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Facoltà di Ingegneria e Architettura dell’Università di Cagliari
Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica - a.a.2016-2017
Corso di
Fisica dei Semiconduttori
Test di Autovalutazione su
CONOSCENZE ACQUISITE di
cristallografia, vibrazioni reticolari e meccanica quantistica
Elementi di cristallografia
1. In due dimensioni esistono solamente 5 reticoli di Bravais. Indicando con ~a e ~b i due vettori
traslazionali primitivi e con γ l’angolo tra essi formato, dimostrare graficamente che i 5 reticoli
corrispondono a questi casi:
• reticolo obliquo: |~a| =
6 |~b| e γ 6= π/2
• reticolo rettangolare: |~a| =
6 |~b| e γ = π/2
• reticolo rettangolare centrato: |~a| = |~b| e γ 6= π/2
• reticolo quadrato: |~a| = |~b| e γ = π/2
• reticolo triangolare (anche detto: esagonale): |~a| = |~b| e γ = π/3
2. Si consideri un reticolo obliquo di Bravais in due dimensioni. Dimostrare graficamente che la scelta
dei vettori traslazionali non è unica. Identificare i vettori traslazionali primitivi.
3. Definire la specificità della cella elementare primitiva.
4. Costruire graficamente la cella convenzionale primitiva per i 5 reticoli di Bravais in due dimensioni.
5. In tre dimensioni esistono tre diversi reticoli di Bravais che appartengono alla classe dei reticoli
cubici, ovvero:
• il reticolo cubico semplice: i siti reticolari coincidono con i vertici di un cubo;
• il reticolo cubico a corpo centrato: i siti reticolari coincidono con i vertici e con il centro di un
cubo;
• il reticolo cubico a facce centrate: i siti reticolari coincidono con i vertici e con i centri delle
facce di un cubo.
Si disegnino le tre strutture, si identifichino graficamente i tre vettori traslazionali primitivi per
ciascuna di esse e, chiamando a0 la lunghezza dello spigolo del cubo, se ne assegnino le componenti
rispetto ad un sistema di assi cartesiani collineare agli spigoli del cubo.
6. Si considerino i tre reticoli cubici dell’Esercizio 5. e si assuma che nei tre casi il passo reticolare sia
identico. Quale dei tre reticoli avrà una densità di massa minima e quale massima?
7. Si consideri un cristallo tipo diamante, chiamando a0 il relativo passo reticolare. Si costruisca un
sistema di assi cartesiani collineare agli spigoli del cubo. Per tale cristallo:
• si disegnino i vettori traslazionali primitivi e se ne calcolino le componenti cartesiane;
• si disegni la cella elementare primitiva e se ne calcoli il volume Ω;
• si identifichino le coordinate degli atomi che formano la base;
~ l (con l = 1, 2) il vettore posizione che identifica i 2 atomi dentro ad una base
• chiamando con R
~
e con T un vettore traslazionale di reticolo diretto, si esprima nel modo più generale possibile
la posizione di un generico atomo dentro la struttura cristallina.
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8. Sia dato un reticolo di Bravais cubico semplice. I diversi piani cristallini sono di solito identificati
dalla terna (l,m,n) dei cosı̀ detti indici di Miller, ovvero: una terna di numeri ciascuno dato
dall’inverso della distanza di intercetta del piano da essi individuato più vicino all’origine con un
asse cartesiano. Allora, chiamando a0 il passo reticolare del reticolo considerato:
• si disegnino i piani cristallini individuati dai seguenti indici di Miller: (100), (110) e (111);
• si determini che relazione spaziale esiste tra i piani (100), (200) e (−100);
• si determini la distanza interplanare tra il piano (100) ed un piano parallelo suo primo vicino;
si ripeta il calcolo per i piani (110) e (111).
Si faccia attenzione: tutti gli indici di Miller indicati sopra sono espressi in unità di a−1
0 .
9. Si consideri un reticolo diretto descritto dai tre vettori traslazionali primitivi {~a, ~b, ~c}, il cui reticolo
reciproco è descritto dai tre vettori traslazionali primitivi reciproci {~a∗ , ~b∗ , ~c∗ }. Si dimostri che:
• ~a∗ · ~a = 2π;
• ~a∗ · ~b = ~a∗ · ~c = 0.
~
10. Si consideri un reticolo diretto descritto dai tre vettori traslazionali primitivi {~a, ~b, ~c}. Siano T~ e G
i generici vettori traslazionali nel reticolo diretto e reciproco, rispettivamente. Si dimostri che:
~ · T~ ] = 1;
• exp [iG
~ · ~a = 2πl
~ · ~b = 2πm
• G
G
~ · ~c = 2πn
G
con l, m, n numeri interi.
