ALGEBRA I: ESERCIZI SU MCD, PRIMI E DIVISIONE EUCLIDEA (1

ALGEBRA I: ESERCIZI SU MCD, PRIMI E DIVISIONE EUCLIDEA
(1) Dimostrare che un anello commutativo A è un campo se e soltanto se gli unici suoi ideali
son A e {0}.
(2) Dimostrare che l’anello M2 (R) delle matrici n×n reali non possiede ideali bilateri diversi
da M2 (R) e {0} ma non è un corpo.
(3) Sia n ∈ Z un intero. Consideriamo
1
m
Z[ ] = {z ∈ Q|z = h }
n
n
con m intero h ≥ 0. Dimostrare che Z[ n1 ] è un sottoanello di Q.
(4) Sia p ∈ Z un primo. Consideriamo
m
}
n
con n non divisibile per p. Dimostrare che Zp è un sottoanello di Q. Dimostrare che pZp
è un ideale in Zp e che Zp /pZp è isomorfo al campo Z/(p) (due anelli A e B sono isomorfi
se esiste un omomorfismo f : A → B biiettivo).
Zp = {z ∈ Q|z =
(5) Un elemento a di un anello A si dice invertibile (o un’unità) se esiste b ∈ A tale che
ba = ab = 1. Sia
U = {a ∈ A| a è invertibile}.
Dimostrare che se a, a0 ∈ U , aa0 ∈ U . Dimostrare che U è un gruppo rispetto al prodotto.
(6) In un anello A un elemento a si dice invertibile se esiste b ∈ A tale che ab = ba = 1.
Trovare gli elementi invertibili in Z e in Z[ n1 ].
(7) Trovare tutte le soluzioni intere delle congruenze
(a) 2x ≡ 5 (mod7).
(b) 6x ≡ 5 (mod8).
(c) 19x ≡ 30 (mod40).
(d) 234x ≡ 60 (mod762).
(e) 128x ≡ 833 (mod1001).
(8) Discutere l’equazione
(n − 1)x ≡ b (modn)
al variare di m e b e trovarne le eventuali soluzioni.
(9) Trovare, se esistono, le soluzioni intere del sistema
(
x ≡ 3 (mod22)
x ≡ 7 (mod24).
(10) Enumerare le classi resto h modulo 12 che sono invertibili.
(11) Trovare, se esistono, gli inversi di
(a) 80 (mod171).
(b) 200 (mod171).
(c) 87 (mod171).
(d) 171 (mod200).
(e) 97 (mod200).
1
2
ALGEBRA I
(12) Trovare un criterio di divisibilità per 11, 101, 37 e 33.
(13) Discutere la compatibilità delle equazioni
(a) 501x ≡ 1218 (mod 1689).
(b) 123456789x ≡ 90909090 (mod 987654321).
(14) Per quali numeri interi n il sistema
(
x + y ≡ 2 (modn)
2x − 3y ≡ 3 (modn)
ha almeno una soluzione?
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(15) Calcolare il resto della divisione per 7 di 210 .
(16) Dimostrare che se n > 4 è un numero composto (non primo), allora (n − 1)! ≡ 0 (mod n).
(17) Calcolare il resto della divisione per 31 di 5!25!.
(18) Sia p un primo dispari. Dimostrare che
1p + · · · + (p − 1)p ≡ 0 (modp).
(19) Supponiamo che MCD(a, 35) =! Dimostrare che a48 ≡ 1 (mod35)
(20) In un pollaio ci sono 2500 galline ed ognuna depone un uovo. Le uova vengono poste in
un cesto ma alcune si rompono.
Quante uova si sono rotte se estraendo le uova dal cesto a due a due o a tre a tre
o a cinque a cinque o a sette a sette rimane sempre un uovo in fondo al cesto mentre
estraendo le uova a 11 a 11 non ne rimane alcuno?
(21) Siano a e b interi positivi. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. Se lo sono
dimostrarle altrimenti fornire un contro esempio
(a) Se a divide b2 , a divide b.
(b) Se Se a3 divide b2 , a divide b.