Corso di Analisi Matematica Secondo Modulo, a.a. 2007-2008.
Obiettivi e finalità
Il corso è orientato ad insegnare, nella forma più accessibile, alcune nozioni basilari dell’analisi matematica, che
intervengono alla radice delle scienze esatte e della tecnologia. Il corso verte (i) sulla rappresentazione di oggetti
geometrici o fisici mediante coordinate, spaziali o temporali, e mediante funzioni matematiche; (ii) sull'analisi di
funzioni matematiche mediante derivate, integrali, equazioni algebriche, trascendenti o differenziali.
Prerequisiti: Analisi Matematica Primo Modulo.
Tipo del corso: lezioni (tre ore settimanali) ed esercitazioni in aula (tre ore settimanali); qualche esercitazione scritta
in aula, qualche esercitazione in un laboratorio informatico.
Programma
Formula di Taylor. (i) Formule di Taylor per funzioni di una variabile reale; rappresentazione del resto in forma
integrale, nella forma di Lagrange, e con "o piccoli". (ii) Formula di Taylor e limiti di forme indeterminate. (iii)
Applicazione della formula di Taylor al calcolo numerico di funzioni trascendenti.
Grafici di funzioni di una variabile reale. Asintoti verticali ed asintoti obliqui. Monotonia e segni della derivata
prima. Convessità, concavità e segni della derivata seconda. Estremi locali e criteri per la loro identificazione. Flessi e
criteri per la loro identificazione.
Numeri complessi. Formule di Cardano per la risoluzione di equazioni di terzo grado. Numeri complessi e algebra di
matrici. Operazioni algebriche, rappresentazione trigonometrica, potenze e radici di numeri complessi.
Serie numeriche. Definizioni della somma, del resto, della convergenza semplice e della convergenza assoluta di
una serie di numeri reali o complessi; esempi notevoli e proprietà basilari. Proprietà delle serie a termini positivi ed
alcuni criteri di convergenza per tali serie. Serie assolutamente convergenti ed alcune proprietà di queste. Un criterio di
convergenza per serie a termini di segno alterno. Calcolo approssimato della somma di serie convergenti
Successioni e serie di funzioni di una variabile. (i) Convergenza uniforme di successioni e di serie di funzioni;
convergenza totale; convergenza uniforme e continuità della funzione limite; integrazione e derivazione per serie. (ii)
Serie di potenze nel campo reale e in quello complesso, raggio di convergenza, proprietà basilari della somma di una
serie di potenze. (iii) Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. (iv) Definizione delle funzioni trigonometriche seno e
coseno mediante serie di potenze, dimostrazione delle loro proprietà fondamentali. (v) Serie di Taylor di altre funzioni
trascendenti elementari (esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche, serie
binomiale).
Integrali impropri. Integrali impropri di funzioni continue di una variabile reale, estesi ad intervalli illimitati.
Integrali impropri di funzioni con discontinuità isolate, estesi ad intervalli limitati o no. Convergenza e convergenza
assoluta di integrali impropri, criteri di convergenza. Relazioni fra un integrale improprio di una funzione decrescente e
una serie di valori della medesima funzione.
Formule di quadratura. La formula dei trapezi per funzioni di una variabile reale, due volte derivabili. Formula di
Simpson e suo significato geometrico, enunciato di un teorema sulla formula di Simpson per funzioni quattro volte
derivabili. Applicazioni al calcolo di pi greco e di logaritmi.
Testi: T.M. Apostol, Calcolo - Volume primo: Analisi 1 (Edizione Boringhieri); J. Stewart, Calcolo – Funzioni di una
variabile (Edizione Apogeo).
Modalità di esame: una prova scritta ed una successiva prova orale, da sostenere entrambe nel medesimo appello (la
prima, se fallita, esclude dalla seconda); esercitazioni scritte, che sono valutate durante il corso e possono esonerare
dell’esame scritto.
