Oscillatore armonico tridimensionale

Oscillatore armonico tridimensionale
• Oscillatore armonico isotropo
L’oscillatore armonico isotropo in 3 dimensioni é descritto dall’hamiltoniana
H =
1
p~
2m
2
+
1
h̄2
1
m ω2 r2 = −
4 + m ω2 r2
2
2m
2
(1)
~ H] = 0
[L,
(2)
con
[~p, H ] 6= 0
• Soluzione in base cartesiana
L’eq.(1) si puó evidentemenete scrivere come la somma di tre oscillatori armonici unidimensionali le cui hamiltoniane commutano
H =
3
X
i=1
3
X
1
Hi
{p2i + m2 ω 2 x2i } =
2m
i=1
(3)
[Hi , Hj ] = 0
(4)
Introduciamo le variabili adimensionali
mω
Qi =
h̄
1
2
1
Pi =
mωh̄
xi
1
2
pi
(5)
e definiamo gli operatori di creazione e distruzione a+
i , ai (i = 1, 2, 3):
1
ai = √ (Qi + iPi )
2
1
a+
i = √ (Qi − iPi )
2
(6)
che soddisfano le relazioni di commutazione
[ai , a+
j ] = δij
+
[ai , aj ] = [a+
i , aj ] = 0
(7)
L’eq.(3) puó essere scritta nella forma
H =
3
X
h̄ω{a+
i ai +
i=1
1
}
2
(8)
Gli autovalori ed autostati dell’hamiltoniana sono quindi (h̄ = 1, ni ∈ Z+ ):
3
H ψn1 ,n2 ,n3 = E(n1 ,n2 ,n3 ) ψn1 ,n2 ,n3 = h̄ω (n1 + n2 + n3 + ) ψn1 ,n2 ,n3
2
dove
ψn1 ,n2 ,n3 =
n1 + n2 + n3
(a+
1 ) (a2 ) (a3 )
√
ψ0
n1 !n2 !n3 !
1
(9)
(10)
e
ai ψ0 = 0
∀i
(11)
Gli autostati dell’energia, tranne lo stato fondamentale ψ0 , sono degeneri con degenerazione
data dalla partizione dell’intero positivo N = n1 + n2 + n3 in tre interi n1 , n2 , n3 non negativi
(N = 1 → 3 stati, N = 2 → 6 stati, N = 3 → 10 stati, N = 4 → 15 stati, in generale
(3+N −1)!/2!N !). Nello spazio delle funzioni delle variabili spaziali questa soluzione equivale a
usare nell’eq.(3) l’espressione in coordinate cartesiane del Laplaciano ed a cercare una soluzione
dell’equazione
h̄2
H Ψ(~r) = −
2m
"
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
!
#
1
+ m ω 2 (x2 + y 2 + z 2 ) Ψ(~r) = E Ψ(~r)
2
(12)
per separazione di variabili
Ψ(~r) = ψ(x) ψ(y) ψ(z)
(13)
dove ψ(xi ) é soluzione dell’equazione stazionaria dell’oscillatore armonico unidimensionale. Ricordiamo che
Q2
i
ψni (Qi ) = Nni Hni (Qi ) e− 2
(14)
dove Nni é una costante di normalizzazione
1
Nni = q
π 1/2 ni ! 2ni
(15)
e Hni (Qi ) é il polinomio di Hermite di ordine ni nella variabile Qi , vedi Scwabl par.3.1.2. Quindi
l’autofunzione generica della hamiltoniana dell’oscillatore armonico tridimensionale é
Ψ(n1 ,n2 ,n3 (x, y, z) = Nn1 Nn2 Nn3 Hn1 (Q1 )Hn2 (Q2 )Hn3 (Q3 ) e−
R2
2
(16)
dove
R2 = Q21 + Q22 + Q23
(17)
L’eq.(16) non é invariante per rotazioni (tranne per lo stato fondamentale). Abbiamo quindi
perso l’invarianza per rotazione eq.(2) come conseguenza di avere scelto una base di autostati
comune a H e Hi . Infatti
~ Hi ] 6= 0
[L,
(18)
~ con autovalore 0 puó anche essere autostato di H e Hi . Notiamo che
Solo l’autostato di L
