Vettori
Definizione e sue rappresentazioni Definizione di ve1ore
• Ci
sono grandezze che non possono
essere definite solo da un numero, per
esempio: la velocità, la forza, etc.
Uscente dal piano
• Queste grandezze sono vettori e per
essere definite, è necessario conoscere
l’intensità, la direzione ed il verso.
• Per rappresentare una grandezza
vettoriale si usa una freccia la cui
lunghezza è proporzionale all’intensità,
la direzione ne da’ l’orientamento e la
punta indica il verso positivo.
Entrante nel piano
Ancora sui ve1ori • Due ve1ori con la stessa direzione, la stessa intensità e lo stesso verso sono iden8ci. La traslazione di un ve1ore è una operazione di iden8tà.
b
• La somma s di due ve1ori, a e b, non è la semplice somma delle sue intensità (moduli). • Nella sua rappresentazione grafica la somma avviene nel seguente modo: a
s
i. si giustappone l’origine del secondo ve1ore con la punta del primo ve1ore; ii. si traccia un ve1ore che va dall’origine del primo ve1ore fino alla punta del secondo ve1ore. s=a+b
Somma di ve1ori
• Naturalmente s = a + b può assumere anche valori nega8vi o nulli a seconda del valore dei moduli di a e b, delle loro direzioni e dei loro versi. • Il ve1ore f = m – n è equivalente a f = m + (-­‐n) • La somma algebrica di più ve1ori: s = a + b – c + d
b
c
a
a
-c
b
d
s
d
Ve1ori perpendicolari
Nel caso par8colare della somma di due ve1ori perpendicolari possiamo dire che il ve1ore risultante altro non è che l’ipotenusa di un triangolo re1angolo i cui cate8 sono i ve1ori da sommare. i
h
b
Ovviamente il modulo della risultante è dato dal teorema di Pitagora
i2 = b2 + h2
Segmento nello spazio • Il conce1o di ve1ore, è molto u8le nel uso delle grandezze fisiche e anche molto u8le nella descrizione della geometria Euclidea. • In un triangolo re1angolo, se sono note le lunghezze dei due cate8, saranno no8 la lunghezza dell’ipotenusa e l’angolo che l’ipotenusa forma con i cate8 a2 = b2 + c2
γ = arctg c/b = tan -­‐1 c/b
β = 90°-­‐ γ
a
β
c
γ
b
• La lunghezza e la direzione di qualsiasi segmento si può trovare conoscendo la lunghezza delle sue proiezioni su gli assi cartesiani.
Cosa conoscere degli assi Cartesiani
● Tre ve&ori perpendicolari tra loro formano un sistema di assi cartesiani. ● Il loro punto di incontro è l’origine del sistema di riferimento. ● L’ordine dei tre assi x,y e z è univoca e cos=tuisce una terna destrorsa. ● Nello spazio reale le unità di misura sono uguali per tu@ e tre gli assi. ● La posizione di un ogge&o è individuata conoscendo le tre coordinate P = (x, y, z) che sono le distanze dall’origine lungo ciascun asse. P(x,y,z)
z
o
x
y
Coordinate Polari
Nell’individuare la posizione di un punto può essere conveniente
usare le coordinate polari.
Un punto sarà individuato conoscendo la lunghezza del segmento
r che va dall’origine al punto P, e da gli angoli θ e φ definiti
come in figura
z
2
2
r= x +y +z
2
P
2
2
x
+
y
y
φ = tan−1 = cos−1
x
x
θ = tan−1
x2 + y2
−1 z
= cos
r
z
θ
r
O
φ
x
y
H
Z
z
P
θ
Coordinate re1angolari vs. coordinate sferiche
r
O
φ
y
Y
La coordinata x non è altro che la
proiezione del segmento OH
sull’asse X ovvero OH cosφ.
X
Ma OH è a sua volta r sinθ quindi
x = r sinθ cosφ
x
H
Analogamente la coordinata y sarà la proiezione di OH sull’asse Y
ovvero OH sinφ , ma OH vale r sinθ quindi
y = r sinθ sinφ
Infine la coordinata z è la proiezione di OP sull’asse Z ovvero
OP cosθ quindi possiamo scrivere
z = r cosθ
Le regole dell’algebra ve1oriale
• Abbiamo visto che, nello spazio, ogni vettore può ottenersi dalla
somma di tre vettori perpendicolari tra loro.
• In un sistema di riferimento cartesiano supponiamo che i, j, k
siano i versori (vettori di lunghezza unitaria) degli assi x, y, z.
• Allora il vettore r che unisce l’origine del nostro sistema di
riferimento O ad un punto generico dello spazio P potrà essere
scritto:
r = x p i + y p j + zp k
dove i coefficienti dei versori sono le distanze lungo gli assi
cartesiani delle componenti del vettore r
z
k
x
i
j
y
• Inoltre è facile verificare che le componenti
scalari di r sono i coseni direttori
z
x = r cosα
γ r
y = r cosβ
α
β
z = r cosγ
x
y
