Analisi I - Math Unipd

Programma di Analisi Matematica I
per Fisica ed Astronomia
A.A. 1999/2000, I semestre
U.Marconi – C.Marastoni
0.Preliminari. Insiemi e funzioni: unione, intersezione, ascisse sulla retta e coordinate cartesiane
nel piano, funzioni iniettive e suriettive, immagini ed antiimmagini, composizione di funzioni, funzioni
inverse, disuguaglianze, disequazioni, massimo e minimo di un sottoinsieme dei reali, descrizione assiomatica dei numeri reali, archimedeità del corpo reale, assioma di completezza, estremo inferiore e
superiore, funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni circolari). Nozioni preliminari
di logica, complementi di teoria degli insiemi. Parte positiva e parte negativa [An. Uno, Cap.0, tutto
tranne la dimostrazione in 0.3.20, e tranne 0.4.12, 0.4.13,0.4.14, 0.9]
1.Numeri complessi. Definizione, forma algebrica, piano di Argand–Gauss, modulo, coniugio,
disuguaglianza triangolare, forma polare, forma trigonometrica, interpretazione geometrica della moltiplicazione, forma esponenziale, potenze e radici. Equazioni di secondo grado nel campo complesso.
Equazioni algebriche di grado qualsiasi e teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato); fattorizzazione dei polinomi a coefficienti reali. Segmenti e rette nel piano C. [An. Uno,Capitolo 1, tutto
esclusi da 1.13.3 alla fine]
2.Principio di induzione. Buon ordinamento di IN e principio di induzione; esempi : disuguaglianza di Bernoulli, disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica (con dim.); la successione
n 7→ (1 + x/n)n ; il numero e. Un sottoinsieme di IR è finito se e solo se ogni suo sottoinsieme non vuoto
ha massimo e minimo.
3.Formule combinatorie. Coefficienti binomiali e binomio di Newton (senza dim.).
4.Topologia in IR. Aperti e chiusi di IR. I chiusi non vuoti superiormente limitati hanno massimo.
˜ = IR ∪ {−∞, +∞}. [An. Uno Cap.6 tutto].
Intorni di un punto di IR. Topologia sulla retta estesa IR
5.Limiti. Limite di una successione di numeri reali. Unicità del limite. Sottosuccessioni. Teorema
dei carabinieri. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Successioni infinitesime. Operazioni con i limiti, finiti ed infiniti. Limiti delle successioni monotone. Esponenziale naturale (senza
dim.). Funzioni elementari: logaritmo, potenza, esponenziale a base qualsiasi. Ogni successione di IR ha
una sottosuccessione monotona. Ogni successione limitata di IR ha una sottosuccessione convergente.
Chiusura e punti di accumulazione.[An. Uno Cap. 7, tutto tranne le dimostrazioni di 7.16 e 7.17]
6.Topologia del piano. Topologia in C: rettangoli aperti. Aperti e distanza euclidea. Limiti
delle successioni complesse. Operazioni con i limiti complessi. Ogni successione limitata di C ha una
sottosuccessioone convergente. [An. Uno Cap. 8 tutto]
7.Serie numeriche, reali e complesse. Definizione di serie; definizione di serie convergente.
Serie a termini positivi. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Criterio del confronto, della
radice, del rapporto. Serie a termini di segno alterno: il criterio di Leibniz. Serie a termini complessi.
Esponenziale complesso (senza dim.) e funzioni trigonometriche: exp nel campo complesso, coseno e
seno. [An. Uno Cap.9 tutto tranne: dimostrazioni in 9.12 e in 9.13, e da 9.15 alla fine]
8.Complementi di topologia. Chiusura e punti di accumulazione. Compatti per successioni.
Interno. Frontiera. [An. Uno Cap. 10 tutto]
9.Limiti delle funzioni reali. Definizione di limite per una funzione reale. Limiti delle restrizioni,
limiti destri e sinistri. Limiti delle funzioni monotone. Cambiamento di variabile nei limiti. Limiti
notevoli [An. Uno Cap. 11 tutto].
