax) = ax + o(x)
per x → 0;
tan x ∼ x
tan x = x + o(x)
per x → 0;
cos x ∼ 1
cos x = 1 + o(x)
per x → 0;
cos x ∼ 1 −
x2
2
cos x = 1 −
x2
+ o(x2 )
2
per x → 0;
log(1 + x) ∼ x
log(1 + x) = x + o(x)
per x → 0;
ex ∼ 1 + x
ex = 1 + x + o(x)
per x → 0;
ax ∼ 1 + x log a
ax = 1 + x log a + o(x)
per x → 0;
(1 + x)α ∼ 1 + αx
(1 + x)α = 1 + αx + o(x)
per x → 0;
Quando si considera il limite per x → x0 , con la scrittura f (x) ∼ g(x) s’intende che i valori
della funzione f si avvicinano ai valori della funzione g per x che si avvicina ad x0 . Si dice anche
che f (x) è equivalente a g(x) per x → x0 , o anche che f è asintotica a g in x0 .
Invece, con la scrittura h(x) = o(g(x)), per x → x0 , si intende che i valori della funzione h(x)
diventano talmente più piccoli dei valori della funzione g(x), mano a mano che x si avvicina ad
x0 , che li possiamo considerare trascurabili. Ovvero si può dire che per x → x0 , h è trascurabile
rispetto a g.
Negli esempi elencati sopra, il termine o(x) può quindi venire cancellato se lo si somma alla
funzione x, o a qualcosa che è più grande di x, per x → x0 .
Una definizione più rigorosa del simbolo di Landau, detto anche o piccolo, è la seguente
Definizione di o piccolo Si dice che f = o(g) per x → x0 se:
lim
x→x0
f (x)
= 0.
g(x)
Mentre si ha che che g = o(f ) per x → x0 se:
lim
x→x0
f (x)
= ±∞.
g(x)
Confronto tra funzioni infinitesime. Se due funzioni, f (x) e g(x), tendono entrambe a 0 per
x → x0 , si dice che sono due infinitesimi simultanei. Se si ha che f = o(g), allora si dice che
f (x) è un infinitesimo d’ordine superiore a g(x), per x → x0 .
Se avviene che il limite del rapporto tra due infinitesimi simultanei non è 0, ma è uguale ad
L 6= 0, ovvero:
f (x)
lim
= L,
x→x0 g(x)
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allora si dice che f (x) e g(x) sono infinitesimo dello stesso ordine. In questo caso si può
scrivere:
f (x) = Lg(x) + o(g(x)), per x → x0 .
Il termine Lg(x) è detta parte principale dell’infinitesimo f (x) rispetto all’infinitesimo g(x); il
termine o(g(x)) è detto resto nell’approssimazione.
Se invece si ha che:
f (x)
= L,
lim α
x→x0 g (x)
allora si può scrivere:
f (x) = Lg α (x) + o(g α (x)), per x → x0 ,
con Lg α (x) parte principale dell’infinitesimo, e o(g α (x)) resto.
2
Cosa ci aspetta la prossima settimana
• Dobbiamo studiare alcune proprietà delle funzioni continue che sono espresse da alcuni
teoremi: permanenza del segno; esistenza dello zero; valori intermedi; massimi e minimi
assoluti.
• Introdurre il concetto di rapidità di variazione di una funzione e del rapporto incrementale.
• Il limite attraverso il quale si definisce la derivata di una funzione in un punto.
• Cosa esprime la derivata locale: la pendenza di una curva; la retta tangente e la derivata.
• Funzioni crescenti e decrescenti.
• Tassi di variazione.
• Come calcolare la derivata.
• Massimi e minimi relativi ed assoluti.
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Suggerimenti e consigli
• Provare a calcolare i seguenti limiti utilizzando solo il grafico delle funzioni elementari, senxa
eseguire alcun calcolo:
1
lim± ;
x→0 x
lim ex ;
lim± |x|;
x→0
lim ex ;
x→+∞
x→−∞
1
;
x→±∞ x
lim e−x ;
lim
lim+ log x;
lim+
x→0
x→0
lim log x;
lim
x→+∞
x→+∞
lim (2x + 3);
x→−∞
lim
x→+∞
x→−∞
√
√
√
x;
x;
2 − x;
• Imparare ad utilizzare le definizioni di limite per verificare alcuni semplici limiti, quali ad
esempi:
lim
x→2
√
√
x = 2;
x2
= +∞;
x→+∞ x + 2
lim
lim (3x − 5) = 1;
x→2
lim
x→−∞
2x + 1
= 2;
x−1
5
1
= +∞;
x→1 (x − 1)2
x+3
lim
= 0;
x→+∞ x2 − 9
lim
• Provare ad identificare i domini di definizione di alcune semplici funzioni, individuando i
punti d’accumulazione.
• Cercare online siti che riportano esercizi svolti per i limiti di funzioni. Ecco di seguito alcuni
link utili per esercitarsi:
link 1. Teoria ed esercizi dal sito Studenti.it;
link 2. Esercizi svolti dal Politecnico di Torino;
link 3. Più difficile! Sempre Politecnico di Torino ma con l’utilizzo dell’o piccolo.
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Esercitiamoci
• Esercizio 1. Limiti da calcolare utilizzando i teoremi sull’algebra dei limiti:
a) lim x2 + x ;
b) lim x2 ex ;
x→+∞
x→+∞
1
c) lim
;
x→0 1 + ex
√
e) lim 3 x + e−x ;
2
;
x→+∞ 1 + log x
2x
f ) lim
.
x→0 1 − log x
d) lim
x→+∞
• Esercizio 2. Forme indeterminate da semplificare:
x2 − x
;
x→0 x5 + 3x2
√
x5/2 − 2x x + 1
d) lim
;
x→+∞
2x5/2 − 1
√
2
f ) lim
2+x +x .
x2 − 1
;
x→1 x3 − 1
x2 − 3x + 2
;
c) lim±
x→2
(x − 2)2
√
√ x+1− x ;
e) lim
b) lim±
a) lim
x→−∞
x→+∞
• Esercizio 3. Da calcolare utilizzando i limiti notevoli:
sin x − tan x
;
x→0
x2
2x − 3x
d) lim
;
x→0
x
√
e x+1 − e
f ) lim
.
x→0
x
log (1 + 2x)
;
x→0
x
3x − 1
c) lim
;
x→0
x
1
e) lim x sin
;
x→+∞
x
a) lim
b) lim
6