la degenerazione degli autostati di H é totalmente eliminata fissando gli autovalori (e quindi
anche gli autostati) di 2 delle tre hamiltoniane parziali Hi (la terza é funzione delle prime due)
e di H . Il sistema completo di osservabili é quindi formato da tre osservabili. In effetti anche
l’operatore unitario paritá S definito da
S~xS † = −~x
S~pS † = −~p
(19)
commuta con la hamiltoniana eq.(1). Notiamo che dalla proprietá
S 2 = 1 = SS † = SS −1
2
(20)
segue che gli autovalori di S sono ±1. Dalla definizione, eq.(6), si deduce subito
Sai S † = −ai
†
+
Sa+
i S = −ai
(21)
Ne consegue che gli autostati eq.(16) si dividono in due classi: dispari e pari secondo che cambiano o meno segno per cambiamento di segno della variabile spaziale ~r → −~r, rispettivamente
per N = n1 + n2 + n3 dispari e pari. Si faccia attenzione che ~r (~p) in eq.(19) denota l’osservabile
(operatore hermitiano). Sulle autofunzioni eq.(16) l’azione dell’operatore paritá é
S Ψ(n1 ,n2 ,n3 ) (x, y, z) = Ψ(n1 ,n2 ,n3 ) (−x, −y, −z)
(22)
• Soluzione in base polare
Definiamo gli operatori
1
+
+
A+
± = √ (a1 ± i a2 )
2
1
A± = √ (a1 ∓ i a2 )
2
+
A+
0 = a3
(23)
(24)
A0 = a 3
(25)
che soddisfano
[Ak , A+
l ] = δkl
(26)
+
[Ak , Al ] = [A+
k , Al ] = 0
(27)
la hamiltoniana eq.(8) si scrive
H =
X
h̄ω {A+
k Ak +
k=±,0
1
}
2
(28)
Essendo le relazioni di commutazione degli operatori A+
k , Ak identiche a quelle degli operatori a+
,
a
,
la
struttura
degli
autostati
sará
la
stessa
e
quindi
possiamo scrivere autovalori ed
i
i
autostati della hamiltoniana come (nk ∈ Z+ )
H ψn+ ,n− ,n0 = E(n+ ,n− ,n0 ) ψn+ ,n− ,n0 = h̄ω (n+ + n− + n0 ) ψn+ ,n− ,n0
dove
ψn+ ,n− ,n0 =
+ n0
n+
+ n−
(A+
+ ) (A− ) (A0 )
√
ψ0
n+ !n− !n0 !
k ∈ {±, 0}
Ak ψ0 = 0
(29)
(30)
(31)
+
Dalle relazioni tra gli operatori A+
k , Ak e gli operatori ai , ai e tra questi ultimi e gli operatori
Qi , Qi si ricava
A+
+ =
1
(Q1 − iP1 + iQ2 + P2 )
2
3
A+ =
1
(Q1 + iP1 − iQ2 + P2 )
2
(32)
1
(Q1 − iP1 − iQ2 − P2 )
2
e si deduce che (Li = εimn Qm Pn )
A+
− =
A− =
1
(Q1 + iP1 + iQ2 − P2 )
2
+
Lz ≡ L3 ≡ L0 = h̄(Q1 P2 − P1 Q2 ) = h̄(A+
+ A+ − A − A− )
(33)
(34)
Si vede immediatamente che l’operatore definito dall’eq.(34) é hermitiano, commuta con H e
sugli stati eq.(30) ha autovalori
L0 ψn+ ,n− ,n0 = h̄(n+ − n− ) ψn+ ,n− ,n0 = h̄m ψn+ ,n− ,n0
Si dimostra anche che
√
+
L+ = h̄ 2 (A+
+ A0 + A 0 A− )
√
+
L− = h̄ 2 (A+
0 A+ + A− A0 )
(35)
(36)
(37)
É immediato verificare che L± commutano con la hamiltoniana eq.(28) e soddisfano
[L+ , L− ] = 2 h̄L0
[L0 , L± ] = ± h̄L±
(38)
quindi gli operatori L±,0 soddisfano le relazioni del momento angolare e l’eq.(2) é d’immediata
verifica. Sappiamo che gli autovalori dell’operatore Lz ≡ L0 soddsfano |m| ≤ l quindi mmax = l.
