Appunti di matematica - Breviario matematico

D
C
Claudio Duchi
Appunti di matematica
TERZO
−mercoledì 22 febbraio 2017 12:03:52 CET−
2
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mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
Indice
Elenco delle tabelle
5
Elenco delle figure
7
Elenco esempi
8
Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contro esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capitolo 1
Equazioni frazionarie di primo grado
10
Capitolo 2
Notazione scientifica
11
2.1
2.2
Definizioni . . . . . . . . . . . . . .
Operazioni in notazione scientifica
2.2.1 Somma differenza . . . . . .
2.2.2 Moltiplicazione divisione . .
2.2.3 Potenze . . . . . . . . . . .
Capitolo 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4.3
4.4
4.5
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I numeri complessi
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Goniometria
Angoli . . . . . . . . . . . . . .
Misura dell’angolo . . . . . . .
4.2.1 Angolo sessagesimale . .
4.2.2 Radianti . . . . . . . . .
Funzioni goniometriche . . . . .
4.3.1 Coseno . . . . . . . . .
4.3.2 Andamento coseno . . .
4.3.3 Seno . . . . . . . . . . .
4.3.4 Andamento seno . . . .
4.3.5 Tangente . . . . . . . .
4.3.6 Andamento tangente . .
4.3.7 Cotangente . . . . . . .
4.3.8 Andamento Cotangente
Funzioni goniometriche inverse
4.4.1 Arcoseno . . . . . . . .
4.4.2 Arcoseno . . . . . . . .
4.4.3 Arcotangente . . . . . .
Relazioni fondamentali . . . . .
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15
Definizioni e vocabolario . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Potenze dell’unità immaginaria . . . . .
Piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operazioni con i numeri complessi . . . . . . .
3.3.1 Somma e differenza di numeri complessi
3.3.2 Prodotto di numeri complessi . . . . . .
3.3.3 Reciproco di un numero complesso . . .
3.3.4 Divisione fra numeri complessi . . . . .
Algebra dei numeri complessi . . . . . . . . . .
Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capitolo 4
4.1
4.2
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8
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INDICE
4.6
4.7
4
4.5.1 Seno e coseno . . . . . . . . .
4.5.2 Tangente cotangente . . . . .
Angoli associati . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Angoli supplementari . . . .
4.6.2 Angoli la cui differenza è 180◦
4.6.3 Angoli esplementari . . . . .
4.6.4 Angoli opposti . . . . . . . .
4.6.5 Angoli complementari . . . .
4.6.6 Angoli la cui differenza è 90◦
4.6.7 Angoli la cui somma è 270◦ .
4.6.8 Angoli la cui differenza è 270◦
Equazioni goniometriche elementari .
4.7.1 Equazione sin x = m . . . . .
4.7.2 Equazione cos x = m . . . . .
4.7.3 Equazione tan x = m . . . . .
Capitolo 5
5.1
5.2
5.3
6.2
6.3
6.4
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44
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46
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Coordinate polari
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65
65
65
67
68
68
68
70
70
71
Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Da cartesiano a polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Da Polare a cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Tabelle Goniometriche
76
Esempi
79
.1
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55
Trigonometria
I triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Relazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . .
Risoluzione triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Angolo acuto e ipotenusa noti . . . . . . . . .
6.2.2 Angolo acuto e cateto noti . . . . . . . . . . .
6.2.3 Ipotenusa e cateto . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Cateti noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triangoli qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Teorema dei seni . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Teorema di Carnot . . . . . . . . . . . . . . .
Risoluzione di triangolo qualunque . . . . . . . . . .
6.4.1 Un lato e due angoli . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Due lati e l’angolo fra essi compreso . . . . .
6.4.3 Due lati e l’angolo apposto a quello compreso
6.4.4 Tre lati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capitolo 7
7.1
7.2
7.3
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Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Andamento funzione sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Classificazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Capitolo 6
6.1
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Goniometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Indice analitico
mercoledì 22 febbraio 2017
80
12:03:52
Elenco delle tabelle
3.1
Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Seno Coseno Tangente Cotangente . .
Angoli complementari e supplementari
Equazioni elementari in seno . . . . .
Equazioni elementari in coseno . . . .
Equazioni elementari in tangente . . .
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38
45
49
52
54
6.1
I triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1
Valori particolari di funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2
3
Trovare seno coseno tangente cotangente noti seno o coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Trovare seno coseno nota la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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5
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Elenco delle figure
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Piano complesso . . . . . . . . . . . . .
Numeri complesso, coniugato e opposto
Somma nel piano complesso . . . . . . .
Differenza nel piano complesso . . . . .
Coordinate polari . . . . . . . . . . . . .
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. 17
. 18
. 22
4.1
4.2
4.3
4.4
4.6
4.7
4.8
4.9
4.11
4.12
4.13
4.15
4.17
4.18
4.19
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.27
4.29
4.31
4.32
4.33
4.35
4.37
4.39
4.41
4.42
Angoli concavi e convessi, positivi e negativi
Angoli notevoli . . . . . . . . . . . . . . . .
Mappa goniometria l’angolo . . . . . . . . .
Radianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circonferenza goniometrica . . . . . . . . .
Andamento coseno 0◦ < α < 180◦ . . . . . .
Andamento coseno 180◦ < α < 360◦ . . . .
Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento seno 0◦ < α < 180◦ . . . . . . .
Andamento seno 180◦ < α < 360◦ . . . . . .
Segno funzioni goniometriche . . . . . . . .
Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento tangente 0◦ < α < 180◦ . . . .
Andamento tangente 180◦ < α < 360◦ . . .
Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento cotangente 0◦ < α < 180◦ . . .
Andamento cotangente 180◦ < α < 360◦ . .
Funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazione fondamentale goniometria . . . .
Coseno noto seno . . . . . . . . . . . . . . .
Seno Noto Coseno . . . . . . . . . . . . . .
Seno Coseno nota la tangente . . . . . . . .
Angoli associati . . . . . . . . . . . . . . . .
Angoli complementari . . . . . . . . . . . .
Equazioni Elementari . . . . . . . . . . . . .
Equazioni Elementari . . . . . . . . . . . . .
Seno casi particolari . . . . . . . . . . . . .
Coseno casi particolari . . . . . . . . . . . .
Tangente equazione elementare . . . . . . .
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32
32
33
34
34
35
35
36
37
37
39
40
40
42
43
45
46
47
48
51
53
5.1
5.2
5.3
5.5
5.7
5.9
Funzione sinusoidale
Ampiezze diverse . .
Frequenze diverse . .
Fasi . . . . . . . . .
Quadratura di fase .
Opposizione di fase .
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56
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57
58
58
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6.1
6.2
6.3
6.5
6.6
6.7
Triangolo rettangolo . . . . . . . .
Elementi di un triangolo rettangolo
Teorema di Pitagora . . . . . . . .
Risoluzione triangoli rettangoli . .
Teorema dei seni . . . . . . . . . .
Teorema di Carnot . . . . . . . . .
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60
61
63
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67
68
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6
ELENCO DELLE FIGURE
7
6.9
Risoluzione triangoli qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.1
7.2
Sistema di riferimento polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Cartesiano – polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3
4
Valori particolari funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Goniometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
Elenco esempi
Esempi
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
7.1
7.2
Notazione scientifica . . . . . . . . . . . . . . .
Notazione scientifica numero intero . . . . . . .
Notazione scientifica numero intero . . . . . . .
Notazione scientifica numero decimale . . . . .
Notazione scientifica numero decimale . . . . .
Somma in notazione scientifica stesso ordine . .
Somma in notazione scientifica ordine diverso .
Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . .
Coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somma numeri complessi . . . . . . . . . . . .
Prodotto numeri complessi . . . . . . . . . . . .
Prodotto numeri complessi . . . . . . . . . . . .
Prodotto di numeri complessi . . . . . . . . . .
Reciproco numero complesso . . . . . . . . . .
Reciproco numero complesso . . . . . . . . . .
Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Semplificare espressione . . . . . . . . . . . . .
Semplificare espressione . . . . . . . . . . . . .
Angoli sessagesimali . . . . . . . . . . . . . . .
Conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convertire in forma sessagesimale . . . . . . . .
Radianti in gradi . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gradi in radianti . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trovare il valore del coseno di un angolo noto il
Trovare le funzioni nota una . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Equazione goniometrica . . . . . . . . . . . . .
Risolvere triangolo rettangolo . . . . . . . . . .
Risolvere triangolo rettangolo . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risolvere triangolo rettangolo . . . . . . . . . .
Risolvere triangolo rettangolo . . . . . . . . . .
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seno
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11
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12
12
12
12
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13
13
16
16
18
18
18
19
19
19
19
20
20
26
26
27
28
28
39
41
46
47
47
48
49
50
50
51
52
52
53
62
63
64
65
65
72
73
ELENCO ESEMPI
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
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Contro esempi
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
1
Equazioni frazionarie di primo grado
Procedura 1.1
1. Per ogni frazione che contengono le incognite discuto i denominatori.
• Pongo i denominatori uguali a zero e risolvo l’equazione che ottengo.
• Escludo i valori trovati negandoli 6=
2. Scompongo il fattori primi i denominatori (attenzione alla differenza fra fattori ed addendi)
es: 2x e 2x + 1 sono due fattori fra loro diversi.
3. Calcolo il mcm (Fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente)
4. Traccio la linea di frazione
5. Per ogni frazione divido il minimo comune multiplo per il denominatore e il risultato della
divisione lo moltiplico per il numeratore ricordando che sono obbligatorie le parentesi quando
• Moltiplico fra loro polinomi
• Davanti alla linea di frazione vi è un segno meno
6. Ottengo un unica frazione che semplifico togliendo il denominatore
7. Eseguo i calcoli e separo le incognite che scrivo sinistra, dai numeri che scrivo a destra,
ricordando che se un termine viene spostato rispetto all’uguale cambia di segno. Attenzione
Se un numero moltiplica una lettere es 2x è un’incognita e andrà a sinistra ,diverso da 2 che
andra a destra.
8. Sommo fra di loro le incognite e fra di loro i numeri.
9. Ottengo
• Un’equazione di primo grado che risolvo dividendo a sinistra e a destra per il numero
davanti all’incognita. Attenzione ogni numero ha un segno che non può essere trascurato.
– Controllo se i risultati ottenuti sono accettabili confrontandoli con i valori che ho
escluso eventualmente scartandoli nel caso fossero uguali.
• Un’uguaglianza impossibile. Esempio 0 = 2
• Un’identità. Esempio 2 = 2
10
2
2.1
Notazione scientifica
Definizioni
Definizione 2.1. Notazione scientifica
Un numero è scritto in notazione scientifica se è scritto nella forma
numero × 10esponente
dove
numero è un numero compreso tra 1 compreso e 10 escluso e non termina per zero.
esponente un qualunque numero intero positivo o negativo
Osservazione 2.1. Numeri in notazione scientifica
I seguenti numeri sono in notazione scientifica 3,45 × 10−4 ; 1,124 × 106 ; 6,23 × 107 e 2,54 × 10−7
Osservazione 2.2. Numeri non in notazione scientifica
I seguenti numeri non sono in notazione scientifica 34,5 × 10−4 ; 6,20 × 107 e 0,254 × 10−7 il
primo ha il numero maggiore di 10. Il secondo il numero termina per zero. Il terzo il numero è
minore di uno.
Esempio 2.1. Notazione scientifica
Normale
Notazione scientifica
124
1230
0,245
0,0043
100 000 000
1,24 × 102
1,23 × 103
2,45 × 10−1
4,3 × 10−3
1,0 × 108
Esempio 2.2. Notazione scientifica numero intero
Per scrivere 1532 in notazione scientifica, osserviamo che il numero è di quattro cifre. La virgola,
posta per convenzione dopo la cifra due, va spostata tra la cifra uno e cinque cioè verso sinistra
di tre posti. Quindi
1532 = 1,532 × 103
11
2.2. OPERAZIONI IN NOTAZIONE SCIENTIFICA
12
Esempio 2.3. Notazione scientifica numero intero
15 270 numero intero. La virgola va spostata verso sinistra di quattro posti. Quindi
15 270 = 1,5270 × 104
Lo zero non va considerato.
Esempio 2.4. Notazione scientifica numero decimale
723,57 numero decimale. La virgola va spostata verso sinistra di due posti. Quindi
723,57 = 7,2357 × 102
Esempio 2.5. Notazione scientifica numero decimale
0,027 Numero decimale. La virgola va sposta dopo la prima cifra non zero partendo da sinistra.
La virgola si posiziona tra le cifre due e sette quindi si sposta verso destra di due posti, l’esponente
è negativo. Quindi
0,027 = 2,7 × 10−2
Definizione 2.2. Ordine di grandezza
L’esponente della potenza del dieci viene chiamato ordine di grandezza.
2.2
2.2.1
Operazioni in notazione scientifica
Somma differenza
Se i numeri hanno lo stesso ordine di grandezza si procede come nel seguente esempio
Esempio 2.6. Somma in notazione scientifica stesso ordine
Per sommare 1,24 × 103 con 3,35 × 103 si procede come segue
1,24 × 103 + 3,35 × 103 =
Si raccoglie 103 e si ottinene
= (1,24 + 3,35)103
= 4,59 × 103
Se gli ordini di grandezza sono diversi il procedimento è lievemente diverso
Esempio 2.7. Somma in notazione scientifica ordine diverso
Per sommare 3,578 × 105 con 2,415 × 107 si procede come segue
3,578 × 105 + 2,415 × 107 =
Prima si riduce allo stesso ordine
= 3,578 × 105 + 241,5 × 105
Si raccoglie 105 e si ottinene
= (3,578 + 241,5) · 105
= 245,078 × 105
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
CAPITOLO 2. NOTAZIONE SCIENTIFICA
13
correggiamo il numero e otteniamo
= 2,450 78 × 107
2.2.2
Moltiplicazione divisione
Nella moltiplicazione e nella divisione di due numeri non viene fatta la distinzione fra ordini di grandezza.
Esempio 2.8. Moltiplicazione
Per moltiplicare 3,157 × 105 con 7,12 × 103 si procede come segue
3,157 × 105 · 7,12 × 103 =
raggruppando
= (3,157 · 7,12) · 105 · 103
= 22,477 84 × 108
correggiamo il numero e otteniamo
= 2,247 784 × 109
Esempio 2.9. Moltiplicazione
Per dividere 3,5 × 105 con 4,2 × 107 si procede come segue
3,5 × 105
=
4,2 × 107
raggruppando
3,5 105
·
=
4,2 107
= 0,8333 × 10−2
=
correggiamo il numero e otteniamo
= 8,333 × 10−3
2.2.3
Potenze
La potenza di un numero scritto in notazione scientifica si ottiene applicando la potenza a ciascuna delle sue
parti.
Esempio 2.10. Potenza
Per calcolare (7,38 × 104 )3 si procede come segue
(7,38 × 104 )3 =
raggruppando
= (7,38)3 · (104 )3
= 401,947 272 × 1012
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
2.2. OPERAZIONI IN NOTAZIONE SCIENTIFICA
14
correggiamo il numero e otteniamo
= 4,019 472 72 × 1014
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12:03:52
3
3.1
I numeri complessi
Definizioni e vocabolario
Definizione 3.1. Unità immaginaria
Chiamo unità immaginaria j il simbolo definito da
j 2 = −1
L’unità immaginaria permette di dare un senso alle radici di numeri negativi. Per esempio
p √
√
√
√ √
−2 = −1 2 = j 2 2 = ±j 2
Attenzione 3.1
Attenzione all’uso dell’unità immaginaria
p
√
√
−1 · −1 = (−1) · (−1) = 1 = 1
√
√ √
L’errore nasce dall’aver accettato come valida a · b = ab che è definita solo per a ≥ 0 e b ≥ 0
−1 = j · j =
3.1.1
√
Potenze dell’unità immaginaria
Per la potenza immaginaria valgono le seguenti relazioni
j0 = 1
j1 = j
j 2 = −1
j 3 = −j
j4 = 1
j5 = j
j 6 = −1
L’esempio precedente ha un’interpretazione geometrica. Le potenze dell’unità sono rotazioni con centro nell’origine
come appare evidente dalla figura fig. 3.1 nella pagina seguente.
Definizione 3.2. Numero complesso
Un numero complesso è
a è chiamata parte reale
z = a + jb
< (z) = a
15
3.2. PIANO COMPLESSO
16
Im
+j = j 1 = j 5
0
−1 = j 2 = j 6
1 = j0 = j4
Re
−j = j 3 = j 7
Figura 3.1: Piano complesso
b viene detta parte immaginaria
= (z) = b
Esempio 3.1. Numero complesso
Il numero
z = −2 + 3j
è un numero complesso che ha per parte reale
<(z) = −2
e per parte immaginaria
=(z) = 3
Definizione 3.3. Complesso coniugato
Dato un numero complesso z = a + bj , il coniugato è il numero z = a − bj
Esempio 3.2. Coniugato
Se z = 3 + 2j il coniugato è z = 3 − 2j
Definizione 3.4. Numero opposto
Dato un numero complesso z = a + bj , è opposto è il numero −z = −a − bj
Definizione 3.5. Modulo
Dato un numero complesso z = a + bj , il modulo è il numero |z| =
3.2
√
a2 + b2
Piano complesso
Un numero complesso z = a + bj è una coppia di numeri (a; b). A questa coppia di punti corrisponde un
punto del piano chiamato piano di Argand-Gauss. Nel piano di Argand-Gauss l’asse delle x viene chiamato
asse reale < mentre l’asse delle y è chiamato asse immaginario =. Al numero complesso corrisponde il vettore
applicato all’origine ed estremità in (a; b). Nella figura fig. 3.2 nella pagina successiva sono rappresentati tre
numeri complessi z, z e −z. Ad ogni vettore è associato un angolo θ che forma con l’asse reale chiamato fase.
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CAPITOLO 3. I NUMERI COMPLESSI
17
Im
b
z
θ
−a
a
−z
Re
z
Opposto
Coniugato
−b
Figura 3.2: Numeri complesso, coniugato e opposto
Im
A
z1
z=
z1
+ z2
O
D
Re
z2
B
Figura 3.3: Somma nel piano complesso
3.3
Operazioni con i numeri complessi
3.3.1
Somma e differenza di numeri complessi
Definizione 3.6. Somma di numeri e differenza di complessi
Dati due numeri complessi z = a + j b e z1 = a1 + j b1 la loro somma è il numero
z + z1 = a + a1 + (b + b1 )j
Dal punto di vista grafico la somma di due numeri complessi equivale alla somma grafica di due vettori
tramite la regola del parallelogramma che ha per lati i due vettori come mostrato nella figura fig. 3.3.
La differenza tra due numeri complessi è più complessa dal punto di vista grafico. Si procede come nella
figura fig. 3.4 nella pagina successiva.
z = z1 − z2 = z1 + (−z2 )
Quindi dalla differenza si passa alla somma con l’opposto.
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3.3. OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
18
Im
D
−z
2
A
z=z
1
z1
C
−z2
O
Re
z2
B
Figura 3.4: Differenza nel piano complesso
Esempio 3.3. Somma numeri complessi
Sommiamo z = 3 − 2j e z1 = 4 + 5j
z + z1 = 3 − 2j + 4 + 5j = 3 + 4 + (−2 + 5)j = 7 + 3j
Lo zero dei numeri complessi ha la seguente forma
0 = 0 + 0j
La somma di un numero con il suo coniugato è un numero reale puro.
z + z = a + j b + a − j b = 2a
La differenza di un numero con il suo coniugato è un numero immaginario puro.
z − z = a + j b − a + j b = 2j b
3.3.2
Prodotto di numeri complessi
Definizione 3.7. Prodotto fra numeri complessi
Dati due numeri complessi z = a + bj e z1 = a1 + bj 1 chiamo prodotto il numero
z · z1 = (a + bj )(a1 + b1 j ) = a · a1 − b · b1 + (a · b1 + a1 · b)j
Esempio 3.4. Prodotto numeri complessi
Moltiplicare z = 3 + 5j e z1 = 2 + 3j 1
z · z1 = (3 + 5j )(2 + 3j ) = 6 + 9j + 10j + 15j 2 = 6 + 9j + 10j − 15 = −9 + 19j
nel calcolo bisogna ricordarsi che j 2 = −1
Esempio 3.5. Prodotto numeri complessi
Moltiplicare z = 4 − 2j e z1 = 1 + 3j 1
z · z1 = (4 − 2j )(1 + 3j ) = 4 + 12j − 2j − 6j 2 = 4 + 12j − 2j + 6 = 10 + 10j
nel calcolo bisogna ricordarsi che j 2 = −1
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CAPITOLO 3. I NUMERI COMPLESSI
19
L’unità o l’elemento neutro del prodotto ha la forma
z = 1 + 0j
Il prodotto fra due numeri coniugati è un numero reale puro
z · z1 = (a + bj )(a − bj ) = a · a + b · b + (a · b − a · b)j = a2 + b2
Quindi per ottenere la moltiplicazione di due numeri complessi coniugati basta sommare il quadrato della parte
reale con il quadrato della parte immaginaria.
Esempio 3.6. Prodotto di numeri complessi
Per moltiplicare z = 4 − 2j e z = 4 + 2j 1
z · z = (4 − 2j )(4 + 2j ) = 16 + 4 = 20
3.3.3
Reciproco di un numero complesso
Definizione 3.8. Reciproco
Il reciproco di un numero complesso z è un numero che moltiplicato per questo da l’unità
z · z1 = 1
3.3.4
Divisione fra numeri complessi
La divisione fra due numeri si può scrivere come il prodotto fra il primo e il reciproco del secondo, cioè
1
z ÷ z1 = z ·
z1
Resta da dare un significato a
1
z1
Definizione 3.9
Dato un numero complesso z = a + bj chiamo reciproco di z il numero
1
a − bj
a
b
= 2
= 2
− 2
j
z
a + b2
a + b2
a + b2
Esempio 3.7. Reciproco numero complesso
Calcolare il reciproco di z = 2 + 3j
1
1
2 − 3j
2 − 3j
2
3
=
·
=
=
− j
z
2 + 3j 2 − 3j
4+9
13 13
Esempio 3.8. Reciproco numero complesso
Calcolare il reciproco di z = −6j
1
1
6j
6j
1
=
·
=
= j
z
−6j 6j
36
6
A questo punto la divisione fra due numeri complessi non è difficile.
Esempio 3.9. Divisione
Dividere z = 2 + 3j per z1 = 1 − 2j
z : z1 = (2+3j ) : (1−2j ) = (2+3j )·
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1
1
1 + 2j
1 + 2j
2 + 4j + 3j − 6
−4 + 7j
4 7
= (2+3j )·
·
= (2+3j )·
=
=
=− +
1 − 2j
1 − 2j 1 + 2j
1+4
5
5
5 5
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3.4. ALGEBRA DEI NUMERI COMPLESSI
20
Unità immaginaria
j 2 = −1
Numero complesso
z = a + jb
Parte reale di z
<(z) = a
Parte immaginaria di z
=(z) = b
Coniugato di un numero z
z = a − j b


