dx - Università degli Studi della Basilicata

Università degli Studi della Basilicata
Corso di Laurea in Biotecnologie
Istituzioni di Matematiche
A. A. 2009-2010
Esercizi n. 11: Integrazione
1. Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z p
Z
Z
4
1
(a)
cos(3x − 1) dx; (b)
(2 − 3x)3 dx; (c)
dx; (d)
dx;
1−x
1 + 6x2
Z
Z
Z
1
1
2x+1
√
(e)
dx; (f) e
dx; (g)
dx.
2
cos (4 − x)
x−3
2. Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z
Z 6
x
sin 2x
x − x4 + 4x3 − 1
dx; (b)
dx; (c)
dx;
(a)
x
3+x
cos x
¶
Z
Z µ
sin2 x + cos3 x
1 4
(d)
dx; (e)
dx.
x+
x
sin2 x cos2 x
3. Calcolare i seguenti integrali:
Z
Z
Z
1
x4
4
(a)
sin x cos x dx; (b)
dx;
(c)
dx
1 + x5
cos2 x(1 + tan2 x)
√
Z
Z
Z
log x
2x + x3
1
√ dx; (e)
dx.
(d)
dx; (f)
4
2
1+x
2 x
x e1/x
4. Risolvere i seguenti integrali:
Z
Z √
Z
Z p√
1 − e2x
x−2
ex
x+1
(a)
dx; (b)
dx; (c)
dx; (d)
dx;
2x
x
1+e
x+1
1+e
x
√
Z
Z
Z
√
sin log x
cos(1 + 3 x)
x
√
√
(e)
e + 1 dx; (g)
dx;
dx; (f)
x x
x cos log x
Z
Z
Z
√
x
1 + tan2 x
4
√
dx; (i) x 1 − 2x dx; (l)
(h)
dx.
1 − tan2 x
x+1
5. Calcolare i seguenti integrali :
Z π/2
Z 1p
cos x
√
(a)
dx; (b) x 1 − x2 dx;
sin x + 2
0
0
Z 1
Z e
log x
3
x2 ex +3 dx; (d)
(c)
dx.
−1
1 x(log x + 1)
1
6. Risolvere i seguenti integrali:
Z
Z
Z
Z
2
2
3 x2
(a)
x log(x − 1) dx; (b) x arctan x dx; (c) 2x e dx; (d) e3x cos x dx;
Z
Z
Z
Z
√
(e) (x + 1)2 log x dx; (f)
x log(x) dx; (g) ex sin2 x dx; (h) log2 x dx.
7. Risolvere i seguenti integrali:
Z 4
Z
Z
Z
x + 2x2 + 2
1
x+2
1
(a)
dx; (b)
dx; (c)
dx; (d)
dx;
2
2
2
x +1
4 + 9x
2x − x − 1
16 − x2
Z
Z
Z
x+1
x−2
1
√
(e)
dx;
(f)
dx;
(g)
dx;
2
2
x − 4x + 3
x + 3x − 4
x2 + 2x + 2
Z
Z
Z
x
1−x
4
dx; (i)
dx; (l)
dx.
(h)
2
2
2
4x + x + 1
x + 4x + 4
x − 6x + 5
8. Calcolare i seguenti integrali definiti:
Z 1
Z 1
Z 2π
1
3
dx; (c)
4 cos x dx;
(a)
x dx ; (b)
2 2
0
−3
0 (1 + x )
Z 1
Z 16
Z 2 3
1
x − 5x + 3
6x
√ dx; (f)
(d)
e dx; (e)
dx.
x
2 x
−1
4
1
9. Calcolare i seguenti integrali di funzioni irrazionali:
Z
Z
Z r
1
1
1 x+1
√
√
(a)
dx; (b)
dx; (c)
dx;
2
x x−1
x x+9
x 4x + 1
Z 16
Z r
Z
x
1
4x
√
(d)
dx; (e)
dx;
dx; (f)
5/2
2
1−x
x −x
x − 4x + 2
2
Z 1
Z 2√
Z √
3
x
x+1−1
x+3
1
√
√
√ dx.
dx; (i)
(g)
dx; (h)
3
2
x+1+1
−x + x + 2
0
0 1+ x
10. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z
Z
tan2 x
tan x
tan x
√
(a)
dx; (b)
dx; (c)
dx;
2
2
1 + tan x
1 + sin x + 5 cos x
1 + tan2 x
Z
Z
1
1
dx; (e)
(d)
dx.
1 + cos x
(1 − 7 sin2 x)2
11. Calcolare i seguenti integrali definiti:
Z π/4
Z π/2
sin2 x
cos x
(a)
dx; (b)
dx.
2
1 + sin2 x
−π/4 4 − cos x
0
12. Calcolare
Z
1
(a)
x
1
i seguenti integrali di funzioni trascendenti:
Z 2x
Z
2 − log x
e +1
·
dx; (b)
dx;
(c)
x cos x dx;
2 + log x
e3x − 1
Hint: Porre t =
√
3
x+1
2
Z
Z
x3 log3 (2x) dx; (e)
(d)
Z
xex (1 − ex ) dx; (f)
e3x cos 4x dx.
