ALGEBRA I: ANELLI (1) Sia A un anello commutativo. Un ideale

ALGEBRA I: ANELLI
(1) Sia A un anello commutativo. Un ideale proprio I ⊂ A si dice primo se e solo se dati
a, b ∈ A, se ab ∈ A allora o a ∈ I o b ∈ I.
Dimostrare che I ⊂ A è primo se e soltanto se A/I è un dominio.
(2) Sia A un anello commutativo. Dimostrare che se un elemento a ∈ A è primo se e solo se
I = Aa è un ideale primo.
(3) Dimostrare che in un dominio a ideali principali ogni ideale primo non nullo è massimale.
(4) Sia A un dominio a ideali principali. I ⊂ A un ideale. Dimostrare che I è sempre
contenuto in un ideale massimale.
(5) Sia I ⊂ Z[x] un ideale proprio. Dimostrare che I è sempre contenuto in un ideale massimale (in effetti questo è vero in ogni anello ma per vederlo si deve usare il Lemma di
Zorn. Provate).
(6) Sia A un anello commutativo. Sia K l’unione di tutti gli ideali propri di A. Mostrare che
A \ K è l’insieme degli elementi invertibili in A.
(7) Sia A, B anelli commutativi. f : A → B un isomorfismo, b ∈ B. Dimostrare che esiste un
unico omomorfismo F : A[x] → B tale che F (a) = f (a) se a ∈ A e F (x) = b.
a b
(8) Sia A := {
| b, a ∈ Z}
−b a
(a) Dimostrare che A è un anello commutativo.
(b) Definiamo l’omomorfismo f : Z[x] → A mediante
a 0
0 1
, a ∈ Z, f (x) =
.
f (a) =
0 a
−1 0
Determinare il nucleo di f .
(c) Mostrare che f e suriettivo e A/kerf ' Z[i].
(d) Il nucleo di f è un ideale primo? È massimale?
(9) Consideriamo i polinomi x4 + 3x2 − 4 e x5 + 3x3 + 4. Calcolare il loro massimo comun
divisore d(x) e scrivere
d(x) = p(x)(x4 + 3x2 − 4) + q(x)(x5 + 3x3 + 4).
(10) Si Consideri il polinomio x3 + 3x2 + 3x + 1. Dire se esso è irriducibile in Q[x], in Z/2[x],
in Z/3[x]. In ogni caso si
(11) Sia A un anello. Un elemento a ∈ A si dice nilpotente se esiste xn = 0 per quache n > 0.
Sia NA = {x ∈ A| x nilpotente}.
(a) Dimostrare che se A è commutativo NA è un ideale.
(b) Mostrare tramite un esempio che questo non è necessariamente vero se A non è
commutativo.
√
(c) Sia A commutativo I ⊂ A un ideale I = {x √∈ A| xn = 0 per qualche n > 0}.
Dimostrare che se p : A → A/I è il quoziente, p( I) = NA/I
√
(12) Sia A un anello a fattorizzazione unica. sia a ∈ A mostrare che Aa = Aa se e solo se
non esiste alcun elemento irriducibile b tale che b2 divide a.
1
2
ALGEBRA I
(13) Sia K un campo f (x) ∈ K[x]. Dimostrare che esiste un polinomio irriducibile p(x) tale
che p2 (x) divide f (x) se e soltanto se M CD(f (x), f 0 (x)) 6= 1., f 0 (x) essendo la derivata
di f (x).
(14) Dire per quali dei seguenti polinomi p(x), lÕanello quoziente Q[x]/(p(x)) non ha elementi nilpotenti.

4
3
2

x + 3x − 3x − 11x − 6;
p(x) = x7 + 4x3 + 12x2 + 6x + 13;

 4
x + x3 − x − 1.
(15) Dimostrare che se p ∈ Z il quoziente Z[i]/(p) contiene elementi non nulli nilpotenti se e
solo se p = 2.
(16) Sia K un campo e {a1 , . . . , am } ⊂ K. Sia I = {p(x)| p(ai ) = 0, ∀ i}. Dimostrare che I è un
ideale e trovare un elemento che lo genera.
(17) In Z[i] decomporre gli elementi 187 + 187i e 7 + 35i in fattori irriducibili.
(18) In Z[i] trovare il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di 15 + 35i e
24 + 9i
(19) Sia z ∈ Z[i] tale che ||z|| è un primo. Dimostrare che z è irriducibile, che p = 2 o p = 4h+1
e che Z[i]/(z) ' Fp .
(20) Trovare le soluzioni intere dell’equazione y 2 + 1 = x3 .
(21) Dimostrare che un intero positivo n è somma di due quadrati se e solo se n = a2 b con b
che non ha divisori primi della forma 4h + 3.
√
√
(22) Dimostrare che Z[ 2] e Z[ 3] sono euclidei.