a = a
1
a + j b = a1 + j b1 ⇔


b = b
Uguaglianza fra numeri complessi
1
Somma
z + z = a + j b + a j b = (a + a ) + (b + b0 ) j
0
0
Elemento neutro somma
0
0
r = 0 + i0
Prodotto
z · z 0 = (a + j b) · (a0 + j b0 ) = (aa0 − bb)0 + (ab0 + ba0 ) j
Elemento neutro prodotto
z = 1 + j0
Somma fra due numeri coniugati
Prodotto fra due numeri coniugati
Divisione fra numeri complessi
(a + j b) + (a − j b) = 2a
(a + j b) · (a − j b) = a2 + b2
(a + j b) · (c − j d)
a + jb
=
(a + j b) : (c + j d) =
c + jd
c2 + d2
Tabella 3.1: Numeri complessi
3.4
Algebra dei numeri complessi
Il seguente esempio lega la somma e le potenze di numeri complessi. In pratica basta considerare un numero
complesso come un binomio. Questo è chiaro nell’esempio che segue.
Esempio 3.10. Semplificare espressione
Semplificare (2 + 5j )2 + (1 + j)(1 − j) + j 2
Possiamo procedere come segue.
(2 + 5j )2 + (1 + j)(1 − j) + j 2
4 + 25j 2 + 20j + 1 + 1 + j 3
Eseguo i prodotti
j 2 = −1
Semplifico
j 3 = −j
4 − 25 + 20j + 2 − j
−19 − 19j
Ottengo
Possiamo avere somme prodotti potenze insieme. Gli esercizi vanno eseguiti seguendo la priorità delle operazioni.
In quello che segue prima si esegue la divisione, poi la potenza ed infine il prodotto e per terminare la somma.
Esempio 3.11. Semplificare espressione
Semplificare (2 + 3j )
mercoledì 22 febbraio 2017
1 − 3j
2 + 4j
2
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CAPITOLO 3. I NUMERI COMPLESSI
21
Possiamo procedere come segue. In pratica
1 − 3j
2 + 4j
2
1 − 3j 2 − 4j
·
2 + 4j 2 − 4j
2
(2 + 3j )
(2 + 3j )
2
2 − 4j − 6j − 12
(2 + 3j )
4 + 16
2
−10 − 10j
(2 + 3j )
20
2
(−1 − 1j )
(2 + 3j )
2
(−1 − 1j )(−1 − 1j )
(2 + 3j )
4
(1 + j + j − 1)
(2 + 3j )
4
j
(2 + 3j )
2
2j + 3j 2
2
2j − 3
2
3.5
Prima eseguo la divisione
Moltiplico
Sommo
Semplifico
Quadrato
Semplifico
Semplifico
semplifico
Ottengo
Forma goniometrica
dei numeri
complessi
Coordinate polari
Definizione 3.10. Coordinate polari
Un sistema di coordinate polari individua la posizione di un punto P nel piano, tramite una
coppia (ρ; θ). Il primo numero è la distanza (modulo) dal punto detto polo e da un angolo detto
argomento o fase.
La figura fig. 3.5 nella pagina seguente mostra un sistema di riferimento polare. Punti che sono alla stessa
distanza dal centro si trovano sulla medesima circonferenza.
Per rappresentare un numero complesso z = a+j b tramite un sistema di coordinate polari bisogna trasformare
la coppia (a; b) nella coppia (ρ; θ).
p
ρ = a2 + b2

