Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O)
Università di Roma ‘La Sapienza’
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
ESAME DEL 17/02/2016
NOME:
COGNOME:
MATRICOLA:
Esercizio 1
Un sistema elettronico ha quattro componenti etichettati come 1, 2, 3 e 4. La probabilitá che il
componente i-esimo si guasti durante un determinato periodo di tempo vale p per ogni i = 1, 2, 3, 4.
Inoltre, i guasti dei singoli componenti sono fisicamente indipendenti l’uno dall’altro. Un errore di
sistema si verifica se il componente 1 si guasta o se almeno due degli altri 3 componenti si guastano.
Specificare uno spazio campione appropriato per descrivere l’esperimento casuale e determinare la
probabilitá di un errore di sistema.
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
soluzione:
Uno spazio campione appropriato per descrivere il sistema é il seguente S = {(δ1 , δ2 , δ3 , δ4 ), δi =
1, 0}, dove δi = 1 indica che la componente i-esima é funzionante e naturalmente δi = 0 indica che
la stessa é guasta. Notiamo che S ha 24 = 16 elementi.
Con lo spazio campione considerato l’evento A=”la prima componente si guasta” si traduce nel
seguente sottoinsieme di S
A = {(0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), ...} = {(0, δ2 , δ3 , δ4 )}
mentre l’evento B=” almeno due degli ultimi 3 componentisi guastano” si rappresenta nel seguente
modo
B = {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1), ...} = {(δ1 , δ2 , δ3 , δ4 ) : δ2 +δ3 +δ4 ≤ 1}.
Per calcolare la probabilitá richiesta bisogna valutare P (A ∪ B): questa puó essere calcolata direttamente valutando l’unione dei due sottinsiemi e poi calcolando la probabilitá dell’insieme ottentuo
per esempio utilizzando la formula P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B). Oppure, piú velocemente,
notando che
A ∪ B = S − {(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)}
si ha che P (A ∪ B) = 1 − P ({(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1)(1, 1, 0, 01)}) = 1 − (1 − p)4 + 3p(1 − p)3
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ESAME DEL 17/02/2016
Esercizio 2 Sia X, Y una coppia di variabili casuali uniformemente distribuita sul dominio {0 <
x < 2, −1 < y < 1}
a) Scrivere la funzione densitá di probabilitá della coppia (X, Y )
b) Calcolare la probabilitá dell’evento A = {(x, y) : y ≤ x − 1}
c) Le due variabili sono indipendenti?
d) Valutare la covarianza cov(X, Y )
e) determinare la funzione di ripartizione della sola variabile X
soluzione:
a)
{
fX,Y (x, y) =
1
4
0
0 < x < 2, −1 < y < 1
altrove
b) come si vede dalla figura l’evento di cui si richiede la probabilitá occupa l’esattamente la metá
del dominio e dunque essendo la distribuzione uniforme possiamo concludere che P (A) = 0.5
c) calcoliamo le due distribuzioni marginali e otteniamo
{ ∫1 1
dy = 1/2 0 < x < 2,
−1 4
fX (x) =
0
altrove
{ ∫2 1
dy = 1/2 −1 < y < 1,
0 4
fY (y) =
0
altrove
pertanto possiamo concludere che ∀(x, y) vale la seguente formula F(X,Y ) (x, y) = fX (x)fY (y).
d) essendo le variabili indipendenti la loro covarianza sará certamente nulla.
e) basta integrare la funzione fX (x) valutata al punto c) e si ottiene

 0
FX (x) =

x
2
1
x≤0
0 < x ≤ 2,
x>2
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ESAME DEL 17/02/2016
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Esercizio 3 I dati che seguono si riferiscono al 2004 e ad un campione casuale di 150 creditori
di una banca che sono risultati insolventi (cioé non hanno restituito il prestito ad essi accordato).
Indichiamo con X il credito non recuperato espresso in migliaia di euro, i dati raccolti sono riassunti
nei seguenti due valori
150
150
∑
∑
xi = 6232.4
x2i = 402703.08
i=1
i=1
a) Stimare il credito medio non recuperato, e la varianza del credito non recuperato.
b) Nel biennio 2002-2003 il credito mediamente non recuperato é stato di 45.25 migliaia di euro.
Poiché nel 2004 é stato modificato il sistema di valutazione del rischio di credito, si puó affermare, ad
un livello di significativitá del 5%, che il sistema di valutazione introdotto ha ridotto l’ammontare
medio del credito non recuperato?
N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati
Soluzione:
a) Le due quantitá possono essere stimate rispettivamente con lo stimatore media campionaria e
varianza campionaria corretta.
1 ∑
6232.4
xi =
= 41.55
150 i=1
150
150
X̄ =
S2 =
150
1 ∑ 2
(
x − 150X̄ 2 ) = 964.81
149 i=1 i
b) Dovendo verificare un’ipotesi la utilizziamo come alternativa e dunque il sitema di ipotesi da
testare é il seguente
{
H0 : µ = 45.25
H1 : µ < 45.25
e quindi si tratta di un test ad una coda. Poiché non viene fatta alcuna ipotesi riguardo la
distribuzione della variabile casuale X e tenendo conto della elevata numerositá campionaria, in
virtú del teorema limite centrale possiamo usare l’approssimazione alla normale, e usare la statistica
test
X̄ − µ0
√ ,
Z=
S/ n
che sotto H0 ha distribuzione N (0, 1). La regione di rifiuto {z : zoss < −zα } é ad una coda. Poiché
41.55−45.25
√
abbiamo zoss = 31.0614/
= −1.4591 e zα = 1.645, il valore osservato della statistica test non
150
cade nella zona di rifiuto. Al prefissato livello di significativitá lipotesi non puó essere rifiutata in
favore di H1 , e quindi il test non é significativo. Il nuovo sistema di valutazione introdotto non
ha ridotto l’ammontare medio del credito non recuperato, che risulta diverso da quello del biennio
2002-2003 per il solo effetto dell’errore di campionamento.
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ESAME DEL 17/02/2016
Domanda 1 Si enunci il principio fondamentale del calcolo combinatorio
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Domanda 2 Si enunci il Teorema Centrale del Limite
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Domanda 3 Si definisca il p-dei-dati.
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