Esame di geometria e algebra

Esame di geometria e algebra
Laurea Ing.
— 27 febbraio 2006 — Traccia I
COGNOME
NOME
1. Discutere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale.

 mx + 4y = 0
x + my = 0

x + 2y = m


−1 1 2
2. Sia S =  3 3 4 una matrice ad elementi reali.
2 1 1
(a) Determinare gli autovalori e gli autospazi di S.
(b) Stabilire se S è diagonalizzabile oppure no.
3. Sia A3 (R) lo spazio affine numerico con un fissato riferimento affine.
(a) Stabilire se le rette
½
q:
2x − 3z = 4
,
x+y−z =3
½
r:
2x − 3z = 1
2y + z = −3
sono parallele o incidenti.
(b) Determinare un’equazione cartesiana del piano π che le contiene.
4. In R4 si consideri il sottoinsieme
H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 3y + z = 0}.
(a) Si dimostri che H è un sottospazio vettoriale di R4 e se ne determini una base B.
(b) Si determini una base di R4 contenente B .
Argomenti teorici
1. Si scriva la definizione di aggiunta di una matrice. Si dimostri che se A ∈ M(n; K) è invertibile allora
A−1 =
1
Agg(A)
det(A)
.
2. Si fornisca un esempio di applicazione lineare f : R2 → R3 e si costruisca la matrice associata a f
rispetto alle basi canoniche.
3. Si scriva la definizione di distanza tra due punti in un piano euclideo e se ne enuncino alcune proprietà.
Traccia I — 1
Esame di geometria e algebra
Laurea Ing.
— 27 febbraio 2006 — Traccia II
COGNOME
NOME
1. Discutere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale.


2x
+
my
=
1
2x
+ (1 + m)y =
0

(3 − m)x +
3y
= 1+m


1 2 1
2. Sia S = 1 −1 3 una matrice ad elementi reali.
1 0 2
(a) Determinare gli autovalori e gli autospazi di S.
(b) Stabilire se S è diagonalizzabile oppure no.
3. Sia E3 lo spazio euclideo con un fissato riferimento cartesiano.
(a) Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta t passante per il punto P (1, 0, 0) e
parallela alla retta
½
x+y+5=0
q:
x − y + 2z = 0
√
(b) Determinare le coordinate dei punti sulla retta t che sono a distanza pari a 3 dal piano
x + 2y − 3z − 1 = 0.
4. In R4 si consideri il sottoinsieme
H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x − z + t = 0}.
(a) Si dimostri che H è un sottospazio vettoriale di R4 e se ne determini una base B.
(b) Si determini una base di R4 contenente B .
Argomenti teorici
1. Si scriva la definizione di aggiunta di una matrice. Si calcoli l’aggiunta di una matrice A ∈ M(4; R)
diversa dalla matrice identica.
2. Sia f : V 7→ V 0 un’applicazione lineare. Si dimostri che l’immagine tramite f di un sottospazio
vettoriale W di V è un sottospazio vettoriale di V 0 .
3. Si scrivano le definizioni di spazio affine e di spazio euclideo.
Traccia II — 1
Esame di geometria e algebra
Laurea Ing.
— 27 febbraio 2006 — Traccia III
COGNOME
NOME
1. Discutere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale.

 2x + my = −4
mx + −3y =
5

3x + y
= −5m


1 1
0
2. Sia S = 1 −1 −2 una matrice ad elementi reali.
2 1 −3
(a) Determinare gli autovalori e gli autospazi di S.
(b) Stabilire se S è diagonalizzabile oppure no.
3. Sia A3 (R) lo spazio affine numerico con un fissato riferimento affine.
(a) Stabilire se le rette
½
q:
3x − 5y + z = 10
,
2x − 3z = 9
½
r:
x − 5y + 4z = 1
2x + 2y − 7z = 0
sono parallele o incidenti.
(b) Determinare un’equazione cartesiana del piano π che le contiene.
4. In R4 si consideri il sottoinsieme
H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | y + z + t = 0}.
(a) Si dimostri che H è un sottospazio vettoriale di R4 e se ne determini una base B.
(b) Si determini una base di R4 contenente B .
Argomenti teorici
1. Si stabilisca se l’insieme delle matrici invertibili GL(n; K) è un gruppo rispetto al prodotto righe per
colonne e si giustifichi la risposta.
2. Si fornisca un esempio di applicazione lineare f : R3 → R2 e si costruisca la matrice associata a f
rispetto alle basi canoniche.
3. Si scriva la definizione di distanza di un punto da una retta in un piano euclideo e si ricavi una formula
che consenta di calcolarla.
Traccia III — 1