Istituzioni di Matematiche
quarta parte
anno acc. 2014/2015
Univ. Studi di Milano
E.Frigerio, C.Turrini (Univ. Studi di Milano)
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Derivate
index
1
Derivate
2
Teoremi sulle funzioni derivabili
3
Formula di Taylor
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Derivate
Rapporto incrementale
Sia f : I → R, con I ⊂ R intervallo, e sia x0 ∈ I.
Si chiama rapporto incrementale di f in x0 di incremento h = ∆x il rapporto
∆f
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
=
=
,
∆x
h
x − x0
per x = x0 + h.
Il rapporto incrementale di f in
x0 di incremento h = ∆x
rappresenta il coefficiente
angolare della retta che
congiunge i punti
P = (x0 , f (x0 )) e Q = (x, f (x))
del grafico di f .
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Derivate
Derivata in un punto
Si dice che f è derivabile in x0 se esiste finito il
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
.
x→x0
h→0
h
x − x0
lim
(x0 )
Se f è derivabile in x0 , il numero reale limx→x0 f (x)−f
x−x0 . viene detto derivata
di f in x0 e denotato indifferentemente con uno dei seguenti simboli
f 0 (x0 ),
(Df )(x0 ),
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df
(x0 ),
dx
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df
|x ,
dx 0
(
df
)x .
dx 0
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Derivate
ESEMPIO 1 - Vediamo se f (x) = x2 è derivabile in x = 3. Dobbiamo stabilire
se esiste finito
x2 − 9
.
x→3 x − 3
lim
Risulta
x2 − 9
= lim (x + 3) = 6.
x→3 x − 3
x→3
Quindi la derivata di f in 3 esiste e vale 6.
ESEMPIO 2 - Vediamo se g(x) = |x| è derivabile in x = 0. Il limite
lim
|x| − |0|
x→0 x − 0
non esiste (esistono il limite da destra e da sinistra, e valgono rispettivamente
+1 e −1), quindi g non è derivabile in x0 .
lim
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Derivate
Significato geometrico di derivata
L’esistenza della derivata di f in
x0 corrisponde al fatto che il
grafico di f in P = (x0 , f (x0 ))
ammetta una retta tangente
(intesa come limite di rette
secanti) e che tale retta tangente
non sia verticale.
Se la derivata esiste, f 0 (x0 ) è il
coefficiente angolare della retta
tangente in P, pertanto la retta
tangente ha equazione
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).
ESERCIZIO - Stabilire se il grafico Γf di f (x) = x2 + 1 ammette tangente in
A = (1, 2) e, in caso affermativo, determinare l’equazione della retta tangente
a Γf in A.
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Derivate
Funzione derivata
Sia f : A → R, sull’insieme A0 dei punti in cui f è derivabile, si può definire
una funzione f 0 : A0 → R che ad ogni x ∈ A0 associa il valore della derivata di
f in x, cioè f 0 : x 7→ f 0 (x).
La funzione f 0 viene detta funzione derivata di f .
ESEMPIO - La funzione f (x) = x2 è definita su A = R ed è derivabile in tutti
i punti di R, infatti, per ogni x0 ∈ A, si ha
lim
x→x0
x 2 − x0 2
= lim (x + x0 ) = 2x0 .
x→x0
x − x0
Quindi si ha A0 = R e f 0 (x) = 2x.
Se funzione derivata f 0 è a sua volta derivabile, la sua derivata viene detta
derivata seconda: (f 0 )0 = f 00 .
Analogamente si definisce la derivata terza, ecc.
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Derivate
Derivate delle funzioni elementari
Le funzioni elementari sono derivabili in tutto il loro insieme di definizione.
Le derivate sono le seguenti:
f
f
f
f
= costante, f 0 = 0
= xα , f 0 = αxα−1
= ex , f 0 = ex
= ax , f 0 = ax log(a)
f = logx,
f0 =
f0 =
f = loga x,
f = sinx,
f = cosx,
f = tanx,
1
x
1
xlog(a)
f 0 = cos(x)
f 0 = −sin(x)
f 0 = 1 + (tan(x))2
f = arctanx,
f0 =
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1
1+x2
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Derivate
Regole di derivazione
Regole di derivazione per funzioni somma, prodotto, ecc.