Quindi fissato n = n+ + n− + n0 avremo un valore di l1 = m1,max = n a cui corrispondono
2l1 + 1 stati con valore di m1 tali che −l1 ≤ m1 ≤ l1 . Per esempio
m1 = l1 − 1 −→ n+ = n − 1
m1 = l1 − 2 −→ n+ = n − 2
m1 = l1 − 2 −→ n+ = n − 1
n− = 0
n− = 0
n− = 1
n0 = 1
n0 = 2
n0 = 0
(39)
Dalla precedente equazione si vede che ci sono due stati indipendenti che corrispondono a
m1 = l1 − 2. Ció significa che é possibile costruire uno stato con valore m1 = l1 − 2 tale
che L+ applicato a tale stato dia zero. Quindi abbiamo, fissato n, costruito uno stato con
l2 = m2,max = l1 − 2. Continuando nella costruzione si deduce che per ogni fissato valore di n
ci sono diversi valori del momento angolare l
(
l=
n, n -2, . . . , 0 l pari
n, n -2, . . . , 1 l dispari
. Ne segue che l’energia non dipende da l, ma solo da n. L’indipendenza dell’energia da l
non puó essere spiegata in termini della simmetria per rotazioni spaziali, che implica la non
dipendenza dell’energia dal numero quantico m (quindi implica una degenerazione di ordine
2l + 1).
Gli autostati della hamiltoniana eq.(28) che sono autostati di L0 con autovalore m e di L~ 2 con
autovalore l(l + 1) sono
(A+ )n
(40)
ψn,l,m ≡ ψn,n,n = √+ ψ0
n!
Dall’azione degli operatori L±
q
L± ψl,m = h̄ l(l + 1) − m(m ± 1) ψl,m±1
4
(41)
si deduce che lo stato
ψn,n,m ∼ (L− )n−m ψn,n,n
(42)
Esempio:
ψn,n,n−1 =
n−1
(A+
(A+
0)
+)
q
(n − 1)!
ψ0
(43)

ψn,n,n−2

q
2
(A+ )n−2 (A+
(A+ )n−1 (A+
1
0)
−)
 2(n − 1) q+
= √
ψ0 + q+
ψ0 
2n − 1
(n − 2)!2!
(n − 1)!
(44)
Lo stato con l = n − 2 si scrive
s
ψn,n,n−2 =


2
(A+
)n−2 (A+
(A+ )n−1 (A+
1
2n − 2 
0)
−)
q
q+
ψ0 − q+
ψ0 
2n − 1
2(n − 1)
(n − 2)!2!
(n − 1)!
(45)
Infatti tale stato ha autovalore di L0 uguale a n−2 ed é annichilato da L+ , inoltre é ortonormalizzato ed ortogonale allo stato eq.(44) . Gli autostati con valore di m < l si ricavano operando
con l’operatore L− . Gli stati con altri valori di l hanno ovviamente espressioni piú complicate
e si ricavano imponendo che siano annichilati dal’operatore L+ e che siano ortogonali agli stati
giá costruiti con uguale aotovalore di L0 . Nello spazio delle funzioni delle variabili spaziali
questa soluzione equivale a usare nell’eq.(3) l’espressione in coordinate polari del Laplaciano
ed a cercare una soluzione dell’eq.(12) per separazione di variabili
Ψ(~r) = χ(r) Ylm (θ, φ)
(46)
dove χ(r) é soluzione dell’equazione radiale di Schrödinger
"
1
−
2m
2 ∂
∂2
+
2
∂r
r ∂r
!
#
l(l + 1) 1
+
+ mω 2 r2 χ(r) = E χ(r)
2mr2
2
(47)
e Ylm (θ, φ) é l’armonica sferica, vedi Schwabl - par. 5.3. Introducendo la variabile adimen1
sionale R = (mω/h̄) 2 r, vedi eq.(17), che tuttavia in seguito continueremo ad indicare con r, e
scrivendo l’energia E = h̄ωλ/2 l’eq.(47) si riscrive
"
∂
1 ∂
r2
2
r ∂r
∂r
!
l(l + 1)
+ λ−r −
r2
2
!#
χ(r) = 0
(48)
Si noti che spesso nella letteratura al posto dell’eq.(48) si trova l’equazione per la funzione u(r)
definita da
u(r)
χ(r) =
(49)
r
"
!#
∂2
l(l + 1)
2
+ λ−r −
u(r) = 0
(50)
∂r2
r2
con u(r → 0) = u(r → ∞) = 0.
