1 1.0.1 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO Esponenziale. Nella prima sezione abbiamo definito le potenze con esponente reale. Vediamo ora in dettaglio le proprietà della funzione esponenziale x 7−→ ax , a > 0, x ∈ R. Proprietà 1.1 (Proprietà dell’esponenziale). Siano x, z ∈ R e a > 0. Allora (i) a0 = 1. (ii) ax > 0 ∀x ∈ R. (iii) ax+z = ax az ∀x ∈ R. (iv) Se a > 1, allora: ax < az ⇐⇒ x < z. (vi) Se 0 < a < 1, allora: ax > az ⇐⇒ x < z. (v) Se a > 1, allora: lim ax = 0 e lim ax = +∞. x→−∞ (vii) Se 0 < a < 1, allora: x→+∞ lim ax = +∞ e lim ax = 0. x→−∞ Esempio 1.2 Grafico di f (x) = 2x e g(x) = x→+∞ 1 x 2 = 2−x = f (−x). y f (x) = 2x g(x) = 2−x 1 b x La funzione f (x) = ax , con a > 1, gode delle seguenti proprietà. • f ha come dominio tutta la retta reale. • Intersezioni con gli assi: punto di coordinate (0,1). • f (x) > 0 ∀x ∈ R. • f è strettamente crescente su R. • lim ax = 0 e lim ax = +∞. x→−∞ x→+∞ 1 La funzione f (x) = ax , con 0 < a < 1, gode delle seguenti proprietà. • f ha come dominio tutta la retta reale. • Intersezioni con gli assi: punto di coordinate (0,1). • f (x) > 0 ∀x ∈ R. • f è strettamente decrescente su R. • lim ax = 0 e lim ax = +∞. x→+∞ x→−∞ Proprietà 1.3 (Altre proprietà delle potenze). Siano a, b > 0, x, y ∈ R. Allora (i) (a · b)x = ax · bx . y (ii) (ax ) = axy . (iii) ax+y = ax ay ∀x ∈ R. (iv) ax < bx ⇐⇒ a < b ∀x > 0 (v) ax > bx ⇐⇒ a < b ∀x < 0 Esempio 1.4 Il disegno sottostante illustra le proprietà (iv) e (v) con a = 2 e b = 3. y f (x) = 2x g(x) = 3x 1 b x Esercizio 1.5 Risolvere la disequazione: 3−x > 1. Ricordiamo che 1 = 30 , quindi 3−x > 1 ⇐⇒ 3−x > 30 ⇐⇒ −x > 0 ⇐⇒ x < 0 2 1.1 Numero “e” di Nepero Definizione 1.6 Definiamo il “numero e” di Nepero mediante n 1 . e = lim 1+ n→+∞ n • Osserviamo che il limite nella definizione presenta la forma di indecisione 1∞ . Inoltre l’esistenza del n limite è garantita dal fatto (non ovvio) che la successione n 7−→ 1 + n1 è monotona crescente e limi- tata, quindi il limite esiste ed è finito (si veda per esempio Bramanti, Pagani, Salsa, ”MATEMATICA Calcolo infinitesimale e algebra lineare”, Zanichelli). • il numero “e” di Nepero è irrazionale, ovvero ha infinite cifre dopo la virgola. Una prima approssimazione di “e” è la seguente: e = 2, 718.... • Ricordiamo la definizione di k! con k intero non negativo. Abbiamo 0! = 1 k! = k · (k − 1) · (k − 2) · (k − 3) · · · 3 · 2 · 1 Si dimostra che ex = +∞ k X x k=0 k! ∀x ∈ R. In particolare e= +∞ X 1 1 1 1 =1+1+ + + + ··· k! 2 6 24 k=0 Questa espressione permette di calcolare valori approssimati di “e”. Esempio 1.7 Grafico di f (x) = ex e g(x) = e−x . y g(x) = e−x f (x) = ex 1 b x 3 1.2 Logaritmo. La funzione logaritmo è definita come la funzione inversa della funzione esponenziale. Più precisamente se a > 0 e a 6= 1, allora il logaritmo in base a di x > 0 è il numero reale y dato da: y = loga x ⇐⇒ ay = x. In altre parole y = loga