FUNZIONE SOMMA Se f e g sono derivabili in un punto x lo è anche la
funzione somma f + g e vale:
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g0 (x)
FUNZIONE PRODOTTO Se f e g sono derivabili in un punto x lo è anche la
funzione prodotto fg e vale:
(fg)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g0 (x)
FUNZIONE QUOZIENTE Se f e g sono derivabili in un punto x lo è anche la
funzione quoziente gf e vale:
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g0 (x)
( )0 (x) =
g
(g(x))2
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Derivate
FUNZIONE COMPOSTA Se la funzione f è derivabile in x e la funzione g ‘è
derivabile in f (x) allora la funzione g ◦ f è derivabile in x e vale:
(g ◦ f )0 (x) = g0 (f (x))f 0 (x)
FUNZIONE INVERSA Se la funzione f è derivabile in x con derivata non
nulla allora la funzione f −1 è derivabile in y = f (x) e vale:
(f −1 )0 (y) =
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1
f 0 (x)
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.
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Derivate
ESERCIZIO - Usare le regole di derivazione per calcolare le derivate delle
funzioni
1
2
3
4
5
f (x) = cos(x)2x
f (x) = sin(x2 ) + log2 (x)
√
f (x) = 3 x2 + 1
f (x) = sinx
x3
f (x) = cos(log(x4 ))
TEOREMA - Se f è derivabile in x0 allora è continua in x0 .
Non è invece vero il viceversa. Ad esempio, la funzione f (x) = |x| è continua
in 0, ma non è ivi derivabile.
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Teoremi sulle funzioni derivabili
index
1
Derivate
2
Teoremi sulle funzioni derivabili
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Formula di Taylor
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Massimi e minimi relativi
Un punto x0 si dice punto di massimo relativo (rispett. punto di minimo
relativo) per una funzione f , se esiste un intorno U(x0 ) tale che
f : U(x0 ) → R abbia in x0 un massimo (assoluto), cioè ∀x ∈ U(x0 ) si abbia
f (x) ≤ f (x0 ) (rispett. f (x) ≥ f (x0 )) (si veda la figura a sinistra).
Nel caso x0 sia agli estremi dell’insieme di definizione (si veda la figura a
destra) si ottiene un’analoga definizione considerando intorni destri o sinistri,
cioè, ad esempio, se f è definita in [a, +∞) il punto (a, f (a)) è di massimo
relativo se esiste un intorno destro U+ (a) di a tale che ∀x ∈ U+ (a) si abbia
f (x) ≤ f (a).
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Teorema di Fermat
TEOREMA (di Fermat) - Sia f definita in un intorno di x0 e supponiamo che
x0 sia un punto (interno) di massimo o minimo relativo per f . Se f è derivabile
in x0 , allora f 0 (x0 ) = 0.
OSSERVAZIONE - Non è vero
il viceversa. Infatti può essere
f 0 (x0 ) = 0 senza che x0 sia
massimo o minimo. Questo
accade, ad esempio, nel caso
della funzione y = x3 in x0 = 0.
OSSERVAZIONE - La funzione f (x) = |x| ha un minimo relativo (ed anche
assoluto) in 0, ma in 0 la funzione non è derivabile.
OSSERVAZIONE - I punti di massimo e minimi relativo vanno cercati tra i
punti interni all’insieme di definizione E in cui la derivata è nulla o non esiste,
e tra i punti di E non interni ad E.
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Teorema di Rolle
TEOREMA (di Rolle) - Sia f : [a, b] → R, con f continua in [a, b], derivabile
in (a, b) e con f (a) = f (b). Allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che
f 0 (c) = 0.
Il teorema garantisce l’esistenza
di un punto (c, f (c)) del grafico
in cui la retta tangente è
orizzontale
Tutte le ipotesi del teorema di Rolle (continuità in [a, b], derivabilità in (a, b),
f (a) = f (b)) sono necessarie, come mostrano i seguenti esempi.
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Teorema di Lagrange e sue conseguenze
TEOREMA (di Lagrange) - Sia f : [a, b] → R, con f continua in [a, b] e
derivabile in (a, b). Allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che
(a)
f 0 (c) = f (b)−f
b−a
Il teorema garantisce l’esistenza
di un punto (c, f (c)) del grafico
in cui la retta tangente è
parallela alla retta che congiunge
A = (a, f (a)) con B = (b, f (b)).
COROLLARI
Ipotesi - Negli enunciati seguenti si suppone sempre che le funzioni f , g
coinvolte siano definite e continue in [a, b] e derivabili in (a, b).
Se f 0 (x) = 0, ∀x ∈ (a, b), allora f = k, con k ∈ R, cioè (nelle ipotesi
scritte sopra) le uniche funzioni derivabili con derivata ovunque nulla
sono le costanti.