Scrivendo
χ(r) = R(r) e−r
5
2 /2
(51)
l’eq.(48) si riduce a, indicando con l’apice la derivata della funzione rispetto a r,
00
R +
2
− 2r R” +
r
!
l(l + 1)
λ−3−
R=0
r2
(52)
Cerchiamo una soluzione dell’eq.(52) nella forma di una serie di potenze di r
R(r) =
∞
X
ck r k
(53)
k=α
Il coefficiente della piú piccola potenza (α − 2) di r nell’eq.(52) é
α(α − 1) + 2α − l(l + 1) = α(α + 1) − l(l + 1)
(54)
e deve essere nullo =⇒ α = l. L’altra possibile soluzione α = −(l + 1) va scartata perché da
una soluzione divergente all’origine. Notiamo che l’andamento di χ(r) all’origine puó essere
direttamente ricavata dall’eq.(48) osservando che per r → 0 il termine dominante é il potenziale
centrifugo e quindi l’eq.(48) si puó scrivere
"
∂
1 ∂
r2
2
r ∂r
∂r
!
#
l(l + 1)
−
χ(r) = 0
r2
r→0
(55)
Sostituendo l’eq.(53) nell’eq .(52) si trova
∞
X
{[k(k + 1) − l(l + 1)]ck rk + [λ − 3 − 2k]ck rk+2 } = 0
(56)
k=l
Nell’eq.(56) il coefficiente di rl é ovviamente nullo, il coefficiente di rl+1 é
[(l + 1)(l + 2) − l(l + 1)]cl+1 −→ cl+1 = 0
(57)
Il coefficiente del generico termine rk é:
[k(k + 1) − l(l + 1)]ck + [λ − 3 − 2(k − 2)]ck−2 = 0
cioé
ck =
λ − 3 − 2(k − 2)
ck−2
(l − k)(l + k + 1)
(58)
(59)
L’eq.(59) e l’eq.(57) implicano che nella serie di potenze eq.(53) le potenze di r variano di due
in due quindi abbiamo
R(r) = rl · [serie di potenze in r2 ] = rl v(r) = rl
∞
X
c2p r2p
(60)
p=0
Il rapporto tra due termini consecutivi della serie é dall’eq.(59)
λ − 3 − 2(k − 2) 2
r2
rk→∞ −→
(l − k)(l + k + 1)
k
6
(61)
Dallo sviluppo in serie della funzione esponenziale
2
er =
∞
X
r2k
k=0
k!
r2(k+1) /(k + 1)!
r2
−→
r2k /k!
k
k→∞
=⇒
(62)
quindi la serie eq.(53) tende ad un esponenziale positivo in r2 e di conseguenza la funzione
eq.(51) tenderebbe ad una costante per r → ∞ dando un andamento non accettabile per una
funzione d’onda, che deve appartenere allo spazio L2 . Ne segue che, per avere una soluzione
fisicamente accettabile, nella serie eq.(53) i coefficienti devono essere nulli per k > kmax = n + 2
cioé la serie deve troncarsi e divenire un polinomio. Dall’eq.(59) si vede che questo avviene se
λ = 2n + 3
(63)
e quindi ritroviamo per l’energia l’espressione En = h̄ω(n + 3/2). Quindi l’autofunzione
dell’eq.(12) si scrive, dall’eqq.(46)- (51)
Ψnlm(~r) = Nnl e−r
2 /2
Rnl (r) Ylm (θ, φ)
(64)
dove Nnl é una costante di normalizzazione e Rnl (r) é un polinomio in r di grado n, potenza piú
bassa l, con potenze di r che variano di due in due. Il rapporto tra i coefficienti di due monomi
consecuitivi in r é dato dall’eq.(59), che permette il calcolo per iterazione di tutti i coefficienti in
funzione cl . Quest’ultimo viene fissato dalla normalizzazione. Sostituendo l’eq.(60) nell’eq.(52)
si vede che il polinomio v(r) soddisfa l’equazione di Laguerre, vedi, per es., Messiah-Vol. I App. B. In termini dei polinomi di Laguerre Lpk (t) l’eq.(64) si scrive
Ψnlm(~r) = Nnl e−r
2 /2
l+1/2
r l Lk
(r2 ) Ylm (θ, φ)
[k =
1
(n − l)]
2
(65)
con
|Nnl |2 [2(k + l) + 1] [2(k + l) − 1]
3 1√
...
