2016 nov 7 continuità e derivate parziali prime

Limiti e Continuità
Sia f una funzione a valori reali definita su un
sottoinsieme
Diremo che
se per ogni intorno circolare U di l esiste un
intorno circolare V di x0 tale che
N.B. x,x0 sono due vettori e non due numeri reali.
Limiti e Continuità
Definizione di continuità: Sia x0A. Diremo che
f è continua in x0 se
f è continua in A se è continua in ogni punto di A.
Proprietà delle funzioni continue.
La somma, la differenza ed il prodotto di funzioni
continue sono funzioni continue;
Il rapporto di funzioni continue è una funzione
continua con esclusione dei punti che annullano il
denominatore.
l prodotto di composizione di funzioni continue è una
funzione continua.
DERIVATE PARZIALI PRIME
Per funzioni ad una variabile. La derivata di f in x0 è il
limite se esiste finito del rapporto incrementale
f ( x) - f ( x0 )
lim
= f ' ( x0 )
x ® x0
x - x0
Per funzioni a due variabili.
Sia f(x,y) una funzione definita su un sottoinsieme
aperto A di
e sia (x0,y0) un punto di A.
La funzione si dice derivabile parzialmente rispetto
a x nel punto (x0,y0) se esiste finito il limite
Il valore del limite prende il nome di derivata parziale di
f rispetto a x nel punto (x0,y0) ed è denotata con uno dei
seguenti simboli
DERIVATE PARZIALI PRIME
Per funzioni ad una variabile. La derivata di f in x0 è il
limite se esiste finito del rapporto incrementale
f ( x) - f ( x0 )
lim
= f ' ( x0 )
x ® x0
x - x0
Per funzioni a due variabili.
Sia f(x,y) una funzione definita su un sottoinsieme
aperto A di
e sia (x0,y0) un punto di A.
La funzione si dice derivabile parzialmente rispetto
a x nel punto (x0,y0) se esiste finito il limite
Il valore del limite prende il nome di derivata parziale di
f rispetto a x nel punto (x0,y0) ed è denotata con uno dei
seguenti simboli
DERIVATE PARZIALI PRIME
Sia f(x,y) una funzione definita su un sottoinsieme
aperto A di
e sia (x0,y0) un punto di A.
La funzione si dice derivabile parzialmente rispetto
a y nel punto (x0,y0) se esiste finito il limite
Il valore del limite prende il nome di derivata parziale di
f rispetto a y nel punto (x0,y0) ed è denotata con uno dei
seguenti simboli
Derivata parziale prime
Esempio: calcolare, in base alla definizione, le derivate
parziali della funzione f(x,y)=x+5y2-7xy nel punto (2,-1)
La derivata di f rispetto a x nel punto (2,-1) è data da
E quindi
La derivata di f rispetto a y nel punto (2,-1,) è data da
E quindi
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