Esame di geometria e algebra Laurea Ing. — 27 febbraio 2006 — Traccia I COGNOME NOME 1. Discutere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale. mx + 4y = 0 x + my = 0 x + 2y = m −1 1 2 2. Sia S = 3 3 4 una matrice ad elementi reali. 2 1 1 (a) Determinare gli autovalori e gli autospazi di S. (b) Stabilire se S è diagonalizzabile oppure no. 3. Sia A3 (R) lo spazio affine numerico con un fissato riferimento affine. (a) Stabilire se le rette ½ q: 2x − 3z = 4 , x+y−z =3 ½ r: 2x − 3z = 1 2y + z = −3 sono parallele o incidenti. (b) Determinare un’equazione cartesiana del piano π che le contiene. 4. In R4 si consideri il sottoinsieme H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 3y + z = 0}. (a) Si dimostri che H è un sottospazio vettoriale di R4 e se ne determini una base B. (b) Si determini una base di R4 contenente B . Argomenti teorici 1. Si scriva la definizione di aggiunta di una matrice. Si dimostri che se A ∈ M(n; K) è invertibile allora A−1 = 1 Agg(A) det(A) . 2. Si fornisca un esempio di applicazione lineare f : R2 → R3 e si costruisca la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche. 3. Si scriva la definizione di distanza tra due punti in un piano euclideo e se ne enuncino alcune proprietà. Traccia I — 1 Esame di geometria e algebra Laurea Ing. — 27 febbraio 2006 — Traccia II COGNOME NOME 1. Discutere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale. 2x + my = 1 2x + (1 + m)y = 0 (3 − m)x + 3y = 1+m 1 2 1 2. Sia S = 1 −1 3 una matrice ad elementi reali. 1 0 2 (a) Determinare gli autovalori e gli autospazi di S. (b) Stabilire se S è diagonalizzabile oppure no. 3. Sia E3 lo spazio euclideo con un fissato riferimento cartesiano. (a) Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta t passante per il punto P (1, 0, 0) e parallela alla retta ½ x+y+5=0 q: x − y + 2z = 0 √ (b) Determinare le coordinate dei punti sulla retta t che sono a distanza pari a 3 dal piano x + 2y − 3z − 1 = 0. 4. In R4 si consideri il sottoinsieme H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x − z + t = 0}. (a) Si dimostri che H è un sottospazio vettoriale di R4 e se ne determini una base B. (b) Si determini una base di R4 contenente B . Argomenti teorici 1. Si scriva la definizione di aggiunta di una matrice. Si calcoli l’aggiunta di una matrice A ∈ M(4; R) diversa dalla matrice identica. 2. Sia f : V 7→ V 0 un’applicazione lineare. Si dimostri che l’immagine tramite f di un sottospazio vettoriale W di V è un sottospazio vettoriale di V 0 . 3. Si scrivano le definizioni di spazio affine e di spazio euclideo. Traccia II — 1 Esame di geometria e algebra Laurea Ing. — 27 febbraio 2006 — Traccia III COGNOME NOME 1. Discutere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale. 2x + my = −4 mx + −3y = 5 3x + y = −5m 1 1 0 2. Sia S = 1 −1 −2 una matrice ad elementi reali. 2 1 −3 (a) Determinare gli autovalori e gli autospazi di S. (b) Stabilire se S è diagonalizzabile oppure no. 3. Sia A3 (R) lo spazio affine numerico con un fissato riferimento affine. (a) Stabilire se le rette ½ q: 3x − 5y + z = 10 , 2x − 3z = 9 ½ r: x − 5y + 4z = 1 2x + 2y − 7z = 0 sono parallele o incidenti. (b) Determinare un’equazione cartesiana del piano π che le contiene. 4. In R4 si consideri il sottoinsieme H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | y + z + t = 0}. (a) Si dimostri che H è un sottospazio vettoriale di R4 e se ne determini una base B. (b) Si determini una base di R4 contenente B . Argomenti teorici 1. Si stabilisca se l’insieme delle matrici invertibili GL(n; K) è un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne e si giustifichi la risposta. 2. Si fornisca un esempio di applicazione lineare f : R3 → R2 e si costruisca la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche. 3. Si scriva la definizione di distanza di un punto da una retta in un piano euclideo e si ricavi una formula che consenta di calcolarla. Traccia III — 1