b


arctan
se a > 0 e b ≥ 0


a








b


arctan + π se a > 0 e b < 0


a





θ = arctan b − π se a < 0 e b < 0


a






π


+
se a = 0 e b > 0



2






π

−
se a = 0 e b < 0
2
3.5.1
Moltiplicazione
Il prodotto di due numeri complessi in coordinate polari ha le seguenti proprietà con z1 , z2 , w ∈ C
|w| = |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2
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3.5. COORDINATE POLARI
22
π/2
3π/4
π/4
π
0
1
5π/4
2
0
3
7π/4
3π/2
Figura 3.5: Coordinate polari
3.5.2
Divisione
La divisione fra numeri complessi in coordinate polari ha le seguenti proprietà con z1 , z2 , w ∈ C
|z1 |
|z2 |
arg(w) = arg(z1 ) − arg(z2 )
|w| =
esempi
numerici
operazioni numeri
complessi i
coordinate
polari
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4
4.1
Goniometria
Angoli
Definizione 4.1. Angolo
Un angolo è la parte di piano compreso fra due semirette dette lati. I lati hanno in comune
l’origine chiamata vertice.
Le semirette formano due angoli uno convesso l’altro concavo come nella figura fig. 4.1.
Definizione 4.2. Angoli Positivi e Negativi
Fissato un lato, l’angolo è positivo se per costruirlo ruoteremo l’altra semiretta in senso antiorario.
Un angolo è negativo se ruoteremo l’altro lato in senso orario come nella figura fig. 4.1.
Definizione 4.3. Angolo giro
Un angolo è giro quando le due semirette coincidono.
Definizione 4.4. Angolo piatto
Un angolo è piatto quando i suoi lati coincidono con la stessa retta.
Definizione 4.5. Angolo retto
Avremo un angolo è retto quando è la metà di un angoli piatto.
Angolo convesso
Angolo positivo
Angolo concavo
Angolo negativo
Figura 4.1: Angoli concavi e convessi, positivi e negativi
23
4.1. ANGOLI
24
Angolo retto negativo
Angolo retto positivo
Angolo piatto negativo
Angolo piatto positivo
Angolo giro negativo
Angolo giro positivo
Angolo nullo
Figura 4.2: Angoli notevoli
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
25
compresa
una parte di piano
é
fra due semirette
Concavo
Angolo
é
Convesso
é
Positivo
Negativo
ha
ha
Verso antiorario
Verso orario
Figura 4.3: Mappa goniometria l’angolo
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4.2. MISURA DELL’ANGOLO
26
Definizione 4.6. Angolo acuto
Un angolo è acuto se minore di un retto.
Definizione 4.7. Angolo ottuso
Un angolo è ottuso se maggiore di un retto.
La figura fig. 4.2 a pagina 24 mostra vari casi
4.2
Misura dell’angolo
A ogni angolo viene associata una grandezza detta ampiezza. Per misurare l’ampiezza dell’angolo si usa o il
grado sessagesimale o i radianti
4.2.1
Angolo sessagesimale
Definizione 4.8. Grado
Un grado è la trecentosessantesima parte in un angolo giro. Il grado si suddivide in minuti e
secondi. Il minuto è la sessantesima parte di un grado. Il secondo è la sessantesima parte di un
minuto. Il secondo è suddiviso in decimi e centesimi.
Quindi
10 =
e
100 =
1◦
60
10
1◦
=
60
3600
Esempio 4.1. Angoli sessagesimali
L’angolo 45◦ 300 2000 ha l’ampiezza di 45◦ gradi 300 minuti e 2000 secondi. L’angolo 30◦ 450 23,700
secondo ha l’ampiezza di 30◦ gradi 450 minuti e 2300 secondi e 7 decimi.
Un angolo giro è quindi ampio 360◦ gradi. L’angolo piatto, metà di un angolo giro, ha l’ampiezza di 180◦
gradi. L’angolo retto metà di una angolo piatto, ha ampiezza di 90◦ gradi.
Un angolo espresso in gradi sessagesimali può essere scritto in forma decimale.
Esempio 4.2. Conversione
Convertire in forma decimale un angolo di ampiezza pari a 44◦ 580 4800
Abbiamo un angolo di ampiezza pari a 44◦ 580 4800 e vogliamo scriverlo in forma decimale. Dato che 10 =
che 100 =
10
1◦
=
avremo
60
3600
◦
48
3600
◦ ◦
29
3
◦
= 44 +
+
30
225
◦
6 + 435
= 44◦ +
450
◦
441
◦
= 44 +
450
44◦ 580 4800 = 44◦ +
58
60
1◦
e
60
◦
+
= 44◦ + 0,98◦
= 44,98◦
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
27
P
R
l
α
O
Q
Figura 4.4: Radianti
Esempio 4.3. Convertire in forma sessagesimale
Convertiamo 7, 42◦ in gradi minuti e secondi:
7, 42◦ = 7◦ + 0, 42◦
= 7◦ + 0, 42 · 1◦
= 7◦ + 0, 42 · 600
= 7◦ 25,20
= 7◦ 250 + 0,20
= 7◦ 250 + 0, 2 · 10
= 7◦ 250 + 0, 2 · 6000
= 7◦ 250 1200
4.2.2
Radianti
Definizione 4.9. Radiante
Data una circonferenza di raggio r e un angolo α con il vertice nel centro C della circonferenza,
come nella figura fig. 4.4. Se l è la lunghezza dell’arco di circonferenza sotteso dall’angolo, chiamo
radiante il rapporto
l
ρ=
r
Avremo quindi che un angolo ha l’ampiezza di un radiante se l’arco di circonferenza l è uguale al raggio r.
In un angolo giro l’arco è lungo quanto la circonferenza. La sua misura in radianti è quindi
ρ=
Un angolo piatto, meta di un giro, misura
e un angolo retto misura
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2πr
= 2π
r
ρ=π
ρ=
π
2
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4.3. FUNZIONI GONIOMETRICHE
28
Per convertire da gradi sessagesimali a radianti si procede in questo modo:
l
α
=
2πr
360◦
ρ
α
=
2π
360◦
α2π
ρ=
360◦
π
ρ=
α
180◦
segue che per passare da radianti a gradi sessagesimali avremo
α=
180◦
ρ
π
Alcuni semplici esempi di conversione fra angoli e radianti
Esempio 4.4. Radianti in gradi
Quanto corrisponde in gradi un radiante
180◦
ρ
π
180◦
=
·1
π
' 57,2957◦ · 1
α=
' 57,30◦
Esempio 4.5. Gradi in radianti
Quanto corrisponde in radianti un grado
π
α
180◦
π
·1
=
180◦
' 0,017 45◦ · 1
ρ=
' 0,017◦
4.3
Funzioni goniometriche
Definizione 4.10. Circonferenza goniometrica
Dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, una circonferenza goniometrica è una
circonferenza con centro nell’origine e raggio uguale a uno.
La circonferenza incontra gli assi in quattro punti. A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0) e D(−1, 0). Costruiamo un
angolo α in modo che il suo vertice coincida con il centro della circonferenza. L’angolo incontra la circonferenza
nei punti A e P come nella figura fig. 4.7 a pagina 30.
4.3.1
Coseno
Definizione 4.11. Coseno
Data una circonferenza goniometrica fig. 4.5a nella pagina seguente, disegniamo un angolo con
centro nell’origine e con un lato coincidente con l’asse delle ascisse. Chiamiamo α la sua ampiezza.
L’altro lato dell’angolo incontra la circonferenza in un punto P . Diremo coseno dell’angolo α e lo
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
29
cos α
1
y
P
α
O
cos α
α
x
Q
−1
(a) Coseno definizione
(b) Coseno grafico
Figura 4.6: Coseno
indico con cos α l’ascissa del punto P .
4.3.2
Andamento coseno
Al variare dell’ampiezza dell’angolo varia anche il valore del coseno, consideriamo la figura fig. 4.8 nella
pagina successiva. Supponiamo di far variare l’angolo α da zero a centottanta gradi, quindi che 0◦ ≤ α ≤ 180◦ o
se utilizziamo i radianti 0 ≤ α ≤ π.
α0 L’angolo ha ampiezza zero. La verticale del punto P0 all’asse x lo incontra in px0 . In questo caso il coseno di
α cioè cos α0 vale uno.
α1 l’angolo è compreso fra zero e novanta gradi, incontra la circonferenza nel punto P1 . La sua verticale incontra
l’asse delle ascisse nel punto px1 . Il coseno dell’angolo α1 è un numero positivo minore di uno.
α2 L’angolo è retto. La proiezione del punto P2 incontra l’asse x nell’origine. In questo caso l’ascissa è x2 è
nulla e cos α2 è zero.
α3 L’angolo è ottuso. La proiezione del punto P3 incontra l’asse x nel semiasse negativo. Quindi cos α2 è
negativo.
α4 L’angolo è piatto. Il P4 incontra l’asse x nel punto (−1; 0). In questo cos α4 vale meno uno.
Analogo discorso per angoli di ampiezza maggiore di un angolo piatto come nella figura fig. 4.9 nella pagina
seguente.
α4 L’angolo è piatto. Il P4 incontra l’asse x nel punto (−1; 0). In questo cos α4 vale meno uno.
α5 L’angolo è compreso tra 180◦ e 270◦ . La proiezione del punto P5 cade sul semiasse negativo delle ascisse.
Quindi cos α2 è negativo.
α6 L’angolo è di duecentosettanta gradi. Il punto ha ascissa zero quindi cos α6 = 0.
α7 L’angolo è compreso tra 270◦ e 360◦ . La proiezione del punto P7 cade sul semiasse positivo delle ascisse.
Quindi cos α7 è positivo.
α8 L’angolo è di trecentosessanta gradi. Il punto ha ascissa uno quindi cos α8 = 1.
Per angoli superiori a 360◦ otteniamo gli stessi casi illustrati in precedenza. Possiamo quindi dire che il coseno
1. è limitato e varia fra −1 e +1.
2. è periodico, di periodo pari a 360◦ o 2π
4.3.3
Seno
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4.3. FUNZIONI GONIOMETRICHE
30
y
B
P
α
C
A
x
O
D
Figura 4.7: Circonferenza goniometrica
y
P2
P1
P3
α2
px4 px3
α1
α3
P4
px1 px0
P0
O
α4
x
Figura 4.8: Andamento coseno 0◦ < α < 180◦
y
px5
px6
P5
px7
px8
O
α5
px9
x
P9
α9
α8
α6
α7
P6
P8
P7
Figura 4.9: Andamento coseno 180◦ < α < 360◦
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
31
α
1
y
P
Q
sin α
α
o
α
x
O
−1
(a) Seno definizione
(b) Seno grafico
Figura 4.11: Seno
Definizione 4.12. Seno
Data una circonferenza goniometrica fig. 4.10a, disegniamo un angolo con centro nell’origine e con
un lato coincidente con l’asse delle ascisse. Chiamiamo α la sua ampiezza. L’altro lato dell’angolo
incontra la circonferenza in un punto P . Diremo seno dell’angolo α e lo indichiamo con sin α
l’ordinata OQ del punto P
4.3.4
Andamento seno
Al variare dell’angolo varia anche il valore del seno, consideriamo la figura fig. 4.12 nella pagina seguente.
Supponiamo di far variare l’angolo α da zero a centottanta gradi, quindi che 0◦ ≤ α ≤ 180◦ o se utilizziamo i
radianti 0 ≤ α ≤ π.
α0 L’angolo ha ampiezza zero. La verticale del punto P0 incontra l’asse delle ordinate in py0 . In questo caso il
seno di α cioè sin α0 vale zero.
α1 l’angolo è compreso fra zero e novanta gradi, incontra la circonferenza nel punto P1 . La sua verticale incontra
