SCHEDA PRE-2
Numeri immaginari, numeri complessi
e operazioni relative
Numeri immaginari
Si definisce unità immaginaria il numero, non appartenente all’insieme dei numeri reali, che elevato al quadrato dà come risultato –1.
Essa viene indicata con il simbolo j (molte volte anche con i) e per definizione si ha:
j 2 = −1
⇒
j = −1
Numeri immaginari sono, per esempio, i seguenti:
−9 = −1 9 = j 3
−7 = −1 7 = j 7
− −25 = − −1 25 = − j 5
Numeri complessi
Un qualsiasi numero del tipo a + jb costituisce un numero complesso ed è formato da una parte reale a e da una parte immaginaria jb. Il numero reale b è
detto coefficiente della parte immaginaria.
Prerequisiti
7
Sono, per esempio, numeri complessi i seguenti:
3 + −4 = 3 + −1 4 = 3 + j 2
−1 − −7 = −1 − −1 7 = −1 − j 7
Forma algebrica, forma trigonometrica
e rappresentazione dei numeri complessi
Un numero complesso è rappresentato in forma algebrica quando è espresso
come z = a + jb, specificandone la parte reale e quella immaginaria.
La rappresentazione grafica di un numero complesso può essere fatta su un
piano cartesiano, detto piano di Gauss (di Argand-Gauss, per la precisione),
avente come ascisse l’asse dei numeri reali e come ordinate quello dei numeri
immaginari. Al numero complesso z corrisponde un punto P, avente come
ascissa a (distanza di P dall’asse immaginario) e come ordinata b (distanza di P
dall’asse reale), come indicato nella figura PRE-2.1. Nella figura PRE-2.2
sono rappresentati alcuni numeri complessi sul piano di Gauss.
Im
b
Im
Im
a
P(a + jb)
4
b
a
–2 0
Figura PRE–2.2
–4
Rappresentazione sul
– 2 – j4
piano di Gauss di alcuni
numeri complessi.
–6
4
5
4 – j6
O
Re
modulo del numero complesso, pari a quello del vettore e dato da:
ρ = a2 + b2
•
[P2.1]
argomento del numero complesso, pari all’angolo formato dal vettore con
l’asse reale positivo e misurato in senso antiorario; esso è dato da:
tgϑ =
b
a
⇒ ϑ = arctg
b
a
[P2.2]
Noti i valori del modulo e dell’argomento, si ricavano quelli di a e b con le
formule seguenti:
⎧a = ρ cos ϑ
⎨
⎩b = ρ senϑ
a
Figura PRE–2.3
Corrispondenza
tra numeri complessi
e vettori.
Il punto P individua in modo univoco il vettore OP di figura PRE-2.3 e
quindi il numero complesso z può essere associato a tale vettore, a patto di definirne i due seguenti elementi caratteristici, ricavabili mediante le formule dei
triangoli rettangoli applicate al triangolo OPK:
•
b
ϑ
Re
–5
Figura PRE–2.1
Corrispondenza
tra numeri
complessi e punti
del piano di Gauss.
ρ
2
– 5 + j2
O
P (a + jb)
(5 + j 4)
[P2.3]
K
Re
8
Modulo A • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase
Sostituendo le espressioni [P2.3] nella forma algebrica del numero complesso e mettendo in evidenza ρ si ricava:
z = ρ ( cos ϑ + j senϑ )
[P2.4]
che costituisce la forma trigonometrica del numero complesso, nella quale
vengono messi in risalto il modulo e l’argomento. Spesso la forma precedente
viene scritta con la seguente notazione abbreviata, detta forma polare:
z = ρ ∠ϑ
[P2.5]
tralasciando l’indicazione delle funzioni trigonometriche.
Forma esponenziale
Esiste una formula matematica, detta formula di Eulero, che sancisce la seguente uguaglianza:
cosϑ + j senϑ = e jϑ
Sostituendo nella [P2.4] si ottiene:
z = ρ e jϑ
[P2.6]
che rappresenta la forma esponenziale del numero complesso –z , per scrivere la
quale è sufficiente conoscere il modulo e l’argomento, espresso in radianti, del
numero complesso.
