Esercitazione
19/12/02
1. Dimostrare che il quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.
2. Sia G un gruppo ciclico di ordine 15.
a. Si determinino i generatori e i sottogruppi di G;
b. Si dimostri che l’applicazione f da G in G definita da f(x)=x3 è un omomorfismo;
c. Si determini il nucleo di f ed il gruppo quoziente G/kerf a meno di isomorfismi.
3. Classificare, a meno di isomorfismi, i gruppi di ordine minore o uguale a 5.
4. Se G è un gruppo ciclico di ordine 2000, quanti elementi di ordine 8 possiede G?
5. Determinare a meno di isomorfismi, tutti i gruppi G tali che esiste un epimorfismo da Z45 a
G.
6. Sia G un gruppo ciclico di ordine 10 con generatore a. Si definisca f da G in G con f(ak)=a3k.
a. Dimostrare che f è un’applicazione;
b. dimostrare che f è un omomorfismo di gruppi e che f è biunivoca;
c. Considerato f come elemento del gruppo di tutte le applicazioni biunivoche da G in
G, S(G), calcolare il periodo di f, gli elementi del sottogruppo ciclico H generato da
f, tutti i generatori di H;
d. L’indice di H in S(G) è un numero primo?
7. Siano G un gruppo abeliano, a in G un elemento periodico e b un elemento aperiodico di G.
Dimostrare che ab è un elemento aperiodico di G. La tesi è vera se a e b sono entrambi
aperiodici?
8. Siano R il gruppo additivo dei numeri reali e Z il sottogruppo additivo dei numeri interi:
a. Provare che a+Z in R/Z è periodico se e solo se a è un numero razionale;
b. Si consideri il gruppo additivo Zn, dove n è un intero positivo, e f da Zn in R/Z
definita f([a])=a/n+Z. Dimostrare che f è un’applicazione, è iniettiva ed è un
omomorfismo di gruppi.
9. Sia Z[x] l’anello dei polinomi nell’indeterminata x a coefficienti nell’anello degli interi Z e
sia J=(x) l’ideale principale generato da x. Dimostrare che J è un ideale primo ma non
massimale di Z[x].
10. Sia R un anello con unità e k la sua caratteristica.
a. Provare che se k=pnqm, con p e q primi distinti, allora I={a in R/ pna=0} e J=={a in
R/ qma=0} sono ideali bilateri non nulli di R;
b. Provare che l’intersezione di I e J è l’ideale banale (0) (sugg. (pn,qm)=1);
c. Posto R=Z18, determinare la caratteristica e gli ideali I e J in questo caso particolare.
11. Siano A un anello commutativo con unità ed I un ideale tale che 3=31A sta in I. Si ponga:
J={a in A/a3 sta in I}
a. Dimostrare che J è un ideale di A che contiene I;
b. Se I è un ideale primo, cosa si può dire di J?
c. Nel caso A=Z, dare un esempio di un ideale proprio I che soddisfa l’ipotesi
dell’esercizio e calcolare J in questo caso.
12. Si consideri il seguente sottoinsieme del campo reale:
A={a+b31/2/a e b interi}
e sia f da A in A un omomorfismo di anelli non identicamente nullo.
a. dimostrare che f(1) è diverso da 0. Dimostrare allora che f(1)=1;
b. Dedurre da a che f(a)=a per ogni a intero.
