L’Hamiltoniana dell’oscillatore armonico dotato di carica e in un campo
elettrico costante e uniforme E è:
H=
p2
mω 2 q 2
+
+ eEq
2m
2
(1)
Se consideriamo solo la parte di potenziale1
W (q) =
mω 2 q 2
+ eEq
2
risulta chiaro che si tratta ancora di una parabola (e quindi di un oscillatore armonico), traslata orizzontalmente e verticalmente; possiamo determinare l’entità della traslazione cercando la posizione del minimo (che
chiamiamo a):
dW
= mω 2 q + eE = 0
dq
→
q=−
eE
=a
mω 2
Per l’entità della traslazione verticale valutiamo W (a):
m
eE
e2 E 2
ω 2 e2 E 2
W (a) = − eE
=
−
2 m2 ω 4
mω 2
2mω 2
Dunque possiamo scrivere l’hamiltoniana nella forma
H=
p2
mω 2
e2 E 2
+
(q − a)2 −
2m
2
2mω 2
(risultato a cui si poteva giungere peraltro semplicemente completando
il quadrato in (1))
Se chiamiamo H̃ l’Hamiltoniana di un normale oscillatore armonico
H̃ =
p2
mω 2 q 2
+
2m
2
possiamo riscrivere H in termini di H̃ e dell’operatore di traslazione
spaziale U (a):
e2 E 2
H = U (a) H̃ −
U −1 (a)
(2)
2mω 2
Quello che vogliamo ora è determinare gli autovalori Hn in funzione degli
H̃n , che conosciamo. Per fare questo, basta dimostrare al volo un teoremino2 .
1
Uso W perché V già balla in giro per l’operatore di traslazione della quantità di moto.
Sembra una potenza ma chissene frega.
2
Che tra l’altro ho scoperto che c’è in forma super stringata sul Picasso, nel paragrafo
degli operatori unitari.
1
Teorema 1. Sia U un operatore unitario, c ∈ C un numero e A e B operatori
per cui vale la relazione:
A = U BU −1 + c
Allora, se |bi è un autovettore di B con autovalore b, |ai = U |bi è un
autovettore di A con autovalore b + c.
Dimostrazione. È sufficiente applicare A su |ai: infatti si ha
A|ai = U BU −1 U |bi + cU |bi = U B|bi + cU |bi = U b|bi + cU |bi
Raccogliendo, si ha
A|ai = (b + c)U |bi = (b + c)|ai
ossia la tesi.
Applicando il teorema appena dimostrato alla (2) si ottiene dunque
e2 E 2
1
e2 E 2
Hn = H̃n −
=
n
+
~ω
−
2mω 2
2
2mω 2
2