ESEMPIO 1
Scrivere in forma trigonometrica, polare ed esponenziale i seguenti numeri complessi e rappresentarli graficamente: z–1 = 3 + j 3; z–2 = –3 + j 3; z–3 = 4 – j 5.
■ Il modulo e l’argomento dei tre numeri complessi sono dati da:
ρ1 = a12 + b12 = 32 + 32 = 18 = 3 2
tg ϑ1 =
π
b1 3
= = 1 ⇒ ϑ 1 = 45° =
4
a1 3
ρ 2 = a22 + b22 = ( −3)2 + 32 = 18 = 3 2
tg ϑ 2 =
3
b2
=
= −1 ⇒
a2 −3
ϑ 2 = 135°=
ρ 3 = a32 + b32 = 42 + ( −5) = 41
tg ϑ3 =
b3 −5
=
= − 1,25
a3
4
⇒
2
3
π
4
ϑ 3 = – 5 1 , 3 ° = − 0, 896 rad
Applicando le espressioni [P2.4] e [P2.5] si possono scrivere i tre numeri
complessi in forma trigonometrica e polare:
z1 = ρ1 (cosϑ 1 + j sen ϑ 1 ) = 3 2 (0,707 + j 0,707)
z1 = 3 2 ∠ 45°
z2 = ρ 2 (cosϑ 2 + j sen ϑ 2 ) = 3 2 ( − 0,707 + j 0,707) z2 = 3 2 ∠ 135°
z3 = ρ 3 (cosϑ 3 + j sen ϑ 3 ) =
41(0,625 + j 0,78)
z3 = 41 ∠ − 51,3°
9
Prerequisiti
Le espressioni in forma esponenziale sono date da:
j
π
4
j
3
π
4
z1 = ρ1 e jϑ1 = 3 2 e
z2 = ρ2 e jϑ 2 = 3 2 e
z3 = ρ3 e jϑ 3 = 41 e− j 0,896
La rappresentazione grafica è riportata nella figura PRE-2.4.
Im
– 3 + j3
3 + j3
3
2
b
q
q
b
2
3
45° 135°
0
Re
– 51,3°
qb
41
4 – j5
ESEMPIO 2
Dati i seguenti numeri complessi, espressi in forma polare: z–1 = 5 ∠ 30°,
z–2 = 4 ∠ – 60°, scriverli in forma algebrica.
■ Per effettuare la conversione basta applicare le formule [P2.3], ottenendo:
b1 = ρ1 senϑ1 = 5 sen 30° = 2, 5
a1 = ρ1 cosϑ1 = 5 cos 30° = 4, 33
a2 = ρ2 cosϑ 2 = 4 cos (– 60°) = 2
b2 = ρ2 senϑ 2 = 4 sen (–60°) = –3, 464
z1 = a1 + jb1 = 4, 33 + j 2,5
z2 = a2 + jb2 = 2 − j 3,464
Operazioni con i numeri complessi
Le regole per effettuare le operazioni di somma, sottrazione, prodotto e divisione
tra due numeri complessi sono riportate nella tabella PRE-2.1. Per brevità sono
stati omessi alcuni passaggi intermedi; per eventuali approfondimenti si rimanda
a testi specifici.
La tabella è stata stilata secondo i seguenti criteri:
•
•
per effettuare la somma e la differenza si parte dalla forma algebrica e si determinano, per passare alle altre forme, il modulo e l’argomento del numero complesso risultante in funzione dei valori di a e b dei numeri complessi di partenza;
per effettuare il prodotto e il quoziente si parte dalla forma esponenziale, si
determinano il modulo e l’argomento del numero complesso risultante e si
passa alla forma algebrica calcolando la parte reale e il coefficiente dell’immaginario di tale numero complesso.
Figura PRE–2.4
Esempio 1.
