Esercizi 1 1. Cosa `e un campo? Esibire un esempio di campo. 2

Esercizi 1
1. Cosa è un campo? Esibire un esempio di campo.
2. Cosa è uno spazio vettoriale su un campo (K, +, ·)?
3. Dato l’insieme R2 delle coppie di numeri reali,
(i) dimostrare che (R2 , ⊕, ◦) è uno spazio vettoriale sul campo R con le seguenti operazioni:
(x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 − 2, y + y 0 ), per ogni (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ R2
h ◦ (x, y) = (hx + 2 − 2h, hy), per ogni h ∈ R, per ogni (x, y) ∈ R2 ;
(ii) dimostrare che (R2 , , ∗) non è uno spazio vettoriale su R con le seguenti operazioni:
(x, y) (x0 , y 0 ) = (x + y 0 , x0 + y), per ogni (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ R2
h ∗ (x, y) = (hx, hy), per ogni h ∈ R, per ogni (x, y) ∈ R2 .
Si osservi che (R2 , ⊕, ◦) è uno spazio vettoriale diverso dallo spazio vettoriale standard con lo
stesso sostegno R2 .
4. Quali dei seguenti sottoinsiemi dello spazio vettoriale standard 3-dimensionale R3 su R è
linearmente chiuso?
X = {α(2, 1, −1) + (1, 0, 1) | α ∈ R} ⊆ R3 ,
Y = {(a, b, c) ∈ R3 | a + b = 1} ⊆ R3 ,
W = {α(1, −1, 2) + β(2, 1, 1) | α, β ∈ R} ⊆ R3 .
5. Quali dei seguenti sottoinsiemi dello spazio vettoriale dei polinomi R[x] in una variabile x a
coefficienti in R è linearmente chiuso?
Z = {ax + a2 x2 | a ∈ R},
T = {a + (a + b)x + bx2 | a, b ∈ R}.
6. Dato uno spazio vettoriale (V, +, ·) su un campo K, cosa è un sottospazio vettoriale di V ?
7. Dati t vettori v1 , . . . , vt di uno spazio vettoriale (V, +, ·) su un campo K, cosa vuol dire che
un vettore v è combinazione lineare dei vettori assegnati?
8. Dato uno spazio vettoriale (V, +, ·) su un campo K, cosa è un sistema di generatori di V ?
Cosa vuol dire che V è finitamente generato?
9. Quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali?
X = {a0 + a1 x + a0 a1 x2 | a0 , a1 ∈ R} ⊂ R2 [x];
Y = {(0, α + β, β) | α, β ∈ R} ⊂ R3 ;
Z = {a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) + c(1, 1, 2) | a, b, c ∈ R} ⊂ R3 .
Si osservi che l’insieme {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)} è un sistema di generatori del sottospazio
vettoriale Z di R3 .