Esercizio 1. Trovare la distanza d tra le due rette r e s di equazioni Cartesiane: −2y + z = 1 x−z = 0 r: r: x − y + 2z = −1 y + 2z = 1 Scrivere r in equazioni parametriche. Esercizio 2. Sia K un campo e sia V uno spazio vettoriale su K. Dimostrare che 0 · v = 0, per ogni v ∈ V e che k · 0 = 0, per ogni k ∈ K. Esercizio 3. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano U e W sottospazi vettoriali di V . Dimostrare che U + W è il piú piccolo (rispetto alla relazione d’ordine di inclusione) sottospazio vettoriale di V contenente U ∪ W . Dimostrare che \ U +W = T. T ≤V U ∪W ⊆T Esercizio 4. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e sia S un sottoinsieme di V . Dimostrare che L(S) è un sottospazio vettoriale di V . [Come al solito S denota l’insieme delle combinazioni lineari degli elementi di S a coefficienti in K.] Dire chi è L(S) quando S = ∅ e quando S è un sottospazio vettoriale di V . Esercizio 5. P Sia U lo spazio vettoriale su R delle funzioni f : R → R della n forma f (x) = i=0 ai xi , con ai ∈ R. Sia V lo spazio vettoriale su R di tutte le funzioni f : R → R. Chiaramente U ≤ V . Dimostrare che la funzione exp : x 7→ ex non appartiene a U . Esercizio 6. Dire se i vettori di R4 1 1 v1 = 0 , v2 = −1 1 1 1 0 ,v = −1 3 0 0 −1 sono linearmente indipendenti. Esercizio 7. Dire se i vettori di R3 1 2 1 v1 = −1 , v2 = −1 , v3 = 1 −2 −1 0 sono linearmente indipendenti. Esercizio 8. Sia U il sottospazio vettoriale 1 1 0 −1 v1 = ,v = −1 2 −1 0 1 1 di R4 generato dagli elementi 1 , v3 = 1 . 1 0 Determinare per quali valori di s ∈ R il vettore s s2 − s ws = 1 s−1 appartiene a U . Esercizio 9. Siano dati i vettori di R3 1 0 1 2 v1 = 1 , v2 = −1 , v3 = 0 , v4 = 1 . 0 −1 −1 −1 Estrarre da {v1 , v2 , v3 , v4 } un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Esercizio 10. Sia v1 , v2 e v3 una base di uno spazio vettoriale V su un campo K. Determinare se i vettori v1 +v2 , v1 +v3 , v2 +v3 sono linearmente indipendenti. Esercizio 11. Considera i vettori 1 2 v1 = 3 4 5 , v2 = 1 0 −1 1 0 . Estendere (v1 , v2 ) ad un base di R5 . Esercizio 12. Sia V = RN lo spazio vettoriale di tutte le successioni f : N → R. Per ogni n ∈ N, sia fn la successione con ( 0 se x 6= n, fn (x) = 1 se x = n. Dire se (fn )n∈N è una base di V . 2