11. Spiegare queste affermazioni:
• lo spazio reciproco è lo spazio in cui sono definiti i vettori d’onda di tutti i fenomeni ondulatori
che si possono manifestare in un cristallo;
• la prima zona di Brillouin contiene tutti e soli i valori di vettor d’onda che non sono equivalenti
per traslazioni di reticolo reciproco.
Proprietà vibrazionali di un solido
1. Si consideri una catena bi-atomica unidimensionale. Dire quale delle seguenti affermazioni è sbagliata e quale è giusta, spiegando il perchè:
• esistono oscillazioni di tipo acustico e di tipo ottico solamente se la massa dei due atomi è
diversa;
• le oscillazioni di tipo ottico non hanno mai frequenza nulla, indipendentemente dal valore del
vettor d’onda q;
• le oscillazioni di tipo acustico hanno limq→0 ω(q) = 0 solamente se le masse dei due atomi sono
diverse.
2. Si consideri una catena bi-atomica unidimensionale con queste caratteristiche: passo reticolare a,
massa dei due atomi m ed M (con m < M ), costante di forza della molla efficace che collega due
atomi primi vicini γ. La sua relazione di dispersione per i moti di vibrazione è
s
2
qa M +m
4
M
+
m
±γ
−
sin2
ω2 = γ
Mm
Mm
Mm
2
Si dimostri quanto segue:
• la massima frequenza di oscillazione ottica si ha per q = 0 e vale
p
2γ(M + m)/M m;
p
• la massima frequenza di oscillazione acustica si ha per q = ±π/a e vale 2γ/M ;
p
• la minima frequenza di oscillazione ottica si ha per q = ±π/a e vale 2γ/m.
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3. Si consideri la formula analitica che esprime la relazione ω = ω(q) per le oscillazioni di una catena
monoatomica unidimensionale di passo reticolare a, massa M e costante di forza γ. Considerando
il limite di q → 0
• si determini la forma analitica di tale relazione, giustificando l’andamento rettilineo della
relazione di dispersione in questo limite [suggerimento: si studi matematicamente la relazione
ω = ω(q) per qa 1];
• si consideri quindi il rapporto ω/q e se ne discuta il significato fisico.
Meccanica quantistica
1. Enunciare l’ipotesi di de Broglie, spiegando il significato fisico di tutti i termini che vi compaiono.
2. Si consideri un’automobile di peso pari ad una tonnellata, che viaggia in linea retta a velocità di
50 Km/h. Calcolare la sua lunghezza d’onda di de Broglie. Commentare il significato fisico del
risultato.
3. Si consideri un elettrone nel vuoto accelerato da una differenza di potenziale elettrostatico pari a 104
V. Calcolare la sua lunghezza d’onda di de Broglie. Commentare il significato fisico del risultato.
4. Si considerino onde elettromagnetiche di lunghezza d’onda pari a 10−12 m (raggi γ), 10−10 m (raggi X), 10−8 m (ultra-violetto), 10−6 m (visibile), 10−4 m (infra-rosso), 10−2 m (micro-onde). Per
ciascuna di esse si calcoli l’energia dei fotoni corrispondenti, esprimendo il risultato in eV.
5. Definire matematicamente la funzione d’onda e la probabilità di presenza in meccanica quantistica
e discutere i corrispondenti significati fisici.
6. Si consideri un elettrone libero in una dimensione (che conveniamo chiamare direzione x) e non
confinato (l’elettrone è pertanto libero di muoversi su tutto l’asse x, senza vincoli). Si scriva la sua
funzione d’onda. È possibile normalizzare tale funzione d’onda? Perchè? Che significato fisico ha,
in questo caso specifico, il risultato del procedimento di normalizzazione?
7. Si consideri un elettrone confinato in una buca di potenziale tridimensionale a pareti infinite. Per
questo specifico caso
• discutere il significato della quantizzazione dei livelli di energia;
• chiarire la differenza tra stato quantistico e livello di energia;
• definire il concetto di degenerazione dei livelli energetici.
8. Chiarire la relazione esistente tra grado di libertà di spin e momento magnetico di un elettrone.
9. Si consideri un gas di elettroni liberi, ma confinati dentro un materiale (il cui numero di elettroni
per unità di volume è pari a n0 ) di volume V . Dire quale delle seguenti affermazioni è giusta e
quale è sbagliata, spiegando il perchè:
• è possibile definire rigorosamente l’energia di Fermi solo a T = 0K;
• l’energia di Fermi dipende da V e da n0 ;
• l’energia di Fermi è una funzione della temperatura.
10. La densità degli stati per un gas di elettroni liberi cresce come g(E) ∼ E 1/2 . Spiegare qualitativamente perchè a energie maggiori esistono più stati per intervallo unitario di energia che non ad
energie inferiori.
11. Enunciare in due diversi modi il Principio di Pauli e dimostrare che i due modi non sono in contrasto.
12. Studiare l’andamento della legge di Fermi-Dirac nel limite di altissime temperature e confrontarlo
con la legge di Boltzmann. Commentare il risultato.
