Capitolo 13
SISTEMA QUANTICO A DUE
LIVELLI
Un sistema quantico a due soli livelli di energia e’ molto semplice ed istruttivo da trattare. Non ostante
la sua semplicita’ si adatta allo studio di sistemi fisici di grande interesse, come particelle di spin 12 in
un campo magnetico, correlazioni di pairing responsabili della superfluidita’ e della superconduttivita’,
informatica quantistica, ecc.
13.1
Autostati ed autovalori della Hamiltoniana imperturbata
Una particella di spin 21 è un sistema a due livelli. Infatti, posta in un campo magnetico B0 diretto lungo
l’asse z, la particella ha una Hamiltoniana Ĥ0 = γŝz B0 , essendo γsz il momento magnetico. La matrice
corrispondente nello spazio di Hilbert ha le stesse due dimensioni di ŝz , e come vettori di base si possono
scegliere i suoi autovettori | 12 , ± 12 >≡ |± >. In questa base H0 e’ diagonale ed i suoi elementi di matrice
sono < σ|Ĥ0 |σ 0 >= δσ,σ0 γ~σ e sono gli autovalori stess della hamiltoniana. L’equazione agli autovalori si
scrive
²+ 0 1
1
²+ 0 0
0
(13.1)
= ²+ ,
= ²−
0 ²−
0
0
0 ²−
1
1
con ²± = ± 12 γ~B0 ≡ ±².
13.2
Autostati ed autovalori della Hamiltoniana perturbata
Se al campo magnetico B0 diretto lungo l’asse z viene aggiunto un campo magnetico B1 diretto lungo
l’asse x, la nuova Hamiltoniana Ĥ = Ĥ0 + V̂ = Ĥ0 + B1 γŝx non e’ piu’ diagonale. Il nuovo campo
contribuisce con gli elementi di matrice
< ±|V̂ |± > =
< +|V̂ |− > =
< −|V̂ |+ > =
γB1 < ±|ŝx |± >= 0
1
γB1 < +|ŝx |− >= γB1 < +|ŝ+ |− >=
2
1
γB1 < −|ŝx |+ >= γB1 < −|ŝ− |+ >=
2
66
(13.2)
1
~γB1 = V
2
1
~γB1 = V
2
(13.3)
(13.4)
CAPITOLO 13. SISTEMA QUANTICO A DUE LIVELLI
67
Dobbiamo quindi risolvere l’equazione agli autovalori per la nuova Hamiltoniana (d’ora in poi chiamiamo ²− = −² e ²+ = +²
²
V
(13.5)
Ĥ|φ± >=
|φ± >= E± |φ± > ·
V −²
Gli elementi di matrice fuori diagonale sono responsabili delle transizioni tra i due livelli.
L’equazione secolare
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ²−E
V
¯
¯
¯ = −(² − E)(² + E) − V 2 = 0
¯
¯
¯
¯ V
−² − E ¯
(13.6)
√
e’ una equazione di secondo grado in E con autovalori E± = ± ²2 + V 2 . Gli autovettori si determinano
dall’equazione omogenea
² V cosθ±
cosθ±
(13.7)
= E±
V −²
sinθ±
sinθ±
dove le componenti (definite a meno di una costante arbitraria) sono scritte in modo da essere automaticamente normalizzate ad 1. Risolvendo si ottengono i rapporti delle componenti, cioe’
cotgθ± =
V
E± − ²
(13.8)
Per V=0 riotteniamo autovalori ed autovettori della Hamiltoniana imperturbata, per V << 1 possi2
amo sviluppare in serie di V l’energia dello stato fondamentale. All’ordine piu’ basso si ha: E− ≈ −²− V2² .
Ritroviamo lo stesso risultato applicando la teoria perturbativa (Cap.XI.1). Al primo ordine in V si
verifica subito che ∆E1 =< −|V |− >= 0. Al secondo ordine si ha
∆E2 =< −|V
1̂ − P̂
| < −|V |+ > |2
V2
V |− >= −
=−
H0 − ²−
²+ − ²−
2²
(13.9)
dove 1̂ − P̂ e’ lo spazio complementare allo stato fondamentale rappresentato nel nostro spazio a due
dimensioni dal solo stato |+ >. Questo risultato coincide con lo sviluppo al secondo ordine del valore
esatto dell’enegia e quindi prova la validita’ del calcolo perturbativo. E’ interessante considerare il caso
in cui ² = 0 per cui i due stati hanno la stessa energia (che sia zero od un altro valore e’ inessenziale). In
questo caso si applica la teoria perturbativa di un livello degenere (Cap.XI.2) che al primo ordine da’ la
rottura di degenerazione con energie E = ±V corrispondenti al calcolo esatto E± nel caso ² = 0.
