Esercizio 1. Trovare la distanza d tra le due rette r e s di equazioni

Esercizio 1. Trovare la distanza d tra le due rette r e s di equazioni Cartesiane:
−2y + z
= 1
x−z = 0
r:
r:
x − y + 2z = −1
y + 2z = 1
Scrivere r in equazioni parametriche.
Esercizio 2. Sia K un campo e sia V uno spazio vettoriale su K. Dimostrare
che 0 · v = 0, per ogni v ∈ V e che k · 0 = 0, per ogni k ∈ K.
Esercizio 3. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano U e W
sottospazi vettoriali di V . Dimostrare che U + W è il piú piccolo (rispetto alla
relazione d’ordine di inclusione) sottospazio vettoriale di V contenente U ∪ W .
Dimostrare che
\
U +W =
T.
T ≤V
U ∪W ⊆T
Esercizio 4. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e sia S un sottoinsieme
di V . Dimostrare che L(S) è un sottospazio vettoriale di V . [Come al solito S
denota l’insieme delle combinazioni lineari degli elementi di S a coefficienti in
K.] Dire chi è L(S) quando S = ∅ e quando S è un sottospazio vettoriale di V .
Esercizio 5. P
Sia U lo spazio vettoriale su R delle funzioni f : R → R della
n
forma f (x) = i=0 ai xi , con ai ∈ R. Sia V lo spazio vettoriale su R di tutte
le funzioni f : R → R. Chiaramente U ≤ V . Dimostrare che la funzione
exp : x 7→ ex non appartiene a U .
Esercizio 6. Dire se i vettori di R4



1

 1 


v1 = 
 0  , v2 = 
−1


1
1
 1
0 
,v = 
−1  3  0
0
−1




sono linearmente indipendenti.
Esercizio 7. Dire se i vettori di R3






1
2
1
v1 =  −1  , v2 =  −1  , v3 =  1 
−2
−1
0
sono linearmente indipendenti.
Esercizio 8. Sia U il sottospazio vettoriale



1
1
 0 
 −1



v1 = 
,v =
−1  2  −1
0
1
1
di R4 generato dagli elementi



1



 , v3 =  1  .

 1 
0
Determinare per quali valori di s ∈ R il vettore


s
 s2 − s 

ws = 


1
s−1
appartiene a U .
Esercizio 9. Siano dati i vettori di R3








1
0
1
2
v1 =  1  , v2 =  −1  , v3 =  0  , v4 =  1  .
0
−1
−1
−1
Estrarre da {v1 , v2 , v3 , v4 } un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.
Esercizio 10. Sia v1 , v2 e v3 una base di uno spazio vettoriale V su un campo
K. Determinare se i vettori v1 +v2 , v1 +v3 , v2 +v3 sono linearmente indipendenti.
Esercizio 11. Considera i vettori

1
 2

v1 = 
 3
 4
5






 , v2 = 




1
0
−1
1
0



.


Estendere (v1 , v2 ) ad un base di R5 .
Esercizio 12. Sia V = RN lo spazio vettoriale di tutte le successioni f : N → R.
Per ogni n ∈ N, sia fn la successione con
(
0 se x 6= n,
fn (x) =
1 se x = n.
Dire se (fn )n∈N è una base di V .
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