10.Continuità per funzioni reali di una variabile reale. Definizione, legami con il limite. Continuità delle composizioni. Continuità delle restrizioni e delle estensioni. Continuità globale. Lipschitz
˜ caratterizzazione
continuità. Prolungamento per continuità. Topologia indotta su un sottoinsieme di IR;
della continuità con le antiimagini degli aperti. Immagini continue di intervalli sono intervalli: il teorema degli zeri. Continuità delle funzioni monotone. Omeomorfismi. Omeomorfismi di intervalli. Le
funzioni arcocoseno ed arcoseno. Funzioni iperboliche e loro inverse. Discontinuità di prima specie.
Massimi e minimi locali ed assoluti. Funzioni continue su compatti. Teorema di Weierstrass e teorema
topologico di Rolle [An. Uno Cap. 12; tutto tranne: dim. 12.6.1, le dim. del paragrafo 12.7, il 12.11 e
da 12.18.6 alla fine].
11.Confronto locale tra funzioni. Il simbolo o piccolo; principio di sostituzione. Asintoticità.
Essere dello stesso ordine. Criterio di asintoticità per la convergenza di una serie. Sviluppi asintotici
1
delle funzioni elementari. Scale di confronto e parti principali. Relazione “O grande”. [An. Uno Cap.
13 tutto]
12.Derivate. Definizione e prime proprietà; derivazione della somma, del prodotto, delle funzioni
composte. Derivata del modulo di una funzione. Derivazione delle funzioni inverse. Derivata di arcoseno
ed arcocoseno. [An. Uno Cap. 14 :tutto escluso 14.14].
13.Integrazione. Funzioni a scalino. Integrale delle funzioni a scalino a supporto compatto.
Funzioni Riemann integrabili. Proprietà dell’integrale. Disuguaglianza fondamentale. Integrale ed area
del trapezoide. integrale esteso ad un intervallo limitato. Integrabilità delle funzioni monotone e delle
funzioni bilanciate. Integrale esteso ad un intervallo orientato. Integrale indefinito. Continuitá della
funzione integrale. Teorema di Torricelli. Primitive. Teorema fondamentale del calcolo. Integrali
indefiniti. Metodi di integrazione indefinita. Integrazione per parti e per sostituzione. Teorema della
media. [An. Uno Cap. 15 tutto ( 15.3 leggere solo e saltare inoltre 15.18, 15.19 e 15.21) ]
14.Teoremi classici del calcolo differenziale. Derivate ed estremi locali. Teorema di Rolle
(versione classica); teorema di Lagrange sul valor medio. Monotonia e segno della derivata. Teorema
degli incrementi finiti e regola di de l’Hôpital (dimostrazione solo nel caso 0/0). Derivate successive.
Estremi locali interni e derivata seconda. Convessità, concavità di una funzione e monotonia della
derivata prima (senza dim.). Asintoti. Sviluppi asintotici e derivate successive: formula di Taylor con
il resto di Peano. Sviluppo del logaritmo, del binomio, dell’arco tangente [An. Uno Cap. 16 : tutto con
le eccezioni dette].
15.Funzioni a valori complessi. Funzioni complesse di variabile reale: definizione di derivata e
di integrale ( soltanto leggere). Formula di Taylor con il resto in forma integrale. Formula di Taylor
con il resto in forma di Lagrange (dimostrazioni facoltative).
16.Integrali generalizzati. Definizioni. Convergenza assoluta. Criterio di confronto e criterio di
asintoticità. Integrali generalizzati e serie. Criterio dell’integrale. Criterio di Abel–Dirichlet. [An. Uno
Cap. 18: tutto meno 18.7 e 18.8]
18.Equazioni differenziali. L’equazione lineare del primo ordine: formula risolutiva, esistenza ed
unicità della soluzione soddisfacente una condizione iniziale. Equazioni del secondo ordine a coefficienti
costanti; formula risolutiva. Metodo dei coefficienti indeterminati. Cenno sulle equazioni a variabili
separabili. [An.Uno Cap. 20: tutto meno dimostrazione di 20.5.5 ; saltare le dimostrazioni del paragrafo
20.7.]
Testi:
• G. De Marco, Analisi Uno (seconda o terza edizione), ed. Decibel-Zanichelli.
• G. De Marco e C. Mariconda, Esercizi di Analisi Uno, seconda edizione, ed. Decibel-Zanichelli.
Lo studente può presentare dimostrazioni diverse da quelle del libro, purché corrette.
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