l’asse delle ordinate nel punto py1 . Il seno dell’angolo α1 è un numero positivo minore di uno.
α2 L’angolo è retto. L’ordinata del punto P2 è uno. In questo caso è sin α2 è uno.
α3 L’angolo è ottuso. La perpendicolare del punto P3 incontra l’asse y nel semiasse positivo. Quindi sin α2 è
maggiore di zero.
α4 L’angolo è piatto. Il P4 incontra l’asse y nel punto (−1; 0). In questo sin α4 vale zero.
Analogo discorso per angoli di ampiezza maggiore di un angolo piatto come nella figura fig. 4.13 nella pagina
successiva.
α4 L’angolo è piatto. Il punto P4 ha coordinate (−1; 0). In questo sin α4 vale zero.
α5 L’angolo è compreso tra 180◦ e 270◦ . La proiezione del punto P5 cade sul semiasse negativo delle ordinate.
Quindi sin α2 è negativo.
α6 L’angolo è di duecentosettanta gradi. Il punto ha ordinata uno quindi sin α6 = 1.
α7 L’angolo è compreso tra 270◦ e 360◦ . La proiezione del punto P7 cade sul semiasse negativo delle ordinate.
Quindi sin α7 è negativo.
α8 L’angolo è di trecentosessanta gradi. Il punto ha ordinata zero quindi sin α8 = 0.
Per angoli superiori a 360◦ otteniamo gli stessi casi illustrati in precedenza. Possiamo quindi dire che il seno
1. è limitato e varia fra −1 e +1.
2. è periodico, di periodo pari a 360◦ o 2π
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4.3. FUNZIONI GONIOMETRICHE
32
y
P2
py2
P3
py3
py
α2 1
α3
P4
P1
α1
P0
α4
py40
O
x
Figura 4.12: Andamento seno 0◦ < α < 180◦
y
P4
O
α4
P8
α8
x
α7
α5
P5
α6
py7
P7
py5
P6
Figura 4.13: Andamento seno 180◦ < α < 360◦
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
−
−
O
33
+
+
+
−
(a) Segno coseno
−
+
O
+
O
−
(b) Segno seno
+
−
−
+
(c) Segno tangente
+
O
−
(d) Segno cotangente
Figura 4.15: Segno funzioni goniometriche
4.3.5
Tangente
Definizione 4.13. Tangente
Data una circonferenza goniometrica fig. 4.16a nella pagina seguente, disegno un angolo con centro
nell’origine e di ampiezza α. Un lato dell’angolo incontra la tangente alla circonferenza per (1; 0)
in un punto T . Chiamo tangente dell’angolo α e lo indico con tan α l’ordinata del punto T
4.3.6
Andamento tangente
Al variare dell’angolo varia anche il valore della tangente, consideriamo la figura fig. 4.18 nella pagina
successiva. Supponiamo di far variare l’angolo α da zero a centottanta gradi, quindi che 0◦ ≤ α ≤ 180◦ o se
utilizziamo i radianti 0 ≤ α ≤ π.
α0 L’angolo ha ampiezza zero. Il raggio incontra la retta tangente in T0 . In questo caso tangente dell’angolo α
cioè tan α0 vale zero.
α1 l’angolo è compreso fra zero e novanta gradi, il prolungamento del raggio incontra la retta nel punto T1 . La
tangente di α1 è un numero positivo.
α2 L’angolo è retto. In questo caso il prolungamento del raggio non incontra la parallela all’asse y.In questo
tan α2 non esiste.
α3 L’angolo è ottuso. Il prolungamento del raggio incontra le retta in T3 con valori dell’ordinata negativi. Quindi
tan α2 è negativo.
α4 L’angolo è piatto. Il prolungamento incontra la retta tangente nel punto (−1; 0). In questo tan α4 vale zero.
Analogo discorso per angoli di ampiezza maggiore di un angolo piatto come nella figura fig. 4.19 a pagina 35.
α4 L’angolo è piatto. Incontra l’asse delle ordinate nel punto (−1; 0). In questo tan α4 vale zero.
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4.3. FUNZIONI GONIOMETRICHE
y
34
T
P
α
o
− 32 π
α
x
− 12 π
α
1
2π
3
2π
O
(a) Tangente definizione
(b) Tangente grafico
Figura 4.17: Tangente
y
y
T2
α2
α3
α4
O
α1
T1
T4
x
T3
Figura 4.18: Andamento tangente 0◦ < α < 180◦
α5 L’angolo è compreso tra 180◦ e 270◦ . Il prolungamento del raggio incontra la retta tangente nel primo
quadrante. Quindi tan α5 è positivo.
α6 L’angolo è di duecentosettanta gradi. Il prolungamento del raggio non incontra la retta tangente. In questo
caso tan α6 non esiste.
α7 L’angolo è compreso tra 180◦ e 360◦ . Il prolungamento del raggio incontra la retta tangente nel quarto
quadrante. Quindi tan α7 è negativo.
α8 L’angolo è di trecentosessanta gradi. Il punto ha ordinata zero quindi tan α8 = 0.
Per angoli superiori a 360◦ otteniamo gli stessi casi illustrati in precedenza. Possiamo quindi dire che la tangente:
1. è illimitata.
2. è periodica, di periodo pari a 180◦ o π
4.3.7
Cotangente
Definizione 4.14. Cotangente
Data una circonferenza goniometrica fig. 4.20a nella pagina successiva, disegno un angolo con
centro nell’origine e di ampiezza α. Un lato dell’angolo incontra la tangente alla circonferenza per
(0; 1) in un punto C. Chiamo cotangente dell’angolo α e lo indico con cotg α l’ascissa del punto C
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
35
y
T5
O
α8
T8 T4
α4
x
α7
α5
α6
T7
Figura 4.19: Andamento tangente 180◦ < α < 360◦
y
C
α
P
o
α
x
−2π
π
−π
α
2π
O
(a) Cotangente
(b) Cotangente grafico
Figura 4.21: Tangente
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4.4. FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
36
y
T3
T1
T2
α2
α4
α3
α1
α0
O
x
Figura 4.22: Andamento cotangente 0◦ < α < 180◦
4.3.8
Andamento Cotangente
Al variare dell’angolo varia anche il valore della cotangente, consideriamo la figura fig. 4.22. Supponiamo di
far variare l’angolo α da zero a centottanta gradi, quindi che 0◦ ≤ α ≤ 180◦ o se utilizziamo i radianti 0 ≤ α ≤ π.
α0 L’angolo ha ampiezza zero. Il raggio non incontra la retta tangente. In questo caso la cotangente dell’angolo
α cioè cotg α0 non esiste.
α1 l’angolo è compreso fra zero e novanta gradi, il prolungamento del raggio incontra la retta nel punto T1 . La
cotangente di α1 è un numero positivo.
α2 L’angolo è retto. In questo caso il prolungamento del raggio incontra la parallela all’asse x. in T2 . In questo
cotg α2 vale zero.
α3 L’angolo è ottuso. Il prolungamento del raggio incontra le retta in T3 con valori dell’ascissa negativi. Quindi
tan α3 è negativo.
α4 L’angolo è piatto. Il prolungamento non incontra la retta tasngente. In questo cotg α4 non esiste.
Analogo discorso per angoli di ampiezza maggiore di un angolo piatto come nella figura fig. 4.23 nella pagina
successiva.
α4 L’angolo è piatto. Il prolungamento non incontra la retta tangente. In questo cotg α4 non esiste.
α5 L’angolo è compreso tra 180◦ e 270◦ . Il prolungamento del raggio incontra la retta tangente nel primo
quadrante. Quindi cotg α5 è positivo.
α6 L’angolo è di duecentosettanta gradi. In questo caso il prolungamento del raggio incontra la parallela all’asse
x. in T6 . In questo tan α6 vale zero.
α7 L’angolo è compreso tra 180◦ e 360◦ . Il prolungamento del raggio incontra la retta tangente nel secondo
quadrante. Quindi co tan α7 è negativo.
α8 L’angolo è di trecentosessanta gradi. Il raggio non incontra la retta tangente. In questo caso la cotangente
dell’angolo α8 cioè cotg α8 non esiste.
Per angoli superiori a 360◦ otteniamo gli stessi casi illustrati in precedenza. Possiamo quindi dire che cotangente:
1. è illimitata.
2. è periodica, di periodo pari a 180◦ o π
4.4
Funzioni goniometriche inverse
Una funzione goniometrica inversa associa ad un valore numerico un angolo.
4.4.1
Arcoseno
La funzione inversa y = arcsin x associa ad un valore numerico compreso fra[−1, +1] un angolo compreso in
π π
[− , ]. Il grafico fig. 4.24a nella pagina seguente
2 2
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
37
y
T6
T7
T5
α4
α8
x
O
α5
α7
α6
Figura 4.23: Andamento cotangente 180◦ < α < 360◦
y
−1
y
π
2
π
π
4
3π
4
−0.5
0.5
1
π
2
x
− π4
x
π
4
− π2
−0.5
−1
(a) Grafico di arcsin x
0.5
1
(b) Grafico di arccos x
y
π
2
π
4
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
x
− π4
− π2
(c) Grafico di arctan x
Figura 4.24: Funzioni inverse
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4.5. RELAZIONI FONDAMENTALI
38
sin α
cos α =
±
p
cos α
cotg α
sin α, cos α
1
cotg α
sin α
cos α
1
±p
1 + tan2 α
1 − sin2 α
sin α =
tan α
√
± 1 − cos2 α
tan α
±p
1 + tan2 α
tan α =
1
tan α
cotg α =
cos α
sin α
Tabella 4.1: Seno Coseno Tangente Cotangente
4.4.2
Arcoseno
La funzione inversa del coseno è l’arcocoseno, è definita in [−1, +1] e ha come valori in uscita angoli in [0, π]
come appare dal grafico fig. 4.24b a pagina 37
4.4.3
4.5
4.5.1
Arcotangente
Inserire de
finizione
arcotangen
te
Relazioni fondamentali
Seno e coseno
Teorema 4.1. Relazione fondamentale goniometria
Dato un angolo α allora vale quanto segue:
cos2 α + sin2 α = 1
Dimostrazione. Consideriamo la figura fig. 4.25 nella pagina seguente per il triangolo POH vale il teorema di
Pitagora
a2 = b2 + c2
Dato che la circonferenza è una circonferenza goniometrica
a=1
b = cos α
c = sin α
otteniamo
1 = cos2 α + sin2 α
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
39
y
K
P
c
a
O
α
b
H
x
Figura 4.25: Relazione fondamentale goniometria
Dalla relazione sezione 4.5.1 a pagina 38 è possibile ottenere le seguenti
cos2 α = 1 − sin2 α
p
cos α = ± 1 − sin2 α
sin2 α = 1 − cos2 α
p
sin α = ± 1 − cos2 α
Nella sezione appendice .1 a pagina 79 vi sono esempi per l’uso di queste formule.
Esempio 4.6. Trovare il valore del coseno di un angolo noto il seno
Trovare il valore del coseno di un angolo noto il seno. Per esempio poniamo
sin α =
3
5p
cos α = ± 1 − sin2 α
s
2
3
=± 1−
5
r
9
=± 1−
25
r
25 − 9
=±
25
r
16
=±
25
4
= ± = 8 × 10−1
5
Geometricamente il doppio segno davanti alla radice è spiegabile in questo modo:
3
1. A un valore del seno M (0, ) fig. 4.26a nella pagina successiva
5
2. A M Corrispondono due punti sulla circonferenza Q e P fig. 4.26b nella pagina seguente
3. P e Q A questi punti corrispondono due angoli α e β fig. 4.26c nella pagina successiva
