3. tutorato terza settimana

Università degli Studi di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Matematica
Geometria 1 a.a. 2015-16
terza settimana
3.1) Dati tre insiemi A, B, C. Mostra che:
(i) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(ii) A ∪ B = A se e solo se B ⊆ A.
(iii) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
(iv) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
3.2) Nel piano euclideo, mostra che, se A, B, C sono tre punti distinti del piano allora
~ + BC
~ + CA.
~
~0 = AB
3.3) Nel piano euclideo, mostra che, se A, B, C, D, sono quattro punti distinti allora
~ = AB
~ + BC
~ + CD
~ e ~0 = AB
~ + BC
~ + CD
~ + DA.
~
AD
3.4) Siano u, v e w i vettori liberi rappresentati dai tre spigoli di un cubo uscenti da uno stesso vertice.
Rappresentare il vettore u + v + w.
3.5) Nel piano euclideo, considera un esagono regolare e indica con C il suo centro. Disegna l’esagono con il
~ + CS
~ + CT
~ = ~0.
suo centro, e assegna i nomi R, S, T a tre vertici tali che CR
~ = 1 AB.
~
3.6) Nello spazio euclideo, siano assegnati due punti distinti A e B. Sia C il punto tale che AC
2
~
~
Mostra che CA + CB = ~0 e che C è l’unico punto con questa proprietà. (Il punto C cosı̀ definito è detto
il punto medio di A e B (o del segmento AB), perché è allineato con A e B e i segmenti AC e CB sono
congruenti)
~ + AD
~ = AT
~ )
3.7) Nel piano euclideo, siano assegnati tre punti non allineati A, B, D. Sia T (tale che AB
1
~ .
~ = AT
l’ulteriore vertice del parallelogramma di lati AB e AD. Sia C il punto tale che AC
3
~ + CB
~ + CD
~ = ~0.
a) Mostra che CA
b) Sia M il punto medio del segmento AB (definito come nell’esercizio precedente) e sia S il punto tale
che M~ S = 31 M~D (osserva che M~D è la mediana del triangolo di vertici A, B, D). Mostra che S = C.
~
(suggerimento: M~D = M~A + AD)
c) Mostra che le tre mediane del triangolo di vertici A, B, D si incontrano in un (unico) punto.
3.8) Nello spazio euclideo, si chiama centro di una configurazione di n punti A1 , A2 , . . ., An un punto C tale
~ 1 + CA
~ 2 + . . . + CA
~ n = ~0.
che CA
~ 1 + SA
~ 2+
a) Sia C un centro della configurazione A1 , A2 , . . ., An . Mostra che, per ogni punto S risulta SA
~
~
~
~
~ i]
. . . + SAn = nSC. Osserva in particolare che, se il centro esiste, è unico. [suggerimento: CAi = CS + SA
b) Il Teorema di Grassmann afferma che, comunque fissata una configurazione A1 , A2 , . . ., An di n punti,
esiste un centro C per tale configurazione. Dimostra il teorema di Grassmann.
3.9) Quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi dello spazio vettoriale reale R2 ?
S1 = {(x, y) | x 6= y},
S2 = {(x, y) | x − 3y = 0}
S3 = {(x, y) | esiste t ∈ R tale che x = 2t, y = −3t},
S4 = {(x, y) | x = 1}.
3.10) Sia V lo spazio vettoriale reale dei vettori liberi dello spazio.
~ con AB congruente a P Q.
a) Fissa un segmento P Q e considera linsieme W dei vettori in V del tipo AB,
Dire se W è un sottospazio di V.
~ al variare di A, B ∈ π. Dire se
b) Fissa un piano π e considera linsieme U dei vettori in V del tipo AB,
U è un sottospazio di V.
3.11) Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano U , W due suoi sottospazi.
a) Mostra che, se U ⊆ W allora U è anche sottospazio dello spazio vettoriale W (con struttura indotta).
b) Mostra che, se Z è sottospazio vettoriale di U , allora è anche sottospazio vettoriale di V .
3.12) Considera lo spazio vettoriale reale V = R[t] dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata t. Considera il polinomio p(t) = 1 + t e il sottoinsieme W = {p(t) q(t) | q(t) ∈ V }. Mostra che W è un sottospazio
vettoriale di V .
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