PROVA SCRITTA per la classe A047

PROVA SCRITTA per la classe A047 -17 settembre 2012
Rispondere a 5 (e solo 5 ) tra le 7 domande proposte indicando la scelta nella seguente tabella
1
2
3
4
5
6
7
È consentito l’uso solo di una calcolatrice scientifica non in rete.
Non è consentito l'uso di libri e appunti, cellulari o palmari.
Domanda 1
Dei 300 iscritti ad una palestra, il 40% segue abitualmente un corso di aerobica e il 50% segue
abitualmente un corso di yoga. Inoltre, fra i frequentatori del corso di yoga, 50 persone seguono
anche il corso di aerobica.
1) Determinare la probabilità che un iscritto alla palestra non segua né il corso di aerobica, né il
corso di yoga.
2) Se vengono estratte con reinserimento 4 persone iscritte alla palestra, qual è la probabilità
che almeno 2 seguano abitualmente il corso di yoga.
3) Fornire la definizione di probabilità condizionata.
Domanda 2
I seguenti dati si riferiscono all’andamento della quotazione di un titolo azionario in 10 istanti
temporali successivi:
Tempo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quotazione 8
11
7
12
13
13
15
12
14
14
1) Rappresentare graficamente, nel modo che si ritiene più opportuno, l’andamento della
quotazione del titolo al variare del tempo.
2) Calcolare la quotazione media del titolo.
3) Misurare, attraverso un opportuno indice, la variabilità della quotazione del titolo nel tempo.
Domanda 3
Sia f ( x ) = ax 2 + bx + c una funzione reale di variabile reale con a,b,c ∈R.
1) Discutere l'andamento di f al variare dei parametri a,b,c esemplificando graficamente.
2) Fissato un riferimento cartesiano ortogonale Oxy, sia p la parabola di equazione y = − x 2 + c .
Stabilire, motivando la risposta, per quale valore di c tale parabola è tangente alla retta di equazione
y = −x .
3) Scrivere l’equazione del fascio di parabole, con asse di simmetria parallelo all’asse delle
ordinate, tangenti in T alla retta di equazione y = − x .
Domanda 4
1) A partire dall’insieme N dei numeri naturali definire gli insiemi Z e Q.
2) Dimostrare che l’insieme dei numeri reali compresi fra 0 e 1 non è numerabile.
3) L’insieme C dei numeri complessi può essere considerato un ampliamento di R? Motivare la
risposta.
Domanda 5
1) Descrivere, al variare del parametro reale a, le proprietà di monotonia della funzione y = a x
.
2) Determinare l’insieme delle soluzioni della disequazione (9 ⋅ 3 x − 1)(3 x −1 − 1) > 0
3) Individuare una trasformazione del piano che faccia corrispondere il grafico della funzione
y = 3 x al grafico della funzione y = 3 x −1 − 1 e tracciare i grafici delle due curve
Domanda 6
1) Sia f : R → R e sia L ∈ R . Fornire la definizione di lim f ( x ) = L .
x → +∞
x
=1
x → +∞ x + 1
2) Mostrare utilizzando la definizione precedentemente data che lim
3) Mostrare che non esiste nessun numero reale L tale che lim sin( x ) = L
x → +∞
Domanda 7
1) Individuare al più tre simmetrie assiali
che portano il quadrato ABCD sul
quadrato A’B’C’D’ in modo che
A→A’, B→B’, C→C’, D→D’.
Descrivere
il
percorso
anche
graficamente.
2) In un triangolo acutangolo ABC i lati AB e AC misurano rispettivamente 3 e 2. Sia H il punto
del lato AB tale che l’angolo AHC sia uguale all’angolo ACB.
Mostrare che i triangoli ABC e AHC sono simili e determinare la misura di AH.
3) Trovare il cammino più breve che congiunge due vertici opposti sulla superficie di un prisma
retto con base quadrata di lato 1 e altezza k.