4. Da questi angoli ottengo due valori opposti per il coseno x1 e x2 fig. 4.26d nella pagina seguente
e quindi il doppio segno. Analogo ragionamento vale per il coseno basta guardare la figura fig. 4.29 nella pagina
successiva
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4.5. RELAZIONI FONDAMENTALI
40
y
y
Q
M
M
P
x
x
O
O
(a) A un valore del seno
(b) Corrispondono due punti sulla circonferenza
y
y
Q
M
Q
P
M
P
β
β
α
α
x
x2
O
(c) A questi punti corrispondono due angoli
x1
O
x
(d) Da cui ottengo due valori per il coseno
Figura 4.27: Coseno noto seno
y
y
P
M
M
x
x
O
O
Q
(a) A un valore del coseno
(b) Corrispondono due punti sulla circonferenza
y
y
P
P
y1
α
α
β
β
M
M
x
O
Q
(c) Ottengo due angoli
x
O
Q
y2
(d) E due valori opposti per il seno
Figura 4.29: Seno Noto Coseno
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
4.5.2
41
Tangente cotangente
Definizione 4.15. Tangente Cotangente
Dato un angolo α allora vale quanto segue:
sin α
cos α
cos α
1
cotg α =
=
sin α
tan α
tan α =
α 6=
π
+ kπ
2
α 6= π
(4.1)
(4.2)
Dalle formule eq. da (4.1) a (4.2) in questa pagina è possibile ottenere le seguenti relazioni
1
1 + tan2 α
1
cos α = ± p
1 + tan2 α
tan2 α
sin2 α =
1 + tan2 α
tan α
sin α = ± p
1 + tan2 α
cos2 α =
π
+ kπ
2
π
α 6= + kπ
2
α 6=
π
+ kπ
2
π
α 6= + kπ
2
α 6=
Esempio 4.7. Trovare le funzioni nota una
Supponiamo di conoscere un valore di tan α
tan α =
3
5
1
2
3
1+
5
1
r
9
1+
25
1
r
25 + 9
25
1
√
34
5
√
√
5
34
5 34
√ ·√ =±
34
34
34
3
s 5 2
3
1+
5
3
√
√
5
3
3 34
3
34
5
√
' 5,145 × 10−1
= ± · √ = ±√ · √ = ±
5
34
34
34
34
34
5
cos α = ± s
cos α = ±
cos α = ±
cos α = ±
cos α = ±
sin α = ±
sin α = ±
4.6
Angoli associati
Inserire
esempi
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4.6. ANGOLI ASSOCIATI
42
y
y
T
T
P
x
x
O
O
Q
(a) A un valore della tangente
(b) Corrispondono due punti sulla circonferenza
y
y
P
T
y1
β
T
P
β
α
α
x2
x
O
O
Q
Q
(c) Ottengo due angoli
x1
x
y2
(d) E due valori opposti per il seno e il coseno
Figura 4.31: Seno Coseno nota la tangente
4.6.1
Angoli supplementari
Sono angoli la cui somma è 180◦ , α, 180◦ − α la figura corrispondente è la fig. 4.32a nella pagina successiva
Per questi angoli valgono le seguenti relazioni
cos α = − cos(180◦ − α)
sin α = sin(180◦ − α)
tan α = − tan(180◦ − α)
cotg α = − cotg(180◦ − α)
4.6.2
Angoli la cui differenza è 180◦
Gli angoli α, 180◦ + α sono angoli la cui differenza è 180◦ . Costruiamo la figura fig. 4.32b nella pagina
seguente
Per questi angoli valgono le seguenti relazioni
cos α = − cos(180◦ + α)
sin α = − sin(180◦ + α)
tan α = tan(180◦ + α)
cotg α = cotg(180◦ + α)
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
43
y
Q
y
cos(180◦ − α)
cos(α)
180◦ − α
sin(180◦ − α)
cos(α)
180◦ + α
P
P
sin(α)
sin(α)
α
α
x
O
x
O
sin(180◦ + α)
Q
y
(a) Angoli supplementari
α 180◦ − α
cos(α)
cos(180◦ + α)
y
(b) Angoli che differiscono
di 180◦ α e 180◦ + α
cos(α)
P
sin(α)
360◦ − α
sin(α)
+α
α
Q
sin(360◦ − α)
x
O
P
cos(360◦ − α)
x
O
−α
cos(−α)
(c) Angoli esplementari α e 360◦ − α
sin(−α)
Q
(d) Angoli opposti
Figura 4.32: Angoli associati
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4.6. ANGOLI ASSOCIATI
4.6.3
44
Angoli esplementari
Sono angoli la cui somma è 360◦ , α, 360◦ − α la figura corrispondente è la fig. 4.32c a pagina 43 Per questi
angoli valgono le seguenti relazioni
cos α = cos(360◦ − α)
sin α = − sin(360◦ − α)
tan α = − tan(360◦ − α)
cotg α = − cotg(360◦ − α)
4.6.4
Angoli opposti
Sono angoli la cui somma è 0◦ , α, −α la figura corrispondente è la fig. 4.32d a pagina 43 Per questi angoli
valgono le seguenti relazioni
cos α = − cos(−α)
sin α = − sin(−α)
tan α = tan(−α)
cotg α = cotg(−α)
4.6.5
Angoli complementari
Sono angoli la cui somma è 90◦ , α e 90◦ − α la figura corrispondente è la fig. 4.33a nella pagina successiva
Per questi angoli valgono le seguenti relazioni
cos α = sin(90◦ − α)
sin α = cos(90◦ − α)
tan α = cotg(90◦ − α)
cotg α = tan(90◦ − α)
4.6.6
Angoli la cui differenza è 90◦
Sono angoli la cui differenza è 90◦ , α e 90◦ + α la figura corrispondente è la fig. 4.33b nella pagina seguente
Per questi angoli valgono le seguenti relazioni
cos α = sin(90◦ + α)
sin α = − cos(90◦ + α)
tan α = − cotg(90◦ + α)
cotg α = − tan(90◦ + α)
4.6.7
Angoli la cui somma è 270◦
Sono angoli la cui somma è 270◦ , α e 270◦ − α la figura corrispondente è la fig. 4.33c nella pagina successiva
Per questi angoli valgono le seguenti relazioni
cos α = − sin(270◦ − α)
sin α = − cos(270◦ − α)
tan α = cotg(270◦ − α)
cotg α = tan(270◦ − α)
4.6.8
Angoli la cui differenza è 270◦
Sono angoli la cui differenza è 270◦ , α e 270◦ + α la figura corrispondente è la fig. 4.33d nella pagina seguente
Per questi angoli valgono le seguenti relazioni
cos α = − sin(270◦ + α)
sin α = cos(270◦ + α)
tan α = − cotg(270◦ + α)
cotg α = − tan(270◦ + α)
La tabella tabella 4.2 nella pagina successiva riassume i risultati precedenti.
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
45
y
y
cos(90◦ − α)
cos(α)
Q
Q
cos(90◦ + α)
sin(90◦
α
sin(90◦ + α)
− α)
sin(α)
90◦ − α
90◦ + α
y
(a) Angoli complementari
α e 90◦ − α
sin(α)
cos(α)
x
O
y
(b) Angoli che differiscono
di 90◦ , α e 90◦ + α
cos(α)
P
270◦
sin(α)
P
+α
sin(α)
α
α
x
O
x
O
sin(270◦ − α)
Q
P
α
x
O
270◦ − α
cos(α)
P
sin(270◦ + α)
cos(270◦ − α)
cos(270◦ + α)
(c) Angoli la cui somma è 270◦ , α e 270◦ − α
Q
(d) Angoli la cui differenza è 270◦ , α e 270◦ + α
Figura 4.33: Angoli complementari
sin α =
cos(90◦ − α)
− cos(90◦ + α)
sin(180◦ − α)
− sin(180◦ + α)
− cos(270◦ − α)
cos(270◦ + α)
− sin(−α)
cos α =
sin(90◦ − α)
sin(90◦ + α)
− cos(180◦ − α)
− cos(180◦ + α)
− sin(270◦ − α)
− sin(270◦ + α)
cos(−α)
tan α =
cotg(90◦ − α)
− cotg(90◦ + α)
− tan(180◦ − α)
tan(180◦ + α)
cotg(270◦ − α)
− cotg(270◦ + α)
− tan(−α)
cotg α =
tan(90◦ − α)
− tan(90◦ + α)
− cotg(180◦ − α)
cotg(180◦ + α)
tan(270◦ − α)
− tan(270◦ + α)
− cotg(−α)
Tabella 4.2: Angoli complementari e supplementari
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4.7. EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
46
y
y
180 − α
m
+α
α
x
O
O
(a) sin x = m 0 < m < 1
m
x
−α
(b) cos x = m 0 < m < 1
Figura 4.35: Equazioni Elementari
4.7
Equazioni goniometriche elementari
Le equazioni goniometriche elementari sono equazioni del tipo
sin x = m
4.7.1
cos x = n
tan x = q
Equazione sin x = m
Il seno di un angolo è una funzione limitata con valori compresi tra meno uno ed uno (1 ≤ sin x ≤ 1) quindi
l’equazione è impossibile per valori di m esterni a tale intervallo. Abbiamo vari casi:
0 < m < 1 In questo caso le soluzioni sono due come nella figura fig. 4.34a x = α + k360◦ e x = 180◦ − α + k360◦
m = +1 Guardando la figura fig. 4.38a a pagina 48 la soluzione è unica, x = 90◦ + k360◦
m = −1 Guardando la figura fig. 4.38a a pagina 48 la soluzione è unica, x = 270◦ + k360◦
Esempio 4.8. Equazione goniometrica
√
Risolvere l’equazione sin x =
2
2
Supponiamo di dover risolvere
√
sin x =
2
2
quindi
√
m=
2
2
In questo caso vale la figura fig. 4.34a m è un valore noto quindi l’angolo è
α = 45◦
le due soluzioni sono
x = 45◦ + k360◦
x = 180◦ − 45◦ + k360◦
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
47
y
y
180◦ + α
+α
α
m
x
O
x
O
m
−α
(a) sin x = m −1 < m < 0
(b) cos x = m −1 < m < 0
Figura 4.37: Equazioni Elementari
Esempio 4.9. Equazione goniometrica
√
Risolvere l’equazione sin x = −
2
2
Supponiamo di dover risolvere
√
2
2
sin x = −
quindi
√
2
2
m=−
In questo caso vale la figura fig. 4.36a m è un valore noto quindi l’angolo è
α = 45◦
le due soluzioni sono
x = 180◦ + 45◦ + k360◦
x = 360◦ − 45◦ + k360◦
Esempio 4.10. Equazione goniometrica
√
Risolvere l’equazione sin(x + 30 ) =
◦
2
2
√
sin(x + 30 ) =
◦
mercoledì 22 febbraio 2017
2
2
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4.7. EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
48
y
y
m
90
O
270
x
x
O
−90
m
(b) sin x = −1
(a) sin x = 1
Figura 4.39: Seno casi particolari
Trovo la prima soluzione
x + 30◦ = 3x + 45◦ + k360◦
x = 45◦ − 30◦ + k360◦
x = 15◦ + k360◦
La soluziione associata è
x + 30◦ = 180◦ − 45◦ + k360◦
x = 180◦ − 45◦ − 30◦ + k360◦
x = 105◦ + k360◦
Le due soluzioni sono
x = 15◦ + k360◦
x = 105◦ + k360◦
Esempio 4.11. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione sin(4x + 20◦ ) = sin(3x + 30◦ )
sin(4x + 20◦ ) = sin(3x + 30◦ )
Uguaglio gli argomenti e trovo la prima soluzione
4x + 20◦ = 3x + 30◦ + k360◦
4x − 3x = 30◦ − 20◦ + k360◦
x = 10◦ + k360◦
La soluziione associata è
4x + 20◦ = 180◦ − (3x + 30◦ ) + k360◦
4x + 20◦ = 180◦ − 3x − 30◦ + k360◦
4x − 3x = 180◦ − 20◦ − 30◦ + k360◦
x = 130◦ + k360◦
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
49
Equazione
Soluzione
sin α = sin β
α = β + k360
sin α = − sin β
Soluzione
◦
α = −β + k360◦
α = 180 − β + k360
◦
T rasf ormazione
◦
α = 180◦ + β + k360◦
sin(−β) = − sin β
Tabella 4.3: Equazioni elementari in seno
Le due soluzioni sono
x = 10◦ + k360◦
x = 130◦ + k360◦
L’esempio che segue è quasi analogo al precedente, bisogna prima procedere ad una trasformazione del secondo
membro utilizzando gli angoli associati sezione 4.6.2 a pagina 42.
Esempio 4.12. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione sin(3x − 10◦ ) = − sin(5x + 40◦ )
sin(3x − 10◦ ) = − sin(5x + 40◦ )
Consideriamo l’angolo associato
sin(180◦ + α) = − sin(α)
sin(180◦ + 5x + 40◦ ) = − sin(5x + 40◦ )
L’equazione di partenza diventa
sin(3x − 10◦ ) = sin(180◦ + 5x + 40◦ )
Uguaglio gli argomenti e trovo la prima soluzione
3x − 10◦ = 180◦ + 5x + 40◦ + k360◦
3x − 5x = 10◦ + 180◦ + 40◦ + k360◦
−2x = 230◦ + k360◦
x = −115◦ + k180◦
La soluziione associata è
3x − 10◦ = 180◦ − (180◦ + 5x + 40◦ ) + k360◦
3x − 10◦ = −5x − 40◦ + k360◦
