Dimostrazione della scomposizione del doppio prodotto vettoriale
Si consideri il doppio prodotto vettoriale fra 3 vettori:
v = a × (b × c)
v ⊥ al piano definito da ( b × c ) , a → v ∈ piano definito da ( b, c )
b, c costituiscono una base per tutti i vettori del piano definito da ( b, c )
→ v = mb + nc
Definizione di prodotto vettoriale:
x = 1, y = 2, z = 3
ˆi ˆj
b × c = b1 b2
c1 c2
kˆ
b3 = ( b2 c3 − b3c2 ) ˆi + ( b3c1 − b1c3 ) ˆj + ( b1c2 − b2 c1 ) kˆ
c3
Sviluppando l'algebra:
a × ( b × c ) 1 = a2 ( b × c )3 − a3 ( b × c )2
= a2 ( b1c2 − b2 c1 ) + a3 ( b1c3 − b3c1 )
= ( a2 c2 + a3c3 ) b1 − ( a2b2 + a3b3 ) c1
= ( a1c1 + a2 c2 + a3c3 ) b1 − ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) c1
= ( a ⋅ c ) b1 − ( a ⋅ b ) c1
Simile per 2 e 3
→ a × (b × c) = b (a ⋅ c) − c (a ⋅ b )
