Esercizi di ripasso

DOCENTE: Vincenzo Pappalardo
MATERIA: Matematica
Esercizidi
ripasso
Dominio
di una funzione
Definizione di limite
lim f (x) = l
x→x0
lim f (x) = l
x→∞
lim f (x) = ∞
x→x0
lim f (x) = ∞
x→∞
Calcolo dei limiti
e x −1
lim
=1
x→0
x
In definitiva:
Procedimento alternativo: moltiplichiamo e dividiamo il
denominatore per due
x
Per poter usare il limite notevole:
⎛ 1⎞
lim ⎜1+ ⎟ = 1
x→∞ ⎝
x⎠
moltiplichiamo e dividiamo l’esponente per 2:
Usando la proprietà delle potenze, si ottiene:
x
mx
x
x
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ 1
lim ⎜1+ ⎟ = e n lim ⎜1+ ⎟ = e mn lim ⎜1+ ⎟ = e lim ⎜1− ⎟ =
x→∞ ⎝
x→∞ ⎝
x→∞ ⎝
x→∞ ⎝
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠ e
1
x
1
x
n
1
x
lim (1+ nx ) = e lim (1+ x ) = e lim (1− x ) =
x→0
x→0
x→0
1
e
a x −1
e x −1
lim
= ln a lim
=1
x→0
x→0
x
x
lim
x→0
ln(1+ x)
log a (1+ x)
= 1 lim
= log a e
x→0
x
x
sin x
tgx
= 1 lim
=1
x→0
x→0
x
x
lim
1− cos x
1− cos x 1
= 0 lim
= 2
x→0
x→0
x
x
2
lim
Forme indeterminate
Limiti immediati particolari
Infinitesimi e infiniti
Funzioni continue
Punti di discontinuità
Derivate e loro
applicazione
Definizione di derivata
Calcolo di derivate
Oppure applicare direttamente la seguente formula:
Oppure applicare direttamente la seguente formula:
Oppure applicare direttamente la seguente formula:
Calcolo derivate successive
Differenziale di una funzione
Applicazione derivate: tangente a una curva
Applicazione derivate: fisica
Teoremi fondamentali
del calcolo differenziale
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Teorema di Cauchy
Teorema di De L’Hopital
Problemi di
massimo e di minimo
Problemi di geometria
Problemi di geometria analitica
Massimi, minimi e flessi
di funzioni contenenti
un parametro
Studio funzione
y = 4x 3 + 2x 2
3
2
x − 3x + 4
y=
x2
y=
x −1
x 2 +1
y = 1− e x
ex
y= x
e −1
1
y = log 2 x
x
y = log x 2 − 5x + 4
Flessi:
y = 2senx − sen2x
cos x
y=
1− cos x
y = arcsin 2x − x 2
1
y = arctg
1− x
Integrali indefiniti
Integrali immediati
Integrali funzioni razionali fratte
Metodo integrazione per sostituzione
∫ f (x) = ∫ f [ g(t)]g'(t)dt
Metodo integrazione per parti
Integrali definiti
Calcolo integrali definiti
Calcolo aree figure piane
Calcolare l’area della regione di piano limitata dalla retta
y=2x+5 e dalla parabola y=3x2+5x-.
Calcolare l’area della regione di piano limitata dalla retta
3x+2y-9=0 e dall’iperbole xy=3.
Calcolare l’area della regione di piano limitata dall’asse x e
dalla retta tangente alla parabola y=-x2+5x-4 nel suo punto di
ascissa x=2.
Calcolare l’area della regione di piano limitata dalle rette
tangenti alla parabola y=(-4/9)x2+(8/3)x nei punti
d’intersezione della stessa con la retta y=x.
Valor medio di una funzione
Calcolare il valor medio delle funzioni nell’intervallo indicato.
Calcolo volume solidi di rotazione
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare
intorno all’asse x di un giro completo la parabola y=-x2+3x
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare
intorno all’asse x di un giro completo la parte di funzione
y=x3-6x2+9x che interseca l’asse delle x.
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare
intorno all’asse x di un giro completo la parte di piano
individuata dalla curva y2=2x e dalla retta x=3.
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare
intorno all’asse y di un giro completo la parte di piano
individuata dalla curva y=x2 e dalla retta y=1.
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare
intorno all’asse x di un giro completo la parte superiore
dell’ellisse (x2/9)+(y2/4)=1.
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare
intorno all’asse x di un giro completo la parte di funzione
y=-x3+x2 che interseca l’asse delle x.
Integrali impropri
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali a variabili separabili
Equazioni differenziali lineari
Equazioni differenziali del 2° ordine
non omogenee a coefficienti costanti
Calcolo combinatorio
Calcolo delle probabilità