Modulo A • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase
10
È anche possibile eseguire il prodotto e il quoziente direttamente dalla forma
algebrica, con le seguenti formule:
⎧ z1 z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + j ( a1b2 + b1a2 )
⎪
b1a2 − a1b2
⎨ z1 a1a2 + b1b2
⎪ z = a2 + b2 + j a2 + b2
2
2
2
2
⎩ 2
[P2.7]
Tabella PRE-2.1 Operazioni tra due numeri complessi
z 1 = a1 + j b1
Forma algebrica
Forma trigonometrica
Forma polare
Forma esponenziale
z 2 = a2 + j b2
ρ12 =
Somma
Differenza
Prodotto
z 1 + z 2 = (a1 + j b1 ) + (a2 + j b2 )
z 1 + z 2 = (a1 + a2 ) + j ( b1 + b2 )
ϑ12 = arctg
b1 + b2
a1 + a2
z 1 + z 2 = ρ12 ∠ϑ12
z 1 + z 2 = ρ12 e j ϑ12
z 1 – z 2 = ρ12 ∠ϑ12
z 1 − z 2 = ρ12 e j ϑ12
z 1 + z 2 = ρ12 ( cosϑ12 + j senϑ12 )
z 1 − z 2 = (a1 + j b1 ) − (a2 + j b2 )
z 1 − z 2 = (a1 − a2 ) + j ( b1 − b2 )
(a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2
ρ12 =
(a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2
ϑ12 = arctg
b1 − b2
a1 − a2
z 1 − z 2 = ρ12 ( cosϑ12 + j senϑ12 )
z 1 ⋅ z 2 = ρ1e j ϑ1 ⋅ ρ2e j ϑ2
z 1 ⋅ z 2 = a12 + j b12
a12 = ρ1ρ2 cos (ϑ1 + ϑ 2 )
b12 = ρ1ρ2sen (ϑ1 + ϑ 2 )
z1 ⋅ z 2 =
z 1 ⋅ z 2 = ρ1ρ2 ∠(ϑ1 + ϑ 2 )
= ρ1ρ2 ⎡⎣cos (ϑ1+ϑ 2 ) + j sen (ϑ1 + ϑ 2 ) ⎤⎦
a12 =
ρ1
cos (ϑ1 − ϑ 2 )
ρ2
b12 =
ρ1
sen (ϑ1 − ϑ 2 )
ρ2
z1
=
z2
ρ
= 1 ⎡⎣cos (ϑ1 − ϑ 2 ) + j sen (ϑ1 − ϑ 2 ) ⎤⎦
ρ2
ρ12 = ρ1ρ2
ϑ12 = ϑ1 + ϑ 2
z1
= a + j b12
z 2 12
Quoziente
z 1 ⋅ z 2 = ρ12e j ϑ12
z 1 ρ1
=
∠(ϑ1 − ϑ 2 )
z 2 ρ2
z 1 ρ1 e j ϑ1
=
= ρ12 e j ϑ12
z 2 ρ2 e j ϑ2
ρ12 =
ρ1
ρ2
ϑ12 = ϑ1 − ϑ 2
Dall’esame della tabella si deducono le seguenti regole:
È la somma di due numeri complessi ha come parte reale la somma delle
parti reali e come coefficiente della parte immaginaria la somma dei coefficienti;
È la differenza di due numeri complessi ha come parte reale la differenza
delle parti reali e come coefficiente della parte immaginaria la differenza
dei coefficienti;
Prerequisiti
È il prodotto di due numeri complessi ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti;
È il quoziente di due numeri complessi ha come modulo il quoziente dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.