13.3
Hamiltoniana dipendente dal tempo
Nel caso in cui la perturbazione si accende in un certo istante di tempo, diciamo t=0, e dura per un
intervallo T, nasce il problema della transizione da uno stato ad un altro come, vedremo, nello studio
delle transizioni elettroniche degli atomi. Ora, data la semplicita’ del sistema, queste si possono trattare
in maniera esatta. La probabilita’ di transizione dallo stato fondamentale |− > allo stato eccitato |+ >
si ottiene facendo evolvere lo stato fondamentale stesso per mezzo dell’operatore di traslazione temporale
|ψ(t) >= Û (t, 0)|− > e quindi proiettando sullo stato eccitato,cioe’
P+− = | < +|Û (t, 0)|− > |2
(13.10)
CAPITOLO 13. SISTEMA QUANTICO A DUE LIVELLI
68
. La probabilita’ che non si abbia la transizione sara’ ovviamente P−− = 1 − P+− .
Siccome la Hamiltoniana non e’ esplicitamente dipendente dal tempo, |ψ(t) > si determina facilmente.
Gli autostati φ± formano un insieme completo ad ogni istante di tempo. Quindi possiamo esprimere
|ψ(t) > in termini di questi ultimi
|ψ(t) > =
=
|φ+ (t) >< φ+ (t)|ψ(t) > +|φ− (t) >< φ− (t)|ψ(t) >
e
i/~E+ t
|φ+ (0) >< φ+ (0)|ψ(0) > +e
i/~E− t
|φ− (0) >< φ− (0)|ψ(0) >
(13.11)
(13.12)
dove si e’ tenuto conto che gli stati φ± evolvono nel tempo come stati stazionari, in quanto autostati
dell’hamiltoniana Ĥ e che le ampiezze sono invarianti per traslazioni temporali. Imponiamo ora che lo
stato iniziale sia lo stato fondamentale imperturbato, cioe’ |ψ(0) >= |− > e calcoliamo l’ampiezza di di
probabilita’ per la transizione allo stato eccitato |+ >
< +|ψ(t) >= cosθ+ sinθ+ ei/~E+ t + cosθ− sinθ− ei/~E− t =
1
[sin2θ+ ei/~E+ t + sin2θ− ei/~E− t ] (13.13)
2
Tenendo conto che sin2θ− = −sin2θ+ si ha
P+− = sin2 (2θ+ )sin2 [(~E+ − ~E− )t] =
²2
p
V2
sin2 [ ²2 + V 2 t]
2
+V
(13.14)
La precedente equazione prende il nome di formula di Rabi. Quindi risulta che la probabilita’ di
transizione dalla stato fondamenale allo stato eccitato varia sinusoidalmente nel tempo, cioe’ il sistema
oscilla da uno stato all’altro. L’ampiezza di oscillazione non e’ nulla, quindi lo stato eccitato non e’ mai
occupato con probabilita’ 1. Un analogo classico di questo sistema e’ il sistema di due pendoli accoppiati.
Vediamo infine il caso in cui il campo perpendicolare all’asse z ruota con velocita’ angolare ω, cioe’
B1 = B1 (cos(ωt)x + sin(ωt)y), dove x e y sono i versori degli assi ortogonali all’asse z. Ora gli elementi
di matrice del potenziale sono
< ±|ŝx cos(ωt) + ŝy sin(ωt)|∓ >=
1
< ±|ŝ± |∓ > e∓iωt = V e∓ωt
2
(13.15)
quindi la nuova hamiltoniana si scrive
²
Ĥ(t) =
V eiωt
V e−iωt
−²
(13.16)
Essendo il potenziale esplicitamente dipendente dal tempo non potremmo applicare la procedura di
prima per determinare le transizioni quantiche. Tuttavia passando ad un riferimento rotante con la stessa
velocita’ angolare del campo magnetico, dovremmo ricondurci al caso precedente. Consideriamo infatti
la trasformazione unitaria corrispondente ad una rotazione
−iωt
e
R̂(t) =
0
0
(13.17)
eiωt
L’equazione di Schroedinger dipendente dal tempo si scrive nel riferimento rotante
d
1 0
i~ |ψR (t) >= ĤR |ψR (t) > +~ω/2
|ψR (t) >
dt
0 −1
(13.18)
CAPITOLO 13. SISTEMA QUANTICO A DUE LIVELLI
dove |ψR >= R̂|ψ > e ĤR = R̂Ĥ R̂† ed inoltre
1
0
² − ~ω/2
ĤR + ~ω/2
=
0 −1
V
69
V
(13.19)
−² + ~ω/2
Quindi il passaggio al riferimento rotante rimuove la dipendenza dal tempo della Hamiltoniana e
allontana gli autovalori di energia dei due livelli di ~ω. La formula di Rabi si puo’ quindi applicare
direttamente cambiando la distanza tra i due livelli 2² con 2² − ~ω. Nel caso in cui 2² = ~ω si parla
di risonanza. L’ampiezza di oscillazione ora diventa 1, il che significa che in condizioni di risonanza il
sistema oscilla dallo stato di spin downa allo stato di spin up (spin flip totale), mentre in condizioni di
non risonanza lo spin flip e’ solo parziale poiche’ l’ampiezza e’ minore di uno.