π
(66)
2
2
2
22
Si ricordi che stiamo usando per la variabile r l’espressione adimensionale eq.(17), cioé stiamo
misurando r in unitá (h̄/mω)1/2 . Dalla definizione, eqq.(23), (24) e (25), si deduce subito
1=
SAk S † = −Ak
+
†
SA+
k S = −Ak
(67)
Quindi gli autostati eq.(30) si dividono in autostati di S di autovalore +1, se n = n+ + n− + n0
é un numero pari, e −1, se n é dispari. Dall’equazione
S Ylm (θ, φ) = Ylm (π − θ, φ + π) = (−1)l Ylm (θ, φ)
(68)
segue che gli autostati con l pari (−→ n pari) sono invarianti per paritá, mentre quelli con l
dispari (−→ n dispari) cambiano segno.
• Relazione tra soluzioni in base cartesiana ed in base polare
Un modo per determinare la relazione tra le autofunzioni nella base sferica e le autofunzioni
nella base cartesiano ´ il seguente: : nell’eq.(16), in cui le variabili adimensionali sono espresse in
7
funzione delle variabili spaziali, usando l’inversa dell’eq.(5), si esprimono le variabile cartesiane
in funzione di quelle polari
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
(69)
La completezza delle basi delle autofunzioni implica che possiamo scrivere, omettendo per
semplificare la scrittura le costanti di normalizzazione:
Rnl (r) Ylm (θ, φ) =
n1 +nX
2 +n3 =n
cn,l,m
n1 ,n2 ,n3 Hn1 (x)Hn2 (y)Hn3 (z)
(70)
n1 ,n2 ,n3
con (x, y, z adimensionali)
cn,l,m
n1 ,n2 ,n3
=
Z
dxdydz Nn1 Nn2 Nn3 Rnl (r) Ylm (θ, φ) Hn1 (x)Hn2 (y)Hn3 (z) e−r
2 /2
(71)
Anche per l’oscillatore armonico tridimensionale é possibile definire gli stati coerenti come
autostati degli operatori ai o Ak . Tali stati hanno la forma del prodotto di tre stati coerenti
introdotti per l’oscillatore armonico unidimensionale.
• Oscillatore armonico anisotropo
Se l’oscillatore armonico non é isotropo, cioé le costanti del potenziale o equivalentemente le
frequenze ωi non sono uguali nelle tre direzioni, la hamiltoniana non si scrive nella forma eq.(1),
ma
3
3
X
X
1
{p2i + m2 ωi2 x2i } =
Hi
(72)
H =
i=1
i=1 2m
e
~ H ] 6= 0
[L,
(73)
In tal caso, siccome l’eq.(4) é ancora soddisfatta, la soluzione si trova nella base cartesiana,
definendo gli operatori di creazione e distruzione a+
i , ai tramite l’eq.(6) in cui gli operatori
Qi , Pi sono definiti dall’eq.(5) in cui si é fatta la sostituzione ω → ωi . L’eq.(9) adesso diventa
H ψn1 ,n2 ,n3 = E(n1 ,n2 ,n3 ) ψn1 ,n2 ,n3 =
3
X
i=1
1
h̄ωi (ni + ) ψn1 ,n2 ,n3
2
(74)
Nello spazio delle funzioni l’autofunzione generica della hamiltoniana dell’oscillatore armonico
tridimensionale anisotropo é
Ψ(n1 ,n2 ,n3 (x, y, z) = Nn1 Nn2 Nn3 Hn1 (Q1 )Hn2 (Q2 )Hn3 (Q3 ) e−
8
Q2
1
2
e−
Q2
2
2
e−
Q2
3
2
(75)