Oscillatore Armonico
L’oscillatore armonico riveste un ruolo estremamente importante nello studio dei sistemi: se un
sistema si trova nel suo punto di equilibrio stabile, e viene sollecitato da una debole perturbazione,
si ottengono oscillazioni armoniche. In altri termini se q0 è la posizione di equilibrio di un sistema
e questo viene debolmente perturbato, il suo moto si può studiare sviluppando in serie di Taylor il
potenziale intorno al punto q0. Poiché il sistema è all’equilibrio, evidentemente il primo termine
dello sviluppo V’(q0) deve essere nullo, da cui, trascurando termini superiori al secondo si può
scrivere:
V (q) V (q0 ) 12 V ' ' (q) q q (q q0 ) 2
0
Ponendo q0 nell’origine si può scrivere : V(q0)=0 e V’’(q)=mw2, quindi :
V (q) 12 mw 2 q 2
Questo potenziale produce quindi piccole oscillazioni di un corpo di massa m con
frequenza angolare w. E’ facile intuire che l’oscillatore armonico trova applicazione in
un elevato numero di casi, ricordiamo ad esempio le oscillazioni degli elettroni nel
campo coulombiano dell’atomo, le vibrazioni molecolari e degli ioni nel reticolo
cristallino, le oscillazioni del campo elettromagnetico in una cavità.
Oscillatore armonico classico
L’Hamiltoniana di un oscillatore armonico classico è:
p2 1
H
mw 2 q 2
2m 2
L’equazione del moto per una particella di massa m soggetta al potenziale armonico si
può scrivere come :
q(t ) qi cos(wt )
Dove qi e si determinano a partire dalle condizioni iniziali. Volendo calcolare
l’energia si trova :
2
1 1
1
1
1
E m q mw 2 q 2 mw 2 qi2 sin 2 (wt ) mw 2 qi2 cos 2 (wt ) mw 2 qi2
2
2
2
2
2
Quindi al variare delle condizioni iniziali l’energia potrà cambiare assumendo
sempre valori positivi con uno spettro continuo.
Oscillatore armonico quantistico
Volendo studiare il problema quantisticamente si dovranno sostituire le variabili classiche q e p
con gli operatori corrispondenti. Si ricorda che questi ultimi soddisfano la regola di
commutazione :
q, p i
L’operatore Hamiltoniano sarà:
1
H
p 2 m 2w 2 q 2
2m
Evidentemente, scrivendo l’equazione di Schröedinger sarà possibile determinare autovalori ed
autovettori dell’oscillatore quantistico:
p2 1
m w 2 q 2 n En n
2m 2
Il problema si può risolvere algebricamente, per far ciò si introducano gli operatori:
p imwq
i
a
2m
a
i
2m
p imwq
N aa
Calcoliamo adesso :
1
1
p 2 imw q, p m 2w 2 q 2 H w
2m
2
1
1
2
2 2 2
a a
p imw q, p m w q H w
2m
2
aa
a, a w
1
H aa a a
2
Quindi:
a, H wa
a
, H w a
Supponiamo adesso che |E> sia un autovettore dell’equazione di Schroedinger con autovalore E,
si ottiene:
E aa E E H
1
1
w E E w E E 0
2
2
Si osservi che il risultato ottenuto è anche il quadrato della norma del ket a|E>, che è
certamente positivo, quindi :
1
w
2
a, H aH Ha w a aH w a Ha
E
Inoltre:
Applichiamo quindi l’operatore a ad ambo i membri dell’equazione di Schroedinger. Si trova:
aH E Ha wa E Ea E Ha E E w a E
Quindi il ket a|E> è un autoket di H che appartiene all’autovalore di
E w
L’azione reiterata di a su |E> genera una serie di autoket di H che appartengono ad autovalori
dell’energia che differiscono l’uno dall’altro di w
a E , a 2 E , a 3 E ... E w, E 2w, E 3w....
0 0
Deve esistere un autoket |0> di H tale che :
a0 0
Inoltre:
1
1
a a 0 H w 0 E0 w 0
2
2
Dove, evidentemente, E0 è l’autovalore di |0>.
E0
Si può quindi concludere che il valore minimo di H è :
1
w
2
Si potrebbe infine osservare che con un processo analogo a quello visto per l’operatore a,
l’autoket a+|E> appartiene ancora ad H ma ha un autovalore pari ad E w
Quindi, a partire da |0> si può costruire tutta una serie di autoket di H:
0 ,a 0 , a
2
0 , a
3
0 ..... a
1
3
5
1
w , w , w ,...... n w
2
2
2
2
n
0 .....
In conclusione : gli autostati di a|E> sono anche autostati di H con autovalori:
1
En w n
2
n 0,1,2,3....
Come si vede i livelli di energia distano l’uno dall’altro di
w
Questa quantità prende il nome di quanto di eccitazione perché è l’unità di energia più piccola con cui
si costruisce lo spettro dell’oscillatore armonico. L’applicazione dell’operatore a+ ad uno stato
aggiunge un quanto allo stato, per cui a+ si dice “operatore di creazione”. L’applicazione di a ad uno
stato sottrae un quanto allo stato e quindi a si dice “operatore di annichilazione”. L’operatore N
conta il numero di quanti nello stato e prende il nome di operatore numero.
E’ interessante osservare che lo stato fondamentale (n=0) ha un’energia non nulla e pari a
E0
Quest’ultima è detta “energia di punto zero”.
1
w
2
Autofunzioni dell’oscillatore armonico
Per calcolare le autofunzioni dell’oscillatore armonico si utilizza un metodo iterativo.
Definiamo prima lo stato fondamentale come quello che non ha quanti:
a 0 0
Si moltiplichi adesso a sinistra per uno stato <q| riscrivendo tutto in termini di p e di q:
mw
ip
qq
0
2
mw
mw
d
q
0 q 0
2
mw dq
Questa è un’equazione differenziale del primo ordine che si può integrare e, imponendo la
condizione di normalizzazione (che fornisce il termine pre-esponenziale), si trova:
1
4
1 mw 2
q
mw 2
0 (q)
e
Una volta determinato lo stato fondamentale, utilizzando l’operatore di creazione i possono
determinare tutti gli stati che descrivono il sistema. Così facendo si ottengono delle funzioni
d’onda costituite da esponenziali il cui fattore è un polinomio noto come polinomio di Hermite.
I polinomi di Hermite formano un insieme completo ortonormale.