Z
13. Sia f 00 continua in [0, 1] e tale che f (0) = f (1) = e, f 0 (1) = π.
1
xf 00 (x) dx è uguale a
0
(a) π;
(b) π + e;
(c) e;
(d) π + 2e.
14. Calcolare l’area delle seguenti regioni di piano:
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ 1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1};
B = {(x, y) ∈ R2 : x3 ≤ y ≤ x}.
15. Calcolare l’area della figura piana compresa tra il grafico della funzione f (x) = x2 − x, l’asse
delle x e la retta di equazione x = 2.
16. Calcolare l’area della figura piana compresa tra il grafico della funzione f (x) = sin x, l’asse
delle y e la retta di equazione x = π.
17. Calcolare l’area della figura piana compresa tra il grafico della funzione f (x) = x e le rette di
equazione x = 1 e x = 4.
18. Calcolare il valor medio della funzione f (x) = x sin x nell’intervallo [0, π].
19. Sia f : [−1, 1] −→ R una funzione continua in [−1, 1] e tale che 0 ≤ f (x) ≤ 2 per ogni
x ∈ [−1, 1]. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta:
Z 1
(a) L’integrale
f (x) dx potrebbe assumere un qualsiasi valore reale;
−1
Z
(b) Esiste un punto x0 ∈ [−1, 1] tale che
Z
1
−1
f (x) dx = 2f (x0 );
1
(c)
f (x) dx ≤ 5 .
−1
20. Sia f : [0, 1] → R una funzione continua in [0, 1] e sia F : [0, 1] → R la funzione itegrale di f
relativa al punto 0. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando le risposte:
Z 1
f (t) dt.
(a) Per ogni x ∈ [0, 1] si ha che F (x) =
0
(b) La funzione F (x) è derivabile in [0, 1] e F 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ [0, 1].
(c) La funzione F (x) + 4 è una primitiva di f (x).
Z 1
(d) Si ha
f (x) dx = F (0) − F (1).
0
21. Dire cosa si intende per funzione integrabile su un intervallo chiuso e limitato [a, b].
22. Illustrare ilZ concetto di primitiva per una funzione continua f (x) ed il significato dell’integrale
indefinito f (x) dx.
3
23. Sia f : [0, +∞[−→ R una funzione localmente integrabile su [0, +∞[ e si supponga che
lim f (x) = 0. Rispondere ai sequenti quesiti motivando le risposte:
x→+∞
(a) Se lim x3 f (x) = 1, cosa si può dire sull’integrale generalizzato di f in [0, +∞[?
x→+∞
Z +∞
1
(b) Supponendo che f (x) = √
, l’integrale generalizzato
f (x) dx esiste? Se si, è
x+1
0
convergente o divergente?
24. Sia f (x) = sin x con x ∈ [0, π] e sia m il valore della media integrale di f su [0, π]. Dire se le
seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta:
Z π
2
(a) m = 0; (b) m = π
sin x dx; (c) m = ; (d) Esiste x0 ∈ [0, π] tale che sin x0 = m.
π
0
25. Scrivere l’enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Z x
2
26. Sia F (x) =
tet dt definita per x ∈ [−1, 1]. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o
−1
false motivando le risposte:
(a) La funzione F non è continua per x = 0; (b) F è derivabile in 1 e F 0 (1) = e;
(c) F ammette un minimo assoluto in x = 0; (d) F (−1) = −1.
27. Spiegare cosa si intende per funzione integrabile in senso improprio in un intervallo del tipo
[a, b) dove a, b ∈ R.
Z x
(t + 1)2 log (t + 2) dt, per x ∈ [1, 15], dire se le seguenti
28. Considerata la funzione F (x) =
1
affermazioni sono vere o false motivando le risposte:
(a) F (1) = 4 log 3, (b) F 0 (1) = 0,
(x + 1)2
, (d) F 0 (2) = 9 log 4.
x+2
¶
Z xµ
1
2
t + + 3 et dt, per x ∈ [2, 11] dire se le seguenti
29. Considerata la funzione F (x) =
t
2
affermazioni sono vere o false motivando le risposte:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
2
2
0
4
0
x
(a) F (2) = 7 +
e , (b) F (4) = 19 +
e , (c) F (x) = 2x − 2 e + x + + 3 ex ,
2
4
x
x
(d) Esiste un punto x0 in [2, 11] in cui F (x0 ) < 0.
(c) F 0 (x) = 2(x + 1) log(x + 2) +
30. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando le risposte:
Z
Z
Z
Z
Z
0
(a)
f (x)g(x) dx = f (x) dx g(x) dx; (b) f (x)g (x) dx = f 0 (x)g(x) dx;
Z 0
Z
f (x)
(c)
dx = log | f (x) | + C; (d) f 0 (x)ef (x) dx = ef (x) + C;
f (x)
4