3x + 5x = 10◦ − 40◦ + k360◦
8x = −30◦ + k360◦
30◦
360◦
x=−
+k
8
8
Le due soluzioni sono
x = −115◦ + k180◦
30◦
x=−
+ k45◦
8
Esempio uguale a precedente. Prima di risolvere l’equazione bisogna trasformare il secondo membro utilizzando sezione 4.6.5 a pagina 44
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
4.7. EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
50
Esempio 4.13. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione sin(2x + 30◦ ) = cos(x + 40◦ )
sin(2x + 30◦ ) = cos(x + 40◦ )
Consideriamo l’angolo complementare
cos(α) = sin(90 − α)
L’equazione di partenza diventa
sin(2x + 30◦ ) = sin([90◦ − (x + 40◦ )]) + k360◦
Uguaglio gli argomenti e trovo la prima soluzione
2x + 30◦ = 90◦ − (x + 40◦ ) + k360◦
2x + x = 90◦ − 40◦ − 30◦ + k360◦
3x = 20◦ + k360◦
20◦
+ k120◦
x=
3
La soluzione associata è
2x + 30◦ = 180◦ − [90◦ − (x + 40◦ )] + k360◦
2x + 30◦ = 180◦ − 90◦ + x + 40◦ + k360◦
2x − x = 180◦ − 90◦ + x + 40◦ − 30◦ + k360◦
x = 100◦ + k360◦
Le due soluzioni sono
20◦
+ k120◦
3
x = 100◦ + k360◦
x=
4.7.2
Equazione cos x = m
Il coseno di un angolo è una funzione limitata con valori compresi tra meno uno ed uno (1 ≤ cos x ≤ 1)
quindi l’equazione è impossibile per valori di m esterni a tale intervallo. Abbiamo vari casi:
0 < m < 1 Le soluzioni sono due come dalla figura fig. 4.34b a pagina 46 x = α + k360◦ e x = −α + k360◦
m = +1 La figura fig. 4.40b nella pagina seguente mostra la soluzione che è α = 0 + k360◦
m = −1 La soluzione è α = 180◦ + k360◦ o analogamente α = −180◦ + k360◦ , come segue dal grafico fig. 4.40a
nella pagina successiva
Esempio 4.14. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione sin x =
1
2
sin x =
1
2
m=
1
2
quindi
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
51
y
y
+180
m
m
x
O
O
x
−180
(a) cos x = m m = −1
(b) cos x = m m = +1
Figura 4.41: Coseno casi particolari
In questo caso vale la figura fig. 4.34b a pagina 46 m è un valore noto quindi l’angolo è
α = 60◦
le due soluzioni sono
x = 60◦ + k360◦
x = 180◦ − 60◦ + k360◦
Esempio 4.15. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione cos(5x + 40◦ ) = cos(2x + 30◦ )
cos(5x + 40◦ ) = cos(2x + 30◦ )
Uguaglio gli argomenti e trovo la prima soluzione
5x + 40◦ = 2x + 30◦ + k360◦
5x − 2x = 30◦ − 40◦ + k360◦
3x = −10◦ + k360◦
10◦
x=−
+ k120◦
3
La soluziione associata è
5x + 40◦ = −(2x + 30◦ ) + k360◦
5x + 40◦ = −2x − 30◦ + k360◦
5x + 2x = −30◦ − 40◦ + k360◦
7x = −70◦ + k360◦
360◦
x = −10◦ + k
7
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4.7. EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
Equazione
Soluzione
cos α = cos β
α = β + k360
cos α = − cos β
Soluzione
α = −β + k360
◦
α = 180 − β + k360
◦
52
◦
T rasf ormazione
◦
α = 180 + β + k360
◦
cos(180◦ − β) = − cos β
◦
Tabella 4.4: Equazioni elementari in coseno
Le due soluzioni sono
10◦
+ k120◦
3
360◦
x = −10◦ + k
7
x=−
Esempio 4.16. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione cos(3x − 40◦ ) = − cos(5x − 20◦ )
cos(3x − 40◦ ) = − cos(5x − 20◦ )
cos(180◦ − α) = − cos(α)
cos(3x − 40◦ ) = cos(180◦ − (5x − 20◦ ))
Uguaglio gli argomenti e trovo la prima soluzione
3x − 40◦ = 180◦ − (5x − 20◦ ) + k360◦
3x − 40◦ = 180◦ − 5x + 20◦ + k360◦
3x + 5x = 180◦ − 5x + 20◦ + 40◦ + k360◦
8x = 240◦ + k360◦
x = 30◦ + k45◦
La soluziione associata è
3x − 40◦ = −(180◦ − (5x − 20◦ )) + k360◦
3x − 40◦ = −180◦ + 5x − 20◦ + k360◦
3x − 5x = −180◦ − 20◦ + 40◦ + k360◦
−2x = −160◦ + k360◦
x = 80◦ + k180◦
Le due soluzioni sono
x = 30◦ + k45◦
x = 80◦ + k180◦
4.7.3
Equazione tan x = m
La tangente è una funzione non limitata che esiste per valori di x 6= 90◦ + k180◦ Se α è soluzione di tan x = m,
come si vede dalla figura fig. 4.42 nella pagina successiva anche α + 180◦ è soluzione. Dato che la funzione non è
sempre definita, la soluzione è accettabile per x 6= 90◦ + k180◦
Esempio 4.17. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione tan x = 1
tan x = 1
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CAPITOLO 4. GONIOMETRIA
53
y
m
180 + α
α
x
O
Figura 4.42: Tangente equazione elementare
m è un valore noto quindi l’angolo è
x = 45◦
se 45◦ è soluzione dalla figura fig. 4.42 anche 45◦ + 180◦ è soluzione. Quindi le soluzioni sono:
x = 45◦ + k180◦
Un esempio leggermente più complesso. Qui bisogna prima verificare quando esistono le tangenti.
Esempio 4.18. Equazione goniometrica
Risolvere l’equazione tan(3x + 50◦ ) = tan(x − 30◦ )
Supponiamo di dover risolvere
tan(3x + 50◦ ) = tan(x − 30◦ )
Discuto il lato sinistro
3x + 50◦ = 90◦ + k180◦
3x = 90◦ − 50◦ + k180◦
40◦
+ k180◦
x=
3
quindi
x 6=
40◦
+ k180◦
3
Discuto il lato destro
x − 30◦ = 90◦ + k180◦
x = 90◦ + 30◦ + k180◦
x = 120◦ + k180◦
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4.7. EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
Equazione
Esistenza
tan α = tan β
α 6= 90 + k180
β 6= 90◦ + k180◦
tan α = − tan β
◦
54
Soluzione
T rasf ormazione
◦
α 6= 90◦ + k180◦
β 6= 90◦ + k180◦
α = β + k180◦
tan(180◦ − β) = − tan(β)
α = 180◦ − β + k180◦
Tabella 4.5: Equazioni elementari in tangente
quindi
x 6= 120◦ + k180◦
Uguaglio gli argomenti e trovo le soluzioni
3x + 50◦ = x − 30◦ + k180◦
3x − x = −50◦ − 30◦ + k180◦
2x = −80◦ + k180◦
La soluzione è
x = −40◦ + k180◦
La soluzione è accettabile perchè
40◦
+ k180◦
3
x 6= 120◦ + k180◦
x 6=
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5
5.1
Funzione sinusoidale
Definizioni
Definizione 5.1. Funzione sinusoidale
Chiamo funzione sinusoidale una funzione del tipo:
y = R sin(ωt + φ)
• R è l’ampiezza positiva
• ω è la pulsazione positiva
• φ è lo sfasamento −π ≤ φ ≤ π
Osservazione 5.1. Periodicità
La funzione
y = R sin(ωt + φ)
è periodica di periodo
T =
2π
ω
infatti
y = R sin[ω(t + T ) + φ] = R sin[ω(t +
Datato che il seno ha periodo
2π
) + φ] = R sin(ωt + 2π + φ) = R sin(ωt + φ)
ω
2π
Definizione 5.2. Frequenza
Se T indica il periodo allora f =
5.2
1
è la frequenza.
T
Andamento funzione sinusoidale
Considero la funzione sinusoidale
y = R sin ωt
Dato che la funzione è periodica, ne traccio il grafico nell’intervallo
[0 ≤ t ≤ T ]
come nella figura fig. 5.1 nella pagina successiva
55
5.3. CLASSIFICAZIONI
56
y
+R
+1
t
T
4
3T
4
T
2
T
−1
−R
Figura 5.1: Funzione sinusoidale
T
3
mentre il suo valore minimo è per t = T . Questo si
4
4
π
può velocemente verificare osservando che sin x = 1 quando x = quindi
2
La funzione assume il suo massimo valore R per t =
ωt =
π
2
ω=
2π
T
ma
quindi
t
2π π
=
T
2
T
t=
4
In maniera analoga si dimostra per il punto di minimo. Dal grafico è evidente che la funzione è positiva per
valori di t compresi tra zero e metà periodo cioè:
[0 ≤ t ≤
Mentre per
[
assume valori negativi.
5.3
T
]
2
T
≤ t ≤ T]
2
Classificazioni
I parametri che caratterizzano una funzione sinusoidale sono molti. Il confronto fra essi permette una
classificazione.
Definizione 5.3. Ampiezze diverse
Se due funzioni, come nella figura fig. 5.2 nella pagina seguente
y1 = R sin ωt
y2 = S sin ωt
hanno R e S diversi allora differiscono in ampiezza ma hanno frequenza e periodo uguali.
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CAPITOLO 5. FUNZIONE SINUSOIDALE
57
y
y = R sin ωt
y = S sin ωt
2
t
T
4
T
2
3T
4
T
−2
Figura 5.2: Ampiezze diverse
y
y = R sin ω1 t
y = R sin ω2 t
2
t
T
4
T
2
3T
4
T
−2
Figura 5.3: Frequenze diverse
Definizione 5.4. Frequenze diverse
Se due funzioni, come nella figura fig. 5.3
y1 = R sin ω1 t
y2 = R sin ω2 t
hanno ω1 e ω2 diversi allora differiscono in frequenza quindi hanno la stessa ampiezza ma periodo
e frequenza diverse.
2π
ω1
1
f1 =
T1
2π
ω2
1
f2 =
T2
T1 =
T2 =
Definizione 5.5. Anticipo e ritardo di fase
Consideriamo le funzioni
e
y1 = R sin ωt
y2 = R sin(ωt + φ)
Queste funzioni hanno la stessa ampiezza R e la stessa pulsazione ω se φ > 0, figura fig. 5.4a
nella pagina seguente, allora y2 è in anticipo di fase. Invece se φ < 0, figura fig. 5.4b nella pagina
successiva, allora y2 è in ritardo di fase.
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5.3. CLASSIFICAZIONI
y
58
y
y = R sin ωt
y = R sin(ωt − φ)
+R
y = R sin ωt
y = R sin(ωt + φ)
+R
+1
+1
t
T
4
3T
4
T
2
t
T
T
4
−1
−1
−R
−R
(a) Ritardo di fase
T
2
3T
4
T
(b) Anticipo di fase
Figura 5.5: Fasi
y
y
y = R sin ωt
y = R sin(ωt + π2 )
+R
y = R sin ωt
y = R sin(ωt − π2 )
+R
+1
+1
t
T
4
T
2
3T
4
t
T
T
4
−1
−1
−R
−R
(a) Ritardo di fase
T
2
3T
4
T
(b) Anticipo di fase
Figura 5.7: Quadratura di fase
Definizione 5.6. Quadratura di fase
Consideriamo le funzioni
e
y1 = R sin ωt
y2 = R sin(ωt + φ)
π
π
Queste funzioni sono in anticipo o in ritardo di fase, se φ = + o φ = − allora y1 ey2 si dice
2
2
che sono in quadratura, figura fig. 5.7 come in una corrente bifase.
Definizione 5.7. Opposizione di fase
Consideriamo le funzioni
e
y1 = R sin ωt
y2 = R sin(ωt + φ)
Queste funzioni sono in anticipo o in ritardo di fase, se φ = +π o φ = −π allora y1 ey2 si dice che
sono in opposizione, figura fig. 5.9 nella pagina successiva.
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CAPITOLO 5. FUNZIONE SINUSOIDALE
y
y
y = R sin ωt
y = R sin(ωt + π
+R
59
y = R sin ωt
y = R sin(ωt − π )
+R
+1
+1
t
T
4
T
2
3T
4
t
T
T
4
−1
−1
−R
−R
(a) Ritardo di fase
T
2
3T
4
T
(b) Anticipo di fase
Figura 5.9: Opposizione di fase
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6
6.1
Trigonometria
I triangoli rettangoli
Iniziamo con un po di notazione. I punti si indicano con le lettere maiuscole, la lunghezza dei segmenti con le
minuscole. L’ampiezza degli angoli con le lettere greche. All’angolo di maggiore ampiezza corrisponde la lettera
A. Per rimanenti partendo da A e muovendosi in senso antiorario, si assegnano gli altri vertici. Al vertice A