ESEMPIO 3
Eseguire le quattro operazioni sui seguenti numeri complessi espressi in forma
algebrica: z–1 = 1 + j 1,732 ; z–2 = 3 – j 3
■ Usando le formule riportate nella tabella PRE-2.1 si ha:
somma: z1 + z2 = (1 + 3) + j (1,732 – 3) = 4 − j 1,268
differenza: z1 − z2 = (1 − 3) + j (1, 732 + 3) = −2 + j 4, 732
prodotto: ρ1 = a12 + b12 = 1 + 3 = 2
ϑ1 = arctg
b1
1, 732
= arctg
= 60°
a1
1
ρ2 = a22 + b22 = 9 + 9 = 3 2
ϑ 2 = arctg
b2
−3
= arctg
= − 45°
a2
3
ϑ12 = ϑ1 + ϑ 2 = 60° − 45° = 15°
ρ12 = ρ1ρ2 = 2 × 3 2 = 8, 485
z1 z2 = ρ12 ∠ϑ12 = 8, 485 ∠15°
a12 = ρ12 cosϑ12 = 8, 485 cos 15°= 8,2 b12 = ρ12 senϑ12 = 8, 485 sen 15° = 2, 2
z1 z2 = a12 + jb12 = 8, 2 + j 2,2
quoziente: ρ12 =
ρ1
2
=
= 0, 471
ρ2 3 2
ϑ12 = ϑ1 − ϑ 2 = 60° − ( − 45°) = 105°
z1
= ρ12 ∠ϑ12 = 0, 471∠105°
z2
a12 = ρ12 cos ϑ12 = 0, 471 cos105° = − 0,122
b12 = ρ12 seenϑ12 = 0, 471 sen105° = 0, 455
z1
= a12 + jb12 = − 0, 122 + j 0, 455
z2
Agli stessi risultati si perviene eseguendo il prodotto e il quoziente con le
formule [P2.7], com’è facile verificare.
Coniugato di un numero complesso
Il numero complesso a – jb è il coniugato di a + jb. Due numeri si dicono
quindi complessi coniugati quando hanno la stessa parte reale e coefficienti
della parte immaginaria di segno opposto.
Per i numeri complessi coniugati vale la seguente regola del prodotto:
(a + jb)(a − jb) = a 2 − jab + jab − j 2 b 2 = a 2 + b 2
Tale regola viene usata per eseguire il quoziente tra due numeri complessi
espressi in forma algebrica [P2.7, seconda formula].
Per esempio si ha:
1
1 + j 1 (1 + j 1)(3 − j 4) 3 − j 4 + j 3 − j 2 4 7 − j 1 7
=
=
=
= −j
2
2
25
25
25
25
3+ j 4
3 +4
11
Modulo A • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase
12
Alcuni casi particolari
•
Moltiplicando un numero complesso z per una costante reale k, il modulo
del nuovo numero complesso diventa kρ, mentre l’argomento rimane costante (figura PRE-2.5). Si ha, infatti:
Im
Figura PRE–2.5
Prodotto
di un numero
complesso z–
per una costante
reale k.
kz
kb
z
b
ϑ
a
O
ka
Re
y = kz = k ( a + jb ) = ka + jkb
ρy = k 2 a2 + k 2b2 = k a2 + b2 = k ρ
•
ϑ y = arctg
kb
b
= arctg = ϑ
ka
a
Moltiplicando un numero complesso z per l’unità immaginaria j, si ottiene
un nuovo numero complesso, avente lo stesso modulo ma il cui vettore rappresentativo è ruotato di 90° in senso antiorario rispetto a z (figura PRE2.6). Si ha, infatti:
y = jz = j ( a + jb ) = ja + j 2 b = −b + ja
Im
Figura PRE–2.6
Prodotto
di un numero
complesso z–
per l’unità
immaginaria j.
y = jz
a
b
z = a + jb
z
y = – b + ja
ϑ y = ϑ z + 90°
90°
ϑy
ϑz
–b
•
a
O
Il reciproco 1/j dell’unità immaginaria è uguale a (–j), come di seguito dimostrato:
1
1
=
=
j
−1
•
Re
−1
−1
j
=
= −j
=
−1 −1
−1 −1
Dividere un numero complesso z– per l’unità immaginaria j è come moltiplicare z– per (– j) e quindi il nuovo numero complesso avrà lo stesso modulo,
ma il vettore rappresentativo sarà ruotato di 90° in senso orario rispetto a z–
(figura PRE-2.7).
13
Prerequisiti
Im
b
Figura PRE–2.7
Quoziente
tra un numero
complesso z–
z
90°
e l’unità
immaginaria j.
ϑz
b
O
a
Re
ϑy
–a
y = z = – jz
j
z = a + jb
y = b – ja
ϑ y = ϑ z – 90°