x è l’esponente da dare alla base a per ottenere l’argomento x del logaritmo. Per esempio log2 8 = 3, infatti 23 = 8. In generale dalla definizione segue loga ay = y. Proprietà 1.8 (Proprietà del logaritmo). Siano x, z > 0, a > 0 e a 6= 1. Allora (i) aloga x = x; (ii) loga 1 = 0; (iii) loga a = 1; (iv) loga (xz) = loga x + loga z; (v) loga (xβ ) = β loga x; (vi) loga x z = loga x − loga z; (vii) loga x = − log a1 x; (viii) loga x = logb x logb a , ∀b > 0 e b 6= 1. Dimostrazione. (i) L’uguaglianza aloga x = x segue direttamente dalla definizione; (ii) loga 1 = y ⇐⇒ ay = 1 ⇐⇒ y = 0. (iii) loga a = y ⇐⇒ ay = a ⇐⇒ y = 1. (iv) Dalla (i) otteniamo: loga (xz) = loga x + loga z ⇐⇒ xz = aloga (xz) = aloga x+loga z = aloga x aloga z = xz. (v) Dalla (i) otteniamo: loga (xβ ) = β loga x ⇐⇒ aloga (x β ) = aβ loga x ⇐⇒ aloga (x (vi) Dalla (iv) e dalla (v) otteniamo: loga x z β ) = aloga x β β ⇐⇒ (xβ ) = (x) ; = loga x z −1 = loga x + loga z −1 = loga x − loga z; (vii) Dalla (i) otteniamo: loga x = − log a1 x ⇐⇒ aloga x = a − log 1 x a = a−1 log 1 x a = 1x 1 log a a = x; (viii) Dalla (i) otteniamo: loga x = logb x logb a ⇐⇒ logb x = logb a loga x ⇐⇒ blogb x = blogb a loga x = blogb a 4 loga x = aloga x . ⊔ ⊓ Esempio 1.9 Grafico di f (x) = loga x e g(x) = log a1 x = −f (x). Nel disegno abbiamo preso a = 2. Come osservato nella sottosezione ??, il grafico di f (x) = loga x è simmetrico al grafico di f −1 (x) = ax rispetto alla bisettrice di equazione y = x. y f (x) = loga x 1b x g(x) = log a1 x Definizione 1.10 La funzione f (x) = ln x = loge x prende il nome di logaritmo naturale. La funzione f (x) = loga x, con a > 1 (quindi in particolare f (x) = ln x), gode delle seguenti proprietà. • Il dominio di f è la semiretta positiva (0, +∞). • Intersezioni con gli assi: punto di coordinate (1,0). • f (x) > 0 per x > 0 e f (x) < 0 per 0 < x < 1. • f è strettamente crescente su R, ovvero: loga x < loga z ⇐⇒ x < z. • lim loga x = −∞ e lim loga x = +∞. x→0+ x→+∞ • La retta di equazione x = 0 è un asintoto verticale. La funzione f (x) = logb x, con 0 < b < 1, gode delle seguenti proprietà. • Il dominio di f è la semiretta positiva (0, +∞). • Intersezioni con gli assi: punto di coordinate (1,0). 5 • f (x) > 0 per 0 < x < 1 e f (x) < 0 per x > 0. • f è strettamente decrescente su R, ovvero: loga x < loga z ⇐⇒ x > z. • lim loga x = +∞ e lim loga x = −∞. x→+∞ x→0+ • La retta di equazione x = 0 è un asintoto verticale. Esempio 1.11 Risolvere la disequazione ln(x) > 3. Essendo 3 = ln(e3 ) ed essendo f (x) = ln(x) una funzione strettamente crescente, otteniamo: ln(x) > 3 ⇐⇒ ln(x) > ln(e3 ) ⇐⇒ ln(x) > ln(e3 ) ⇐⇒ x > e3 . Esempio 1.12 Risolvere la disequazione 1 log2 x < − . 3 Essendo 1 3 1 1 = log2 (2− 3 ) = log2 ( √ 3 ) ed essendo f (x) = log2 x una funzione strettamente crescente, otteniamo: 2 log2 x < 1 ⇐⇒ log2 x < log2 3 1 √ 3 2 1 . ⇐⇒ 0 < x < √ 3 2 y y = log2 x 1 √ 3 b2 b 1 x y= 6 − 13