corrisponde l’angolo α. Opposto ad A vi è il lato a. Un triangolo rettangolo è formato da due lati chiamati
cateti e un lato chiamato ipotenusa. L’ipotenusa è il lato di lunghezza maggiore.
I lati di un triangolo sono classificati, rispetto ad un angolo, come opposti o adiacenti. Guardando la
figura fig. 6.2 nella pagina seguente, vediamo che rispetto all’angolo γ il cateto AC è adiacente perché lato
dell’angolo, mentre AB è opposto non facendo parte dell’angolo.
La figura fig. 6.1 mostra come devono essere assegnati i nomi.
La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto. Quindi α + β + γ = 180◦ .
6.1.1
Relazioni fondamentali
Teorema 6.1
Consideriamo la figura fig. 6.1. Valgono le seguenti relazioni fra i cateti gli angoli e l’ipotenusa
c = a sin γ
b = a cos γ
b = a sin β
c = a cos β
Quindi
Un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto
oppure
A
c
α
b
β
B
γ
a
Figura 6.1: Triangolo rettangolo
60
C
CAPITOLO 6. TRIGONOMETRIA
61
TRIANGOLI RETTANGOLI
β
γ
b = a sin β
c = a sin γ
c = a cos β
b = a cos γ
b = c tan β
c = b tan γ
A=
1
ac sin β
2
A=
1
ab sin γ
2
β + γ = 90◦
2P = a + b + c
TRIANGOLI QUALUNQUE
α
β
γ
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
A=
1
bc sin α
2
A=
1
ac sin β
2
A=
1
ab sin γ
2
α + β + γ = 180◦
2P = a + b + c
Tabella 6.1: I triangoli
C
a
us
ten
o
Ip
Cateto
adiacente
γ
A
B
Cateto
opposto
Figura 6.2: Elementi di un triangolo rettangolo
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6.2. RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI
62
Un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo opposto.
Valgono le seguenti relazioni
c
= sin γ
a
b
= sin β
a
b
= cos γ
a
c
= cos β
a
Quindi
Il rapporto fra cateto e l’ipotenusa è uguale al seno dell’angolo opposto
oppure
Il rapporto fra cateto e l’ipotenusa è uguale al coseno dell’angolo adiacente.
Dalle relazioni di partenza si ottiene
b
c
c
b
=
=
=
=a
senβ
cos γ
sin γ
cosβ
Teorema 6.2
Dividendo fra loro le relazioni di partenza otteniamo
6.2
b = c tan β
c = b tan γ
b = c cotg γ
c = b cotg β
Risoluzione triangoli rettangoli
La risoluzione di un triangolo consiste nel trovare tutti i suoi elementi conoscendone alcuni. Ricordiamo che
in un triangolo rettangolo vale il teorema di Pitagora. Quindi, facendo riferimento alla figura fig. 6.3 nella pagina
successiva:
a2 = b2 + c2
p
a = b2 + c2
b2 = a2 − c2
p
b = a 2 − c2
c2 = a2 − b2
p
c = a 2 − b2
Inoltre dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180◦ la somma dei due angoli acuti è di 90◦ .
quindi
β + γ = 90◦
6.2.1
Angolo acuto e ipotenusa noti
Risolviamo questo caso, conosciamo, come nella figura fig. 6.4a a pagina 66, l’ipotenusa a e un angolo acuto,
per esempio γ.
β = 90◦ − γ
β = 90◦ − γ
c = a sin γ
c = a cos β
b = a cos γ
b = a cos β
Esempio 6.1. Risolvere triangolo rettangolo
Trovare gli altri elementi di un triangolo sapendo che l’ipotenusa a = 3 e l’angolo acuto γ = 30◦
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
CAPITOLO 6. TRIGONOMETRIA
63
a2
C
b
2
b
γ
a
α
β
c
A
B
c2
Figura 6.3: Teorema di Pitagora
a=3
γ = 30◦
β = 90◦ − 30◦ = 60◦
c = a sin γ
c = 3 sin 30◦ = 3 ·
b = a cos γ
1
3
=
2
2
√
3
3 3
b = 3 cos 30 = 3 ·
=
2
2
√
◦
6.2.2
Angolo acuto e cateto noti
Risolviamo questo caso, conosciamo, come nella figura fig. 6.4b a pagina 66, un cateto b e un angolo acuto,
ad esempio γ.
β = 90◦ − γ
β = 90◦ − γ
c = b tan γ
b
a=
sin β
c = a cotg β
b
a=
cos β
Esempio 6.2. Risolvere triangolo rettangolo
Trovare gli elementi ignoti di un triangolo rettangolo, sapendo che il cateto b = 5 e l’angolo
γ = 60◦ .
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
6.2. RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI
64
b=5
γ = 60◦
β = 90◦ − 60◦ = 30◦
c = b tan γ
√
√
c = 5 tan 60◦ = 5 · 5 = 5 3
b
a=
sin β
5
5
a=
◦ = 1 = 10
sin 30
2
Una variante di quanto prima è quello che segue. Qui un angolo è noto tramite il valore di una funzione
goniometrica.
Esempio 6.3
Trovare gli elementi ignoti di un triangolo rettangolo, sapendo che il cateto b = 4 e l’angolo
4
cos γ = .
5
4
5
b=4
cos γ =
determiniamo l’ipotenusa a
b = a cos γ
4
4=a
5
l’ipotenusa è:
a=
20
=5
4
Per determinare il cateto c ho bisogno di sin γ
sin γ =
p
1 − cos2 γ
r
16
= 1−
25
r
25 − 16
=
25
r
9
3
=
=
25
5
ora posso trovare il cateto c
c = a sin γ
3
c=5 =3
5
6.2.3
Ipotenusa e cateto
Risolviamo questo caso, conosciamo, come nella figura fig. 6.4c a pagina 66, un cateto b e l’ipotenusa a.
β = arcsin
b
a
γ = 90◦ − β
b
a
β = 90◦ − γ
c = a cos β
ca sin γ
mercoledì 22 febbraio 2017
γ = arccos
12:03:52
CAPITOLO 6. TRIGONOMETRIA
65
Esempio 6.4. Risolvere triangolo rettangolo
Trovare
√ gli elementi ignoti di un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa a = 2 il cateto
b = 5.
a=2
√
b= 3
β = arcsin
b
a
√
3
= 60◦
2
γ = 90◦ − 60◦ = 30◦
β = arcsin
c = a cos β
c = 2 cos 60◦ = 2 ·
6.2.4
1
=1
2
Cateti noti
Risolviamo questo caso, conosciamo, come nella figura fig. 6.4d nella pagina successiva, con i cateti b e c noti.
c
b
β = 90◦ − γ
c
a=
sin γ
b
c
γ = 90◦ − β
c
a=
cos β
γ = arctan
β = arctan
Esempio 6.5. Risolvere triangolo rettangolo
Trovare gli elementi ignoti di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto b = 5 e il lato c = 12
b=5
c = 12
c
b
12
γ = arctan
u 67,38◦
5
β = 90◦ − γ = 67,38◦
c
a=
sin γ
12
12
a=
u 13,0
◦ u
sin 67,38
0,92
γ = arctan
6.3
6.3.1
Triangoli qualunque
Teorema dei seni
Per un triangolo qualunque valgono le seguenti uguaglianze
a
b
c
=
=
= 2R
sin α
sin β
sin β
Quindi in un triangolo qualunque il rapporto fra il lato e il seno dell’angolo opposto è costante e uguale al
diametro della circonferenza circoscritta. La figura fig. 6.6 a pagina 67 mostra le relazioni.
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
6.3. TRIANGOLI QUALUNQUE
66
B
B
β
β
a
a
c
γ
c
γ
C
A
C
A
b
b
(a) Ipotenusa e angolo acuto noto
(b) Cateto e angolo acuto noto
B
B
β
β
a
a
c
γ
c
γ
C
A
C
b
A
b
(c) Ipotenusa e cateto noto
(d) Cateti noti
Figura 6.5: Risoluzione triangoli rettangoli
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
CAPITOLO 6. TRIGONOMETRIA
67
A
c
B
α
R
β
b
O
a
γ
C
Figura 6.6: Teorema dei seni
Possiamo riscrivere il teorema dei seni in questa maniera:
sin α
sin β
sin β
b=a
sin β
sin γ
c=a
sin α
sin α
sin γ
sin β
b=c
sin γ
sin γ
c=b
sin β
a=b
a=c
o in questa
a
sin β
b
b
sin β = sin α
a
c
sin γ = sin α
a
a
sin γ
c
b
sin β = sin γ
c
c
sin γ = sin β
b
sin α =
6.3.2
sin α =
Teorema di Carnot
Una versione più generale del teorema di Pitagora è il teorema di Carnot. Partendo dalla figura fig. 6.7 nella
pagina successiva avremo queste relazioni.
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
6.4. RISOLUZIONE DI TRIANGOLO QUALUNQUE
68
B
β
c
a
γ
C
α
A
b
Figura 6.7: Teorema di Carnot
Possiamo scrivere le precedenti equazioni isolando i coseni cioè:
b2 + c2 − a2
2bc
a2 + c2 − b2
cos β =
2ac
a2 + b2 − c2
cos γ =
2ab
cos α =
queste soluzioni possono servire per definire gli angoli del triangolo cioè:
b2 + c2 − a2
)
2bc
a2 + c2 − b2
β = arccos(
)
2ac
a2 + b2 − c2
γ = arccos(
)
2ab
α = arccos(
6.4
6.4.1
Risoluzione di triangolo qualunque
Un lato e due angoli
Se è noto il lato c e gli angoli α e β come nella figura fig. 6.8a nella pagina seguente avremo:
γ = 180◦ − (α + β)
sin α
a=c
sin γ
sin β
b=c
sin γ
6.4.2
Due lati e l’angolo fra essi compreso
In questo caso supponiamo noti i lati b e c e l’angolo α fra loro compreso, come nella figura fig. 6.8b nella
pagina successiva avremo:
p
a = b2 + c2 − 2bc cos α
a2 + c2 − b2
)
2ac
a2 + b2 − c2
γ = arccos(
)
2ab
β = arccos(
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
CAPITOLO 6. TRIGONOMETRIA
69
B
B
β
β
c
c
a
a
γ
α
γ
A
b
C
A
b
C
(a) Un lato e due angoli noti
α
(b) Due lati l’angolo fra loro compreso noti
B
B
β
β
c
c
a
a
γ
C
α
γ
A
b
(c) Due lati l’angolo fra loro non compreso noti
C
α
A
b
(d) Due lati l’angolo fra loro non compreso noti
Figura 6.9: Risoluzione triangoli qualunque
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12:03:52
6.4. RISOLUZIONE DI TRIANGOLO QUALUNQUE
70
verificando che
α+β + γ = 180◦
6.4.3
Due lati e l’angolo apposto a quello compreso
In questo caso supponiamo noti i lati b e c e l’angolo β fra loro non compreso, come nella figura fig. 6.8c a
pagina 69 avremo:
verificando le soluzioni
c
γ = arcsin( sin β)
b
α = 180◦ − (β + γ)
sin α
a=b
sin β
6.4.4
Tre lati
In questo caso supponiamo noti i lati a b e c come nella figura fig. 6.8d a pagina 69 avremo:
b2 + c2 − a2
)
2bc
a2 + c2 − b2
β = arccos(
)
2ac
a2 + b2 − c2
)
γ = arccos(
2ab
α = arccos(
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7
7.1
Coordinate polari
Definizioni
Definizione 7.1. Coordinate polari
Dato un polo P e un semiretta di origine P chiamata asse polare, diremo coordinate polari la
coppia ordinata (r, θ), dove r è la distanza dal polo P del punto A e θ è l’ampiezza dell’angolo,
misurato in senso antiorario, formato dall’asse polare e la semiretta che passa per il polo e il
punto come nella fig. 7.1. Il numero r si chiama modulo del punto A, e l’angolo θ (θ ∈ [0, 2π[)
argomento di A.
7.2
Da cartesiano a polare
La figura fig. 7.2 nella pagina successiva soprappone un sistema di riferimento cartesiano ad un riferimento
polare. Vi è il problema di convertire le coordinate di un punto dalla forma cartesiana alla forma polare. Quindi
A(x, y) 7→ A(r, θ)
Dal teorema di Pitagora
r=
p
x2 + y 2
A
r
θ
P Polo
asse polare
Figura 7.1: Sistema di riferimento polare
71
7.2. DA CARTESIANO A POLARE
72
A
y
r
θ
O
x
H
Figura 7.2: Cartesiano – polare
Se θ ∈ [0, 2π[
Se θ ∈] − π, π]