Se f 0 (x) = g0 (x), ∀x ∈ (a, b), allora ∀x ∈ [a, b] si ha f (x) = g(x) + q, con
q ∈ R, cioè (nelle ipotesi scritte sopra) due funzioni con la stessa
derivata differiscono per una costante.
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Se f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), allora f è strettamente crescente, in particolare
f è iniettiva, quindi invertibile.
Se f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), allora f è strettamente decrescente, in
particolare f è iniettiva, quindi invertibile.
L’ipotesi che l’insieme di definizione di f sia un intervallo è necessaria: ad
esempio la funzione definita da f (x) = 1x se x ∈ (−∞, 0) e f (x) = 1x − 3 se
x ∈ (0, +∞), ha derivata sempre negativa (pari a − x12 ) però non è
(globalmente) decrescente (lo è su (−∞, 0) e su (0, +∞), ma non su
(−∞, 0) ∪ (0, +∞)) e nemmeno iniettiva (perché, ad esempio
f (−1) = f ( 21 ) = −1).
1
ESERCIZIO - Stabilire in quali intervalli la funzione f (x) = xe x è
strettamente crescente.
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Ricerca dei punti di massimo e di minimo relativo
Sia f continua in (a, b). Se f è anche derivabile in (a, b), salvo al più in x0 ,
allora
se f 0 (x) > 0 in (a, x0 ) e f 0 (x) < 0 in (x0 , b) allora x0 è un punto di
massimo;
se f 0 (x) < 0 in (a, x0 ) e f 0 (x) > 0 in (x0 , b) allora x0 è un punto di
minimo.
ESERCIZIO - Cercare i punti di massimo e di minimo relativo della funzione
1
definita da f (x) = xe x .
ESERCIZIO - Cercare i punti di massimo e di minimo relativo della funzione
definita da f (x) = x2 − 2|x|.
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Studio della concavità - Flessi
TEOREMA - Sia f derivabile in un intervallo I. f è strettamente concava
verso l’alto (rispett. verso il basso) in I se e solo se, per ogni punto P del
grafico di f la retta tangente al grafico di f in P sta al di sotto (rispett. al di
sopra) del grafico di f .
TEOREMA - Sia f derivabile in un intervallo I. f è strettamente concava
verso l’alto (rispett. verso il basso) in I se e solo se la funzione derivata prima
f 0 è strettamente crescente (rispett. decrescente) in I.
TEOREMA - Sia f derivabile due volte in un intervallo I. Se
f 00 (x) > 0 ∀x ∈ I, (rispett. f 00 (x) < 0 ∀x ∈ I) allora f è strettamente
concava verso l’alto (rispett. verso il basso) in I.
Un punto x0 interno all’insieme di definizione di f si dice punto di flesso se f
cambia concavità in x0 .
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Formula di Taylor
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2
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Formula di Taylor
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Formula di Taylor
Polinomio di Taylor
Sia f una funzione definita in un intorno di x0 e derivabile n volte in x0 .
Il polinomio
Pn (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f (n) (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n
2
n!
viene detto polinomio di Taylor di ordine n centrato in x0 .
TEOREMA - Sia f una funzione derivabile n volte in x0 . Esiste un intorno
I(x0 ) tale che, ∀x ∈ I(x0 ), la funzione Rn (x) = f (x) − Pn (x) sia un
infinitesimo di ordine superiore a (x − x0 )n (cioè
lim
x→x0
Rn (x)
= 0).
(x − x0 )n
ESERCIZIO - Calcolare il polinomio di Taylor di f (x) = 2 + 3x − x2 + 3x3 di
ordine 2 centrato in 0.
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Formula di Taylor
Polinomi di Mc Laurin
Il polinomio di Taylor di ordine n di una funzione f centrato in 0 viene detto
polinomio di Mc Laurin di ordine n di f , o sviluppo di Mc Laurin di ordine n
di f .
ESEMPI
sin(x) = x −
x3
3!
+
x5
5!
x
+ · · · + (−1)n (2n+1)!
+ R2n+1 (x)
cos(x) = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
x
+ R2n (x)
+ · · · + (−1)n (2n)!
x3
3
+
x5
5
arctan(x) = x −
ex = 1 + x +
x2
2!
2n+1
2n
+ ··· +
log(1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
2n+1
x
+ · · · + (−1)n (2n+1)
+ R2n+1 (x)
xn
n!
+ Rn (x)
n
+ · · · + (−1)n−1 xn + Rn (x).
ESERCIZIO
Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin di ordine 4 di f (x) = x2 − 2 + 2cosx.
Calcolare
x2 − 2 + 2cosx
limx→0
.
x4
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