y

arctan( )



x



y


arctan( ) + 2π


x



y
θ = arctan( ) + π
x



π



2



3

 π
2
se x > 0 e y ≥ 0

y

arctan( )


x



y


arctan( ) + π



x


y
θ = arctan( ) − π
x




π




2




− π
2
se x > 0
se x > 0 e y < 0
se x < 0
se x = 0 e y > 0
se x = 0 e y < 0
se x < 0 e y ≥ 0
se x < 0 e y < 0
se x = 0 e y > 0
se x = 0 e y < 0
Esempio 7.1
Consideriamo il punto A di coordinate cartesiane A(2, 5). Determinare le coordinate in forma
polare di A con θ ∈ [0, 2π[
p
r = x2 + y 2
p
= 22 + 52
√
= 4 + 25
√
= 29
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
CAPITOLO 7. COORDINATE POLARI
73
x
θ = arctan
y
5
= arctan
2
=1.19029
√
A( 29, 1.19029)
Esempio 7.2
Consideriamo il punto A di coordinate cartesiane A(−2, 5). Determinare le coordinate in forma
polare di A con θ ∈ [0, 2π[
p
r = x2 + y 2
p
= (−2)2 + 52
√
= 4 + 25
√
= 29
x
θ = arctan
+π
y
5
= arctan −
+ pi
2
=1.95130
√
A( 29, 1.95130)
Esempio 7.3
Consideriamo il punto A di coordinate cartesiane A(−2, −5). Determinare le coordinate in forma
polare di A con θ ∈ [0, 2π[
p
r = x2 + y 2
p
= (−2)2 + (−5)2
√
= 4 + 25
√
= 29
x
θ = arctan
+π
y
5
+ pi
= arctan
2
=4.33188
√
A( 29, 4.33188)
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
7.2. DA CARTESIANO A POLARE
74
Esempio 7.4
Consideriamo il punto A di coordinate cartesiane A(2, −5). Determinare le coordinate in forma
polare di A con θ ∈ [0, 2π[
p
r = x2 + y 2
p
= 22 + (−5)2
√
= 4 + 25
√
= 29
x
+ 2π
y
5
= arctan −
+ 2pi
2
θ = arctan
=5.09290
Esempio 7.5
Consideriamo il punto A di coordinate cartesiane A(2, 0). Determinare le coordinate in forma
polare di A con θ ∈ [0, 2π[
p
r = x2 + y 2
√
= 22
√
= 4
=2
x
y
0
= arctan −
2
θ = arctan
=0
Esempio 7.6
Consideriamo il punto A di coordinate cartesiane A(−2, 0). Determinare le coordinate in forma
polare di A con θ ∈ [0, 2π[
p
r = x2 + y 2
p
= (−2)2
√
= 4
=2
θ = arctan
x
y
=π
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
CAPITOLO 7. COORDINATE POLARI
7.3
75
Da Polare a cartesiano
Se A(r, θ) allora le coordinate cartesiane di A sono
(
x = r sin θ
y = r cos θ
Esempio 7.7
π
Consideriamo il punto A di coordinate polari A(2, ), quali sono le sue coordinate scritte in forma
4
cartesiana?.
π
4
π
y =2 cos
√ 4
2
x =2
√2
2
y =2
2
√
x= 2
√
y= 2
x =2 sin
√ √
A( 2, 2)
Esempio 7.8
5
Consideriamo il punto A di coordinate polari A(5, )π, quali sono le sue coordinate scritte in
6
forma cartesiana?.
5
x =5 sin )π
6
5
y =5 cos )π
√6
3
x=−5
2
1
y =5
2
√
A(−5
mercoledì 22 febbraio 2017
3 5
, )
2 2
12:03:52
Tabelle Goniometriche
Gradi
Radianti
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
0◦
0
0
1
0
n.e.
1
2
√
√
30
1
π
6
√
√
45
1
π
4
√
60
1
π
3
3
2
1
2
√
90◦
π
2
1
0
n.e.
0
180◦
π
0
-1
0
n.e.
270◦
3
π
2
-1
0
n.e.
0
360◦
2π
0
1
0
n.e.
◦
◦
◦
2
2
3
2
2
2
3
3
√
1
1
3
√
3
3
3
Tabella 1: Valori particolari di funzioni trigonometriche
76
APPENDICE . TABELLE GONIOMETRICHE
77
y
√ !
1
3
− ,
2 2
√ √ !
2
2
−
,
2
2
2π
!
√
3
3 1
3π
,
−
2 2
4
120◦
5π
6
150◦
(−1, 0)
(0, 1)
√ !
1
3
,
2 2
π
2
π
3
90◦
60◦
3 1
−
,−
2
2
!
√ !
2
2
−
,−
2
2
√
(1, 0)
2π
x
330◦
240◦
270
4π
3
!
π
6
360
0◦ ◦
7π
6
5π
4
3 1
,
2 2
30◦
210◦
√
√
π
4
180◦
π
√ !
2
2
,
2
2
√
◦
3π
2
√ !
1
3
− ,−
2
2
11π
6
300◦
5π
3
7π
4
√
3 1
,−
2
2
!
√ !
2
2
,−
2
2
√ !
1
3
,−
2
2
√
(0, −1)
Figura 3: Valori particolari funzioni goniometriche
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
78
70
80
90
100
60
110
π
3
50
12
0
13
0
14
3π
4
2π
3
π
2
π
4
15
0
160
0
5π
6
40
π
6
30
20
10
170
2π
π
0
350
180
190
7π
6
11π
6
3
0
32
0
7π
4
30
0
31
290
5π
3
280
3π
2
270
20
2
23
0
24
250
4π
3
260
10
200
2
0
5π
4
340
30
Figura 4: Goniometro
mercoledì 22 febbraio 2017
12:03:52
Esempi
.1
Goniometria
Tabella 2: Trovare seno coseno tangente cotangente noti seno o coseno.
1. Prerequisiti
• I radicali
• Circonferenza goniometrica
• Seno, Coseno, Tangente, Cotangente
p
cos α = ± 1 − sin2 α
p
sin α = ± 1 − cos2 α
sin α
tan α =
cos α
1
cotg α =
tan α
2. Scopo: Determinare le funzioni goniometriche dato il valore del seno o il coseno di un angolo.
3
3. Testo: Dato sin α = con l’angolo α tale che 90◦ < α < 180◦ determinare: coseno, tangente e cotangente
5
di α
4. Svolgimento: Si inizia con il determinare il coseno di un angolo successivamente la tangente e per finire la
cotangente, quantità che possiamo conoscere noti seno e coseno.
(a) coseno: Dato che il coseno di un angolo è un numero relativo bisogna definire un segno ed un modulo
i. segno: Per valori dell’angolo 90◦ < α < 180◦ , secondo quadrante, il coseno è negativo.
s
r
r
r
2
p
3
9
25 − 9
16
4
2
ii. modulo: cos α = − 1 − sin α = − 1 −
=− 1−
=−
=−
=−
5
25
25
25
5
3
sin α
3
5
3
5
(b) tangente:tan α =
=
= · −
=−
4
cos α
5
4
4
−
5
1
1
4
(c) cotangente:cotg α =
=
=−
3
tan α
3
−
4
79
.1. GONIOMETRIA
80
Tabella 3: Trovare seno coseno nota la tangente
1. Prerequisiti
• I radicali
• Circonferenza goniometrica
• Seno, Coseno, Tangente, Cotangente
cos α = ± p
sin α = ± p
1
1 + tan2 α
tan α
1 + tan2 α
sin α = cos α · tan α
1
tan α =
cotg α
2. Scopo: Determinare le funzioni goniometriche dato il valore della tangente di un angolo.
3. Testo: Dato cotg α =
2
con l’angolo α tale che 180◦ < α < 270◦ determinare: coseno e seno di α
5
4. Svolgimento: Nell’esercizio non è nota la tangente dell’angolo quindi inizio a trovare la tangente dell’angolo,
poi si passa al coseno infine al seno di un angolo.
1
1
5
=
=
2
cotg α
2
5
(b) coseno: Dato che il coseno di un angolo è un numero relativo bisogna definire un segno ed un modulo.
(a) tangente: tan α =
i. segno: Per valori dell’angolo 180◦ < α < 270◦ , terzo quadrante, il coseno è negativo.
ii. modulo:
1
1
1
1
1
= −r
= −r
cos α = − p
= −s
2 = − r
2
25
4 + 25
29
1 + tan α
5
1+
1+
4
4
4
2
√
1
2 29
1
2
=−√
=−√
= −√ = −
29
29
29
29
√
2
4
(c) seno: per determinare il valore del seno ho due vie: utilizzare il valore del coseno appena determinato
o calcolarlo direttamente
√
√
2 29 5
5 29
i. primo caso: sin α = cos α · tan α = −
· =−
29
2
29
ii. secondo caso: Dato che il seno è un numero relativo bisogna determinarne segno e modulo
A. segno: Per valori dell’angolo 180◦ < α < 270◦ , terzo quadrante, il seno è negativo.
B. modulo:
5
5
5
5
5
2
2
2
2
sin α = − p
=s
= −r
= −r
= − √2
2 = − r
2
29
25
4
+
25
29
1 + tan α
5
√
1+
1+
4
4
4
4
2
5
√
5 2
5 29
2
=−√
=− √ =−
2 29
29
29
2
tan α
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Mezzi usati
• I mezzi usati
– pdfLATEX tramite la distribuzioneTEX Live
http://www.tug.org/texlive
– Pacchetti usati
1. Per la grafica il pacchetto pgf 3.0.1a, TikZ
2. Per la matematica il pacchetto AMS
3. Per le presentazioni Beamer
– Editor usati
1. TEXstudio
http://texstudio.sourceforge.net/
2. Tikzedt
http://www.tikzedt.org/index.html
3. QTikZ
http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/
• Aiuti e consigli
1. Forum del guIt Gruppo Utilizzatori Italiani di TEX
http://www.guitex.org/home/it/forum
A
2. rsTEXnica la rivista del guIt
3. TEX ample.net
http://www.texample.net
da cui qualche immagine è stata tratta
4. TEX StackExchange
http://tex.stackexchange.com
81
Indice analitico
seno, 46
tangente, 52
A
Angoli
Differenza
270◦ , 44
90◦ , 44
180◦ , 42
interni
somma, 60
Somma
0◦ , 44
180◦ , 42
270◦ , 44
360◦ , 44
90◦ , 44
Angolo, 23
acuto, 26
adiacente, 60
concavo, 23
convesso, 23
giro, 23, 26, 27
negativo, 23
opposto, 60
ottuso, 26
piatto, 26, 27
positivo, 23
retto, 23, 26, 27
Asse polare, 71
F
Funzione
Arcocoseno
definizione, 36
Arcoseno
definizione, 38
Arcotangente
definizione, 38
Coseno, 29, 38, 41, 79
definizione, 28
Cotangente, 36, 41, 79
definizione, 34
Seno, 31, 38, 41, 79
definizione, 31
Tangente, 33, 41, 79
definizione, 33
Funzione sinusoidale
ampiezze diverse, 56
anticipo fase, 57
frequenze diverse, 57
opposizione di fase, 58
quadratura di fase, 58
ritardo fase, 57
G
C
Grado, 26
forma decimale, 26
radiante
conversione, 28
Cateto
adiacente, 60
opposto, 60
Circonferenza
goniometrica, 28, 79
Coordinate
polari, 71, 75
argomento, 71
modulo, 71
Coordinate polari, 21
Coseno
noto
seno, 39
N
Notazione scientifica
Definizione, 11
Ordine di grandezza, 12
Numero
Complesso, 15
Coniugato, 16, 19
Elemento neutro, 19
Modulo, 16
Oppoto, 16
Prodotto, 18
Reciproco, 19
Somma, 17
Zero, 18
E
Equazione
elementare
coseno, 50
82
INDICE ANALITICO
83
P
T
Polo, 71
Teorema
Carnot, 67
Pitagora, 38, 62
seni, 65
Triangolo
rettangolo
cateto, 60
ipotenusa, 60
R
Radiante, 27
Relazione
fondamentale goniometria, 38
S
Seno
noto
coseno, 39
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U
Unità
Immaginaria, 